1、1.1.1 集合的含义与表示1集合的含义(1)元素与集合的定义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)通常用大写拉丁字母 A，B，C ，表示集合，用小写拉丁字母 a，b，c，表示集合中的元素示例：小于 5 的自然数组成集合，可以记为 B，它的元素是 0,1,2,3,4；方程 x2x0的实数解组成集合，可以记为 A，它的元素是 0,1谈重点 对集合的理解 (1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的(2)注意组成集合的对象的广泛性，凡是看得见的、摸得着的、想得到的任何事物
2、都可以作为组成集合的对象(3)集合是一个整体，已暗含“所有” “全部” “全体”的含义因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象(2)集合中元素的特征来源:元素的特征 理解确定性给定的集合，它的元素必须是确定的也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素是否在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的也就是说，集合中的元素是不能重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性无序性 集合中的元素是没有顺序的也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性释疑点 判断一组对象能否构成一个集合的方法
3、判断一组对象能否构成一个集合，其关键是看该组对象是否满足确定性如果该组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合【例 11】下列所给的对象能构成集合的是_(1)所有正三角形；(2)新课标人教 A 版数学必修 1 课本上的所有难题；(3)比较接近 1 的正整数全体；(4)某校高一年级的 16 岁以下的学生；(5)平面直角坐标系内到原点的距离等于 1 的点的集合；(6)参加伦敦奥运会的年轻运动员；(7)a，b，a，c解析：序号 能否构成集合 理由(1) 能 其中的元素满足三条边相等(2) 不能 “难题”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合(3 ) 不能 “比较接近 1
4、”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合(4) 能 其中的元素是“16 岁以下的学生”(5) 能 其中的元素是“到坐标原点的距离等于 1 的点”(6) 不能 因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合( 7) 不能 因为有两个 a 是重复的，不符合元素的互异性答案：(1)(4)(5)点技巧 一组对象能否构成集合的判断技巧 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合(3)元素与集合的关系关系 含义 记号 示例属于 a 是集合 A 中的元素，就说a
5、 属于集合 A a A不属于 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A来源 :a A所有正实数构成的集合记为A，则 1 A，1 A谈重点 对符号“ ”与“ ”的理解 (1)由集合中元素的确定性可知，对任意的元素 a 与集合 A，在“a A”与“a A”这两种情况中必有一种且只有一种成立(2)符号“ ”和“ ”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系(3)“ ”和“ ”具有方向性，左边是元素，右边是集合【例 12】设不等式 32x0 的解集为 M，下列关系中正确的是 ( )A0 M,2 M B0 M,2 MC0 M,2 M D0 M,2 M解析：本题是判断 0 和 2 与集
6、合 M 间的关系，因此只需判断 0 和 2 是否是不等式32x0 的解即可，当 x0 时，32x 30，所以 0 M；当 x2 时，32x10，所以 2 M答案：B(4)相等集合只要构成两个集合的元素是一样的，也就是说它们的元素是完全相同的，我们就称这两个集合是相等的【例 13】若方程(x1) 2(x1)0 的解集为 A，方程 x210 的解集为 B，那么 A与 B 是否相等？解：由题意知集合 A 中的元素为 1，1；集合 B 中的元素为 1，1由定义可知AB 2常用数集数集 含义 记号自然数集 全体非负整数组成的集合 N正整数集 所有正整数组成的集合 N*或 N整数集 全体整数组成的集合 Z
