1、题型 1.代数型综合题函数型综合题主要是以二次函数为主线，几何与二次函数相结合的综合形式。二次函数是初中数学的重点，也是难点，以二次函数为背景的代数型综合题能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此是各地中考的热点题型，是压轴题的主要来源之一解题时重点把握：1.二次函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化例如函数图象与 x 轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等；2.方程、分类讨论、数形结合始终是解题的主旋律，尤其是题中数量信息转化为方程；3.探索问题，动点问题联系转化来解决；4.计算能力的培养。题型 2 几何型综合题几何综合题考查知识点多、条件隐晦，
2、要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力1 几何型综合题，常用相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现2 几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧的长度的计算，角、角的三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等3 几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力4 解几何综合题应注意以下几点：（1） 注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2） 注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3） 掌握常规的证题思路，尤其
3、理解作辅助线的本质就是挖掘题中的隐含条件；（4） 解题自信心的培养解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的。例 1.已知抛物线 2(4)2yxm与 x轴交于 1(,0)Ax、 2(,)B，与 y轴交于点 C，且 1x、 2满足条件 1,0（1）求抛物线的解析式；（2）能否找到直线 ykxb与抛物线交于 P、Q 两点，使 y轴恰好平分CPQ 的面积？若能，求出 k、 b所满足的条件 解析：（1） 22(4)()30mm，对一切实数 ，抛物线与 x轴恒有两个交点，由根与系数的关系得12x，12(4)m由已知有 120x 得
4、 2,8.x代入得 (28)4(24)m化简得 94解得 1211,7.,x当 时 ，满足 12x当 27m时， 126,3，不满足 x，抛物线的解析式为 8y（2）如图，设存在直线 ykb与抛物线交于点 P、Q，使 轴平分CPQ 的面积，设点 P 的横坐标为 Qx，直线与 轴交于点 E 1122PCEPQSExCx， Qx，由 y轴平分CPQ 的面积得点 P、Q 在 y轴的两侧，即 P， 0PQx，由 28ykxb得 2()8xkb又 P、 Q是方程 2()80xkb的两根， ()0xk， 又直线与抛物线有两个交点，当 28kb且 时，直线yb与抛物线的交点 P、Q，使 y轴能平分CPQ 的
5、面积故 2,8 _Q_C_P _E _y_O _x例 2 如图，抛物线 254yax经过 ABC 的三个顶点，已知 BCx 轴，点 A在 x轴上，点C在 y轴上，且 ACB（1）求抛物线的对称轴；（2）写出 ， ， 三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点 P是抛物线对称轴上且在 x轴下方的动点，是否存在 P 是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点 坐标；不存在，请说明理由解：（1）抛物线的对称轴 52ax（2） (30)A， (4)B， (0)C，把点 坐标代入 25yax中，解得 16a216y（3）存在符合条件的点 P共有 3 个以下分三类情形探索设抛物线对称轴与 x轴交于 N，
6、与 CB交于 M过点 B作 Q轴于 ，易得 4Q， 8A， 5.N， 2B 以 A为腰且顶角为角 的 有 1 个： 1P 22280在 1RtNP 中， 2221 1980(5.)APNBAAC Bx011 2P13y1592P，以 AB为腰且顶角为角 B的 PA 有 1 个： 2PAB 在 2RtMP 中， 22 529804M2589，以 AB为底，顶角为角 P的 AB 有 1 个，即 3PAB 画 的垂直平分线交抛物线对称轴于 3，此时平分线必过等腰 C 的顶点 过点 3P作 K垂直 y轴，垂足为 K，显然 3RttCKQ 12BQCA 3.5P 于是 1O 3(2.51)P，例 3.如
7、图，抛物线 2(0)yxbc 的图象与 x轴交于 AB， 两点，与 y轴交于点 C，其中点A的坐标为 (0)， ；直线 1与抛物线交于点 E，与 轴交于点 F，且 4560FAE （1）用 b表示点 E的坐标；（2）求实数 的取值范围；（3）请问 BC 的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由解（1） 抛物线 2yxbc过 (20)A， ，4c点 E在抛物线上，A O F B xyC E1x1243ybcb， 点 E的坐标为 (13)b， （2）由（1）得 3EF，4560A ， ， 10 （3） BC 的面积有最大值，2yxbc的对称轴为 2bx， ()A， ，点 的坐标
8、为 (0)， ，由（1）得 04C， ，而 BCEEFBOOSS 梯 形1()22AA114(3(3)(2)4bbbA2()，1y的对称轴是 2， 130 当 3b时， BCES 取最大值，其最大值为 213()(1)2例 4.已知抛物线 与 轴交于 A、B 两点，与 轴交于点 C，其中点 B 在 轴的正半2yaxbcxyx轴上，点 C 在 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（OBOC）是方程 的两个根，2106x且抛物线的对称轴是直线 （1）求此抛物线的表达式；（2）连接 AC、BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、点 B 不重合） ，过点 E 作 EFAC交 BC 于点
