1、直线的倾斜角和斜率知识和技能目标 ：（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念，（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式过程和方法目标：通过启发引导、讨论等方法，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法。掌握直线的点斜式方程，会实现直线方程的各种形式之间的互化。情感价值观目标：（1） 培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力。 （2） 帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神教学重点、难点：直线斜率的概念和公式教学过程 ：（一）直线方程的概念 一般地，满足函数式 的每
2、一对 , 的值，都是直线上的点的坐标（ ， ） ；反之，直线上每一点的坐标（ ， ）都满足函数式 ，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足 的每一对 x，y 的值为坐标的点构成的从方程的角度看，函数 也可以看作是二元一次方程 ，这样满足一次函数 的每一对 , 的值“变成了”二元一次方程 的解，使方程和直线建立了联系定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线问：你能用充要条件叙述吗？ 答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是 （二）直线的倾斜
3、角 【问题 1】 请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同 ； ； 过定点，方向不同 如何确定一条直线？ 两点确定一条直线还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度 【导入 】 今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向 【问题 2】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的学生：展开讨论通过讨论认为：应选择 角来刻画直线的方向根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可
4、能有学生认为有四个角或两个角） ，当然用最小的正角从而得到直线倾斜角的概念【板书】定义：一条直线 l 向上的方向与 轴的正方向所成的最小正角叫做直线 的倾斜角 （教师强调三点：（1）直线向上的方向， （2） 轴的正方向， （3）最小正角 ） 特别地，当 与 轴平行或重合时，规定倾斜角为 0由此定义，角的范围如何？0180或 0 如图 3 至此问题 2 已经解决了，回顾一下是怎么解决的 （三）直线的斜率 【问题 3】下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是 30、45、135的直线，并试着写出它们的直线方程然后观察思考：直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？ 学生：在练习本上画出直线，写出方
5、程30 - 45 - 135- （注：学生对于写出倾斜角是 45、135的直线方程不会困难，但对于倾斜角是 30可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的 30角终边与单位圆的交点坐标来解决 ） 观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中 系数变化的关系 (1) 直线变化 变化 中的 系数 变化 （同时注意 的变化） (2) 中的 x 系数 k 变化直线变化 变化 （同时注意 的变化） 教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与 的系数的关系：倾斜角不同，方程中 的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！ 【板书】定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率记作 ，即 这样我们定义了
6、一个从“形”的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量斜率 指出下列直线的倾斜角和斜率： (1) - (2) tg60 (3) tg(-30) 学生思考后回答，师生一起订正：（1）120； （2）60；(3)150( 为什么不是-30呢？)画图，指出倾斜角和斜率结合图 3，观察倾斜角变化时，斜率的变化情况注意：当倾斜角为 90时，斜率不存在 0 0 090 0 90 - 不存在 90180- 0 （四）直线过两点斜率公式的推导 【问题 4】 如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义 tg 求出直线的斜率
7、； 如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？ 即已知两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中 x1x2） ，求直线 P1P2 的斜率 思路分析：（首先由学生提出思路，教师启发、引导） 运用正切定义，解决问题 (1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标 ） (2)角 是“标准位置”吗？（不是 ） (3)如何把角 放在“标准位置”？（平移向量 ，使 P1 与原点重合，得到新向量 ） (4)P 的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1） (5)直线的斜率是多少？ tg= （x1x2）(6)如果 P1 和 P2 的顺序不
8、同，结果还一样吗？（一样） 评价：注意公式中 x1x2，即直线 P1 P2 不垂直 x 轴因此当直线 P1P2 不垂直 x 轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角 【练习】 (1)直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 ？ (2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？ (3)直线 (-330)的倾斜角和斜率分别是多少？ (4)求经过两点 (0，0)、 (-1， )直线的倾斜角和斜率 (5)课本第 37 页练习第 2、4 题 教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略） 【总结】 教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决再看下边的问题： (1)直线倾斜角的概念要注意什么？ (2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？ (3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标 1 和 2 有顺序吗？ 学生边讨论边总结： (1)向上的方向，正方向，最小，正角(2)不是，当 =90时， 不存在 (3) （ ） ，没有 【作业 】1.书上（ 略）2思考题 （1）方程 是单位圆的方程吗？ （2）你能说出过原点，倾斜角是 45的直线方程吗？ （3）你能说出过原点，斜率是 2 的直线方程吗？ （4）你能说出过（1，1）点，斜率是 2 的直线方程吗？ 3. 直线的倾斜角和斜率搜集整理 .zgzx_chenrongping