7、有理数集 全体有理数组成的集合 Q实数集 全体实数组成的集合 R谈重点 对常用数集的理解 (1)N 包括元素 0，而 N*(或 N )不包括元素 0(2)通常情况下，大写英文字母 N，N *，Z，Q ，R 不再表示其他的集合，否则会引起“混乱” ；虽然正整数集有两种字母表示：N *或 N ，但是本书中主要用 N*表示正整数集【例 2】用符号 或 填空：(1)3_N；3_ Z；3_N *；3_Q ；3_R (2)3.1_N； 3.1_Z；3.1_ N*；3.1_Q ；3.1_ R解析：观察空白处横线的两边，可看出本题是判断数与常用数集之间的关系，依据这些字母所表示集合的意义来判断(1)因为 3
8、是自然数，也是整数，也是正整数，也是有理数，也是实数，所以有：3 N；3 Z；3 N*；3 Q；3 R(2)因为 3.1 不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，所以有：3.1 N；3.1 Z；3.1 N*；3.1 Q；3.1 R答案：(1) (2) 3集合的表示法(1)自然语言法用文字叙述的形式描述集合的方法使用此方法要注意叙述清楚，如由所有正方形构成的集合，就是自然语言表示的，不能叙述成“正方形” (2)列举法定义 把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法一般形式 a1，a 2，a 3，a n示例 中国古代四大发明组成的
9、集合，用列举法表示为火药，造纸术，活字印刷术，指南针谈重点 用列举法表示集合应注意的问题 (1)当集合的元素较少时，可以采用列举法表示；(2)元素间用“， ”分隔开；(3)元素不能重复，不考虑顺序；(4)集合元素个数较多或无限时( 无限集)，一般不采用列举法，但如果构成集合的元素有明显的规律时，可以采用列举法，但必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号，如正整数集可表示为1,2,3,4， 【例 31】用列举法表示下列集合：(1)15 以内质数的集合；(2)方程 x(x21)0 的所有实数根组成的集合；(3)一次函数 yx 与 y2x 1 的图象的交点组成的集合分析：(1)质数又称素数，指在一个
10、大于 1 的自然数中，除了 1 和此数自身外，不能被其他自然数整除的数；(2)中要明确方程 x(x21) 0 的实数根有哪些；(3) 中要明确一次函数 yx 与 y2 x1 的图象的交点有哪些，应怎样表示解：(1)2,3,5,7,11, 13；(2)解方程 x(x21)0，得 x11，x 20，x 31，故方程 x(x21)0 的所有实数根组成的集合为1,0,1；(3)解方程组 得,y,y因此一次函数 yx 与 y2x1 的图象的交点为(1,1)，故所求的集合为(1,1)(3)描述法含义 用集合中元素的共同特征表示集合的方法一般形式 x|p(x)(其中 x 是集合元素的一般符号， p(x)是集
11、合元素的共同特征)具体方法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征谈重点 用描述法表示集合应注意的问题 (1)写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是什么：是数，还是有序实数对(点) ，还是集合，或是其他形式；(2)准确说明集合中元素的共同特征；(3)所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号；(4)用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且” “或”等表示描述语句之间的关系；(5)在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，如： 直角三角形，正方形等【例 32】用描述法表示下列集
