1、3.鸡兔同笼课 题7.3 鸡兔同笼教学目标(一)教学知识点1.会用二元一次方程组解决实际问题.2.在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界.(二)能力训练要求1.在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程解决现实问题的意识和应用能力.2.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，进一步提高解方程组的技能.(三)情感与价值观要求1.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养应用数学的意识.2.在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣.教学重点1.让学生经历和体验到方程组解决实际问题的过程.2.进一步体会方程(组)是刻画现实世界的
2、有效数学模型，培养学生的数学应用能力 .教学难点用方程(组) 这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程.教学方法自主发现法.学生在教师的启发引导下通过对具体实际的问题分解，组织学生自主交流，探索去发现列方程建模的过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学的意识.教具准备投影片一张：鸡兔同笼(记作 7.3 A).教学过程.提出问题，激发兴趣师我们本章的开头就介绍过“鸡兔同笼”的问题，这节课我们接着用方程来解决此问题，看结果如何？.讲授新课出示投影片(7.3 A)1.今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？(1)“上有三十五头” “下有九十四足”如何解释？(2)你
3、能根据(1)中的数量关系列出方程组吗？(3)你能解决这样的问题吗？2.有 2 元，5 元，10 元人民币共 50 张，合计 305 元，其中 2 元的张数与 5 元的张数相同，三种人民币各有多少张？(1)这个问题和上面的“鸡兔同笼”问题有联系吗？(2)你准备设几个未知数？(3)你能根据题目中的已知量、未知量及它们之间的关系列出方程组吗？(4)你能解决这样的问题吗？师就上面的问题，我们先分组讨论.(学生在讨论时，教师可参与到学生的讨论，听学生的想法，以便能及时了解学生的思路)师生共析1.(1)“上有三十五头”是指“鸡和兔共有 35 只.即“鸡的只数+兔的只数=35 只”.“下有九十四足”是指鸡的
4、腿与兔子的腿的和为 94 条.即“鸡的腿+兔子的腿=94”.(2)根据(1)中的数量关系，我们可以设鸡有 x 只，兔有 y 只，可得 x+y=35 ，2x+4y=94 ,把和联立方程组，得 94235yx(3)解法一：由得 y=35x 把代入中，得 2x+4(35x)=94解得 x=23把 x=23 代入，得 y=12.所以原方程组的解为 .12,3x解法二：2，得2y=24y=12把 y=12 代入，得 x=23所以原方程组的解为 123y答：鸡有 23 只，兔子有 12 只.和这一章最开始引言中用算术方法和一元一次方程的方法来解“鸡免同笼”的问题来比较，用列二元一次方程组来解决此题会更直观
5、，更容易理解.2.(1)这个问题类似于“鸡兔同笼”的问题.因为它也是将“ 2 元，5 元，10 元”的人民币混合在了一起，只知道总共有多少张，合起来共多少元，求 2 元，5 元，10 元的人民币各有多少张？(2)在这个题目中，设两个未知数也可以；设三个未知数也可以.我们先来看设两个未知数的情况.由于 2 元和 5 元的张数相同，我们可以各设有 x 张，10 元的张数有 y 张.(3)根据题目中的已知条件可找到两个等量关系即：2 元的张数 +5 元的张数+10 元的张数=50 张，2 元的总面值+5 元的总面值+10 元的总面值=305 元，于是我们根据(1)中的未知数列出二元一次方程组： 30
6、515yx元(4)用代入消元法和加减消元法都可解决.可由同学们板演完成 .解法一：由得 y=502x 把代入，得 x=15把 x=15 代入，得 y=20所以原方程组的解为 2015解法二：10，得x=15把 x=15 代入，得 y=20所以原方程组的解为 2015x 答：2 元和 5 元的人民币各有 15 张，10 元的人民币有 20 张.议一议如果 2、(2)中设有三个未知数，即如果设 2 元的人民币有 x 张，5 元的人民币 y 张，10 元的人民币 z 张，如何列出方程组，解上述问题呢？生我们在设未知数时，没有利用 2 元的人民币和 5 元的人民币张数相等这个条件，因此列出的方程就多出