9、F，连接 CE，设 AE 的长为 ，CEF 的面积为 S，求 S 与 之间的函数关系式，并写mm出自变量 的取值范围；m（3）在（2）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出 S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时BCE 的形状；若不存在，请说明理由解：（1）解方程 得2106x12,8x点 B 在 轴的正半轴上，点 C 在 轴的正半轴上，且 OBOCy点 B 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，8）又抛物线 的对称轴是直线2yaxbc2x由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为（6，0） 点 C（0，8）在抛物线 的图象上2yaxbcc8，将 A（6，0） 、B（2，0
10、）代入表达式，得33428ab所求抛物线的表达式为 283yx（2）依题意，AEm，则 BE8m，OA6，OC8，AC10EFAC BEFBAC 即 EFEFAC BEAB EF10 8 m8 40 5m4过点 F 作 FGAB，垂足为 G，则 sinFEGsinCAB45 FG 8mFGEF 45 45 40 5m4SS BCE S BFE （8m）8 （8m） （8m）12 12 （8m） （88m） （8m）m m24m 12 12 12自变量 m 的取值范围是 0m8 （3）存在理由：S m24m （m4） 28 且 0，12 12 12当 m4 时，S 有最大值，S 最大值 8 m4
11、，点 E 的坐标为（2，0） BCE 为等腰三角形 CEB例 5、如图 5，已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0)，直线 与该二次函数的图象交于mxyA、B 两点，其中 A 点的坐标为(3,4)，B 点在 轴上.y（1）求 的值及这个二次函数的表达式；（2）P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与 A、B 不重合） ，过 P 作 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E 点，设线段 PE 的长为 ，点 P 的横坐标为 ，求 与 之间的函数关系式，hxh并写出自变量 的取值范围；x（3）D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB 上是否存在一点 P，使得四边形 DCEP
12、是平行四边形？若存在，请求出此时 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解析： (1) 点 A(3,4)在直线 上，mxy4=3+ . =1. m设所求二次函数的关系式为 2(1)a 点 A(3,4)在二次函数 的图象上，yx 24(31)aa 所求二次函数的关系式为 即 2(1)yx21yxEB AC P图 5O xy DPBACO xyQ 图 6(2) 设 P、E 两点的纵坐标分别为 和 pyE 22(1)1)3pEhyxxx即 230x(3) 存在. 解：要使四边形 DCEP 是平行四边形，必需有 PE=DC. 点 D 在直线 上 点 D 的坐标为(1,2),1yx解之得 (不合题意，舍去
13、) 23x2,1x当 P 点的坐标为(2,3)时，四边形 DCEP 是平行四边形 例 6 如图 6，已知抛物线 经过 O(0,0)，A(4,0),B(3, )三点，连结 AB，过点2yaxbc3B 作 BC 轴交该抛物线于点 C. x（1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点 P、Q 分别从 O、A 两点同时出发,以每秒 1 个单位长度的速度运动. 其中，点 P沿着线段 0A 向 A 点运动，点 Q 沿着折线 ABC 的路线向 C 点运动. 设这两个动点运动的时间为 （秒) (0 4)，PQA 的面积记为 S.tt 求 S 与 的函数关系式； 当 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？
14、并指出此时PQA 的形状； 是否存在这样的 值，使得PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时 P、Q 两点的坐标；t若不存在，请说明理由.解析：（1） 抛物线 经过 O(0,0)， A(4,0),B(3, )，cxbay2 3E FPBACO xyQ 图 6-1 解得 . 039416cba 0,34,cba 所求抛物线的函数关系式为 . xy2（2） 过点 B 作 BE 轴于 E，则 BE= ，AE=1，AB=2. x3由 BAE= ，得BAE =60. tan3AE（）当点 Q 在线段 AB 上运动，即 0 2 时，QA=t，PA=4- .t t过点 Q 作 QF 轴于 F，则 QF=
15、 ，x3 S= PAQF21t2)4(t423()4t ， 当 =2 时，S 有最大值，最大值 S=0t 3（）当点 Q 在线段 BC 上运动，即 2 4 时，tQ 点的纵坐标为 ，PA=4- .3t这时，S= )4(21t3 ， S 随着 的增大而减小. 当 =2 时，S 有最大值，最大值0t t33S综合（） （） ，当 =2 时，S 有最大值，最大值为 . PQA 是等边三角形. t 3 存在. 当点 Q 在线段 AB 上运动时，要使得PQA 是直角三角形，必须使得PQA =90，这时PA=2QA，即 4- =2 ， . t34t P、Q 两点的坐标分别为 P1( ,0)，Q 1( , ). 34032当点 Q 在线段 BC 上运动时，Q、P 两点的横坐标分别为 和 ，要使得PQA 是(41)25tt直角三角形，则必须 5- = ， t25t P、Q 两点的坐标分别为 P2( ,0)，Q 2( , ). 3