12、合：(1)所有的偶数组成的集合；(2)不等式 2x40 的解集解 ：(1)偶数是能被 2 整除的数，即 2 的倍数，所以所有偶数组成的集合用描述法表示为x |x 2n，n Z(2)设不等式 2x40 的解集记为 A，x 为集合 A 中元素的代表符号，其共同特征是2x40，则 Ax|2x 4 0；解不等式 2x40，得 x2，则也可以表示为A x|x2【例 33】试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程 x2x20 的解集；(2)大于1 且小于 7 的所有整数组成的集合解：(1)方程 x2x20 的根可以用 x 表示，它满足的条件是 x2x20，因此，用描述法表示为x R|x2x20；方程
13、 x2x20 的根是1,2，因此，用列举法表示为 1,2(2)大于1 且小于 7 的整数可以用 x 表示，它满足的条件是 x Z 且1x7，因此，用描述法表示为x Z|1 x7 ；大于1 且小于 7 的整数有 0,1,2,3,4,5,6，因此，用列举法表示为0,1,2,3,4,5,6 4集合元素的特征的应用(1)集合元素的确定性是指给定一个集合，集合中的元素就确定了，即给定一个集合，任一元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，二者必居其一考查一组对象的全体能否构成一个集合，需看这组对象是否具有确定无疑的具体特征(或标准) (2)集合元素的互异性是指集合中的元素互不相同，也就是说集合中的元素是
14、不能重复出现的，相同的元素在一个集合中只能算作一个元素例如：方程 x20 的两个根x1x 20，用集合记为0，而不能记为0,0【例 4】下列说法正确的是( )A数学成绩较好的同学可以组成一个集合B所有绝对值接近于零的数组成一个集合C集合1,2,3与集合3,2,1表示同一个集合D1,0.5， ， ， 组成一个含有 5 个元素的集合12346解析：对于 A 项， “成绩较好 ”没有标准，不符合元素的确定性，故不正确；对于 B项， “绝对值接近于零的数”标准不明确，不构成集合，故不正确；对于 C 项，集合1,2,3 与3,2,1元素相同，是相等集合，因此正确；对于 D 项，1,0.5， ， ， 组成
15、一个含有123463 个元素的集合 ，故不正确12,3答案：C5元素与集合的关系及应用元素与集合的关系仅有两种：属于和不属于用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系例如，集合 A1,9,12，则 0 A,9 A用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时相对比较复杂此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？其次要清楚元素的共同特征是什么；最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系描述法表示的集合形式为x|x P(x)，其中 P(x)为该集合元素的共同特征例如 ，集合 Bx| x3n 1， n Z，则该集
16、合元素的一般符号是 x，其共同特征是x3n1，n Z，即集合 B 中的元素是整数，并且这个整数等于 3 的整数倍减去 1，因此判断某个元素与集合 B 的关系时，只需判断所给的元素是否等于 3 的整数倍减去 1 即可设 3n116，解得 n ，则 16 不能等于 3 的整数倍减去 1，所以 16 B设173 3n117，解得 n6，则 17 等于 3 的 6 倍减去 1，所以 17 B【例 51】设集合 |2xN(1)试判断元素 1,2 与集合 B 的关系；(2)用列举法表示集合 B分析：判断集合 B 与元素 1,2 的关系，只要代入验证即可解：(1)当 x1 时， 2 N6当 x2 时， 因此
17、 1 B,2 B62 2 3(2) N，x N，2x 只能取 2,3,6x 只能取 0,1,4B0,1,4【例 52】若集合 Aa3,2 a1，a 24 且3 A，求实数 a 的值错解：若 a33，则 a0；若 2a13，则 a1；若 a243，则 a1综上可知，a0 或 a1错因分析：由于3 A，故应分 a33,2a13，a 243 三种情况讨论，这是正确的，但求出 a 值后，应验证其是否满足集合的互异性，错解在于没有验证，导致出现增解正解：(1)若 a33，则 a0，此时 A 3，1， 4，满足题意；(2)若 2a13，则 a1，此时 A 4，3，3，不满足题意；(3)若 a243，则 a