7、一个，再加上我们刚才的两个相等关系，列出的是一个三元一次方程组即由 x=y ，x+ y+z=50 ，2x+5y+10z=305 ，组成的三元一次方程组.师我们没有详细地讲过三元一次方程组的解法，但我们借鉴二元一次方程组的基本思路消元，可以解答这个三元一次方程组.下面我们一同来解方程组 305152zyx我们可以将代入和，得二元一次方程组305152zy解这个二元一次方程组，得20z把 y=15 代入得 x=15所以方程组的解为 2015zy生老师，看来解方程组未知数出了并不可怕，关键是掌握解方程组的基本思路消元.师的确如此.我们学会了解方程组可以解决许多问题.下面我们再来看一下例子.估计大家小
8、学的时候见过.例 1以绳测井.若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？谁来给大家解释一下题意.生老师，我试一下.这个题目的大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子三折即折成三等份，则一份绳子的长度比井多五尺；如果将绳子四折即折成四等份，则一份绳子的长度比井深多一尺.绳长、井深各是多少尺？师这位同学解释得很棒.接下来我们就将此问题转化成数学模型方程组来解决它.首先我们可以从题目中找到相等关系.你知道相等关系蕴含在哪两句话里?你能用含文字的等式表示出来吗?生可以.我认为相等关系蕴含在“将绳三折测之，绳多五尺”和“若将绳四折测之，绳多一尺”.这两句话中，用等式表示出来为
9、：绳长3井深=5 绳长4井深=1 生老师，我认为相等关系也在这两句话中，但我用下面的等式表示：绳长3井深=53 绳长4井深=14 师很好.我们现在设出未知数，设绳长为 x 尺，井深为 y 尺，根据、得方程组为： 1453yx根据、得方程组：135yx我们观察这两个方程组虽然形式上不同，但我们将第一个方程组中的方程化简，整理便可得出第二个方程组.因此这两个方程组是“同工异曲”的效果.下面我们在练习本上解出方程组的解，你可以任意选其中之一.(然后让两位学生黑板上板演，教师讲评)解法一：设绳长 x 尺，井深 y 尺，则1453yx，得 43=4,12x=4x=48将 x=48 代入，得 y=11答：
10、绳长 48 尺，井深 11 尺.解法二：设绳子长 x 尺，井深 y 尺，则4135yx由，得 y=11把 y=11 代入，得 x=48答：绳长 48 尺，井深 11 尺.师生共析我们在列方程组解决实际问题时，应先分析题目中的已知量、未知量是什么，各个量之间的关系是什么，找出它们之间的相等关系，列出方程( 组) ，建模过程就可完成，因此我们说解决实际问题的建模过程非常重要.随堂练习课本 P199.1.解：设每头牛值“金”x 两，每只羊值“金”y 两，则 85210yx由25，得 y= 210.把 y= 10代入，得 x= 34.所以，每头牛值“金” 21两，每头羊值“金” 210两. 2.解：设
11、甲带钱 x，乙带钱 y，则 5032yx由2，得 x=37把 x=37 代入，得 y=25所以甲带钱 37，乙带钱 25.课时小结本节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程，体会到方程组是刻画现实世界的有效模型，从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.课后作业1.课本 P199 习题 7.4.2.收集资料：算经+书(网址：www.CBE)的数学史料，以一组为单位办 1 份数学史料手抄报.活动与探究如图，在一个正方体的顶点处填上 19 的数码中的 8 个，每一个顶点只填一个数码.使得正方体每个面上的四个顶点所填数码之和均为 18，那么未被填上的数码是什么？过程：如果用 19 中的每一个数去试，过程会很繁.根据题意，我们可以利用方程这个数学模型，使问题简单化.结果：设未被填上的数为 x，根据题意，可得：(1+2+9x)2=18得 45x=36x=9所以未被填上的数是 9.板书设计 7.3 鸡兔同笼一、鸡兔同笼解：设鸡兔各有 x 只、y 只，根据题意，得：94235yx(由学生板演解方程组的过程)二、例题讲解例 1(课本 P198)三、随堂练习(由学生板演)
