1、九年级数学（上册）第一章 证明(二),1.4角平分线,第1课时 性质定理与逆定理,已知:如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点， PDOA,PEOB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE.,而OPDOPB的条件 由已知易知它满足公理(AAS).,故结论可证.,你能写出规范的证明过程.,分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的OPDOPB，,你还记得角平分线上的点有什么性质吗?,角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,你能证明这一结论吗?,角 平 分 线,几何的三种语言,定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,提示: 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,如图, OC是
2、AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知) PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?,逆命题 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,它是真命题吗?,如果是.请你证明它.,已知:如图, PDOA,PEOB, 垂足分别是D,E.且PD=PE, 求证:点P在AOB的平分线上.,分析:要证明点P在AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明1=2.,你能写出规范的证明过程.,逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,如图
3、, PDOA,PEOB,垂足分别是D,E, PD=PE,(已知), 点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上).,提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,几何的三种语言,已知:AOB,如图. 求作:射线OC,使AOC=BOC.,用尺规作角的平分线,1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.,2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长 为半径作弧,两弧在AOB内交于点C.,3.作射线OC.,你能说明OC为什么是AOB的平分线吗？,提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.,则射线OC就是AO
4、B的平分线.,尺规作图,P32页做一做,作法:,1、如图,AD,AE分别是ABC中A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?,你能说出结论并能证明它.,挑战自我,2、如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000).,学以致用,定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知) PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,回味无穷,逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. PDOA,PEOB,垂足分别
5、是D,E ，且PD=PE，(已知), 点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).,用尺规作角的平分线.邻补角的角平分线之间的关系.,作 业,、基础作业：课本34页习题1.8第1、2、3题 2、预习作业：课本P33页“读一读”,1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线.,先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.,你发现了什么？,作业分析,2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.,作业分析,作业分析,P ,3.已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.求证:EB=
6、FC.,做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.,作业分析,如图，浑南新区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确定工厂的位置吗？并说明理由。,问题引入,例1、如图，某开发区有一个工厂在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确定工厂的位置吗？并说明理由。,数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务,O,C,P,300m,例1:,例2: 已知：如图，E是BAC平分线上的一点，EBAB，ECAC，B，C分别是垂足。你能得到哪些结论？为什么？,例3: 已知
7、：如图所示：PA，PC分别是ABC 外角MAC与NCA平分线，它们交于P，PDBM于M，PFBN于F。 求证：点P在MBN的平分线上,E,活动与探究:已知：如图，1=2，P为BN上一点，且PDBC于D，AB+BC=2BD 求证：BAP+BCP=180,1,2,3,方法总结：（1）有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，在利用角平分线的判定或性质证题则问题往往迅速得解；（2）有线段的和差关系时，常用截长补短法作辅助线化和差关系为相等关系。,定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,定理2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。,角的平分线是到
8、角的两边距离相等的所有点的集合,线段的垂直平分线,定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。,逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。,线段的垂直平分线可以看作是和线段两上端点距离相等的所有点的集合,A,B,M,N,P,点的集合是一条射线,点的集合是一条直线,问题探讨： 1、如图，如图所示ABC中，ADBC于D，B=2C。求证：AB+BD=CD。 若在ABC中，ADBC于D，AB+BD=DC 试问：B与C是什么关系？,2、在V型公路（AOB）内部，有两个村庄C、D。你能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？,作业（必做题）：课本：习题，配套练习,4、如图所示，在ABC中，BAC=90，AB=AC，BE平分ABC，CEBE， 求证：CE= BD。,再见,