18、1，当 a1 时，A 2,1， 3，满足题意，当 a1 时，由(2)知，不满足题意综上可知，a0 或 a16集合的表示方法及应用(1)用列举法表示集合时，既要注意将自然语言与集合语言描述的集合中的元素一一确定出来，又要善于把列举法表示的集合用自然语言表述出来如方程 x21 组成的集合是1,1 ，而该集合可描述为 x21 的解集，或绝对值为 1 的数等(2)使用描述法时，需注意以下几点：写清楚该集合中的代表元素例如，集合x R|x1 不能写成 x1集合与它的代表元素所采用的字母无关，只与集合中元素的共同特征有关例如，集合 x R|x1也可以写成 y R|y1所有描述的内容都要写在集合符号内例如，
19、x Z|x2k，k Z，这种表述方式不符合要求，需将 k Z 也写进大括号内，即 x Z|x2k ，k Z在不致引起混淆的情况下，所有的非负数组成的集合可记为x|x0当集合是数集时，在没有标明 x 范围的前提下，我们认为 x 的值是使式子有意义的所有值如Error!，此时我们认为 x R 且 x0由反比例函数的性质，可知该集合可化为 y|y R，且y0 当用文字语言来描述集合中元素的特征或性质时，分隔号及前面的部分常常省去，如“所有四边形组成的集合”记为x|x 是四边形在不致混淆的情况下，可以省去“|”及其左边的部分，直接写成四边形 “所有四边形组成的集合 ”不能写成所有四边形，因为花括号本身
20、就有全部的意思，故用文字描述集合时，应去掉含有“整体” “全部”等意义的词(3)对某一个具体的集合而言，其表示方法并不是唯一的，如 x|x 是自然数中三个最小的完全平方数，还可以表示为 0,1,4方法的选择要因题而异集合的三种表示法的比较如下表：集合的表示法 特点 适用范围自然语言法 自然、生动、明确 都可用，无限制列举法 直观、明了 元素个数较少时描述法 清晰反映集合中元素的特征 元素个数无限或不宜一一列举时【例 61】用适当的方法表示下列对象构成的集合(1)绝对值不大于 2 的所有整数；(2)方程组 的解,1xy解：(1)由于|x| 2 且 x Z，所以 x 值为2，1,0,1,2故绝对值
21、不大于 2 的所有整数组成的集合为2，1,0,1,2另外本题用描述法可表示为x Z|x|2(2)解方程组 得1,yx0,.因此用列举法表示方程组 的解集为(0,1),1yx【例 62】用描述法表示下列图象中阴影部分(含边界) 的点的集合分析：由于是坐标平面内的点集，所以代表元素可以用有序实数对(x，y )，x，y 的范围可结合图形写出解：(1)设阴影部分的所有点构成集合 A，则集合 A 中的元素是点，设为 (x，y)由图形知1x1 ，1y 1，所以 A(x，y )|1x 1， 1y 1 (2)设阴影部分的所有点构成集合 B，则集合 B 中的元素是点，设为 (x，y)由图形知：1x1，y R，所
22、以 B( x，y)|1x1，y R【例 63】下面三个集合：x|yx 21 ；y|y x 21；( x，y)|yx 21(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？分析：对于用描述法给出的集合，首先要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件解：(1)它们是互不相同的集合(2)集合x|yx 21的代表元素是 x，满足条件 yx 21 中的x R，x| yx 21R；集合y| y x21的代表元素是 y，满足条件 yx 21 的 y 的取值范围是y1，y|yx 21y|y1 ；集合(x，y)|y x 21的代表元素是(x，y)，可以认为是满足 yx 21 的数对(x ，y)的集合，
23、也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足 yx 21，(x，y)| yx 21P |P 是抛物线 yx 21 上的点 点技巧 对用描述法表示的集合的理解 用描述法表示的集合，一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式；二要看元素满足什么条件数集和点集常常会混淆7集合相等的应用两个集合相等，是指构成这两个集合的元素完全相同也就是说，若两个集合相等，则这两个集合中的元素个数相同，并且对于其中一个集合中的任一元素，在另一个集合中都能找到这个元素例如：若集合 A1,3，集合 Bx|x 2axb0 ，且 AB，求实数 a，b解：因为 AB，所以方程 x2ax b0 的解
24、集是 1,3，那么1,3 是方程x2axb0 的根，则 解得13,a,3._ _【例 7】若含有三个实数的集合可表示为 ，也可表示为a 2，ab,0 ，求 a2 ,1b012b 2 013 的值分析：由题意知，集合 与集合a 2，ab,0 相等，由集合相等的定义，列出,1b关于 a，b 的方程组，解出 a，b，进而求 a2 012b 2 0 13的值解：由已知集合可表示为 ，得 a1 且 a0,由题意得 或21,0ab2,0,a解得 或1,ab,.经检验知 不满足集合中元素的互异性，应舍去,0因此 1,ab故 a2 012b 2 0131点技巧 由集合相等求参数的技巧 应从集合相等的定义入手，
25、寻找元素之间的关系，若集合中的未知元素不止一个，则需分类讨论，同时要注意利用集合中元素的互异性对求得的结果进行检验8方程、不等式等知识与集合交会问题的处理集合语言是表述数学问题的重要语言，以集合为载体的方程、不等式的问题是本节的常见问题之一，解决此类问题应注意：(1)首先是准确理解集合中的元素，明确元素的共同特征，如果不理解集合中的元素，那么就会出现思维受阻的现象，感到无从下手例如，集合 Ax|ax10 的元素是关于x 的不等式 ax10 的解，当 a0 时，这个不等式化为10，此时不等式的解集为实数集 R，当 a0 时，这个不等式是关于 x 的一元一次不等式如果忽视 a0，那么就会导致出现错
26、解(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及数学思想( 转化思想、分类讨论思想)的综合应用_ _【例 8】已知集合 Ax| ax23x 20 (1)若 A 是单元素集合，求集合 A；(2)若 A 中至少有一个元素，求 a 的取值范围分析：本题将集合中元素个数问题转化为方程根的问题(1)A 是单元素集合，说明方程有唯一根或有两个相等的实数根(2)A 中至少有一个元素，说明方程有一根或两根解：(1)当 a0 时， ，符合题意；23当 a0 时，方程 ax23x 20 应有两个相等的实数根，则 0 ，即 9 8a0，解得 ，此时 ，符合题意9843A综上所述，当 a0 时， ，当 a0 时， 3A(
27、2)由(1)知，当 a0 时， ，符合题意；2当 a0 时，方程 ax23x 20 应有实数根，则 0，即 98a0，解得 a 98综上所述，若 A 中至少有一个元素，则 a 辨误区 对方程 ax2bxc0 的错误认识 “a0”这种情况容易被忽视，如“方程 ax23x20”有两种情况：一是“a0” ，即它是一元一次方程；二是“a0” ，即它是一元二次方程，只有在一元二次方程这种情况下，才能用判别式 来解决因此 解决二次项系数含参数的方程或不等式问题时，应分二次项系数为 0 和不为 0 两种情况进行讨论9与集合有关的创新题(1)能选择自然语言、集合语言( 列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受
28、集合语言的意义和作用是新课标对本节课的要求因此高考更多地将集合作为一种语言来考查其中不乏一些创新题(2)与集合有关的创新题主要以集合的表示法和元素与集合的关系为背景，常常是给出新的定义，依据新背景或新定义，借助于集合的含义与表示和元素与集合的关系来解决问题(3)解决这类问题时，要紧扣所给的新背景或新定义其所用到的集合知识往往是比较基础的，主要是集合的含义和表示法、集合的性质、元素与集合的关系等【例 91】定义集合运算 A Bz|zxy( xy)，x A，y B，设集合 A0,1 ，B2,3，则集合 A B 的所有元素之和为 ( )A0 B6 C 12 D18解析：根据 A B 的定义，当 x0
29、 时 z0；当 x1 时，若 y2，则 z6，若 y3，则 z12 因此集合 A B 的所有元素和为 18答案：D【例 92】已知集合 A 中的元素均为整数，对于 k A，如果 k1 A 且 k1 A，那么称 k 是 A 的一个 “孤立元” 给定 S1,2,3,4,5,6,7,8，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_个解析：先分析“孤立元”的含义，再根据不含“孤立元”的条件写出所有不含“孤立元”的集合，最后确定个数依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的 3 个元素必须是 3 个相邻的正整数，故所求的集合包括：1,2,3，2,3,4，3,4,5 ，4,5,6 ，5,6,7 ，6,7,8，共 6 个，应填 6答案：6
