1、11 集 合11.1 集合的含义与表示第 1 课时 集合的含义学习目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用知识链接1在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合2在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合几何图形都可以看成点的集合3解不等式 2x13 得 x2，即所有大于 2 的实数集在一起称为这个不等式的解集4一元二次方程 x23 x20 的解是 x1， x2.预习导引1元素与集合的概念(1)元素：一般地，我们把研究的对象统称为元素(2)集合：把一
2、些元素组成的总体叫做集合(简称为集)(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的(4)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性2元素与集合的关系关系 概念 记法 读法属于如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A a Aa 属于集合 A不属于 如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 aA a 不属于a 不属于集合 A 集合 A3.常用数集及表示符号名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 N N*或 N Z Q R要点一 集合的基本概念例 1 下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过 20 的非负数；(3)直角
3、坐标平面内第一象限的一些点；(4) 的近似值的全体3解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合(2)任给一个实数 x，可以明确地判断是不是“不超过 20 的非负数” ，即“0 x20”与“ x20 或 x0” ，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“ 的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是3它的近似值，所以(4)不能构成集合规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是
4、“确定无疑”的还是“模棱两可”的如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合跟踪演练 1 下列所给的对象能构成集合的是_(1)所有正三角形；(2)必修 1 课本上的所有难题；(3)比较接近 1 的正整数全体；(4)某校高一年级的 16 岁以下的学生答案 (1)(4)解析 (1)能，其中的元素满足三条边相等；(2)不能， “难题”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合；(3)不能， “比较接近 1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(4)能，其中的元素是“16 岁以下的学生” 要点二 元素与集合的关系例 2 所给下列关系正确的个数是(
5、) R； Q；0N *；|3|N *.12 2A1 B2 C3 D4答案 B解析 是实数， 是无理数，所以正确N *表示正整数集，所以和不正确12 2规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素 a 与集合 A，在“ a A”与“aA”这两种情况中必有一种且只有一种成立2符号“”和“”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系3 “”和“”具有方向性，左边是元素，右边是集合跟踪演练 2 集合 A 中的元素 x 满足 N， xN，则集合 A 中元素有_63 x答案 0,1,2解析 当 x0 时， 2；63 0当 x1 时， 3；63 1当 x2 时， 6；63 2当 x3 时不符
6、合题意，故集合 A 中元素有 0,1,2.要点三 集合中元素的特性及应用例 3 已知集合 B 含有两个元素 a3 和 2a1，若3 B，试求实数 a 的值解 3 B，3 a3 或32 a1.若3 a3，则 a0.此时集合 B 含有两个元素3，1，符合题意；若32 a1，则 a1.此时集合 B 含有两个元素4，3，符合题意综上所述，满足题意的实数 a 的值为 0 或1.规律方法 1.由于集合 B 含有两个元素，3 B，本题以3 是否等于 a3 为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验2解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准跟踪演练 3 已知集
7、合 A a1， a21，若 0 A，则实数 a 的值为_答案 1解析 0 A，0 a1 或 0 a21.当 0 a1 时， a1，此时 a210， A 中元素重复，不符合题意当 a210 时， a1.a1(舍)， a1.此时， A2,0，符合题意1下列能构成集合的是( )A中央电视台著名节目主持人B我市跑得快的汽车C上海市所有的中学生D香港的高楼答案 C解析 A、B、D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合2集合 A 中只含有元素 a，则下列各式一定正确的是( )A0 A B aA C a A D a A答案 C解析 由题意知 A 中只有一个元素 a，0 A， a A，元素 a 与集合 A 的
8、关系不能用“” ，故选 C.3设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳_ A；广州_ A(填或)答案 解析 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会4已知 R； Q；0N；Q；3Z. 正确的个数为_513答案 3解析 是正确的；是错误的5已知 1 a2， a，则 a_.答案 1解析 当 a21 时， a1，但 a1 时， a2 a，由元素的互异性知 a1.1判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定若元素不确定，则不能构成集合2集合中的元素是确定的，某一元素 a 要么满足 a A，要么满足 aA，两者必居其一这也是判断一组对象能否构成集合的依据3集合中元素的三种特性：确定性、
9、互异性、无序性求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性一、基础达标1有下列各组对象：接近于 0 的数的全体；比较小的正整数的全体；平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体；直角三角形的全体其中能构成集合的个数是( )A2 B3 C4 D5答案 A解析 不能构成集合， “接近”的概念模糊，无明确标准不能构成集合， “比较小”也是不明确的，小的精确度没明确标准均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依2已知集合 A 由 x1 的数构成，则有( )A3 A B1 A C0 A D1 A答案 C解析 很明显 3,1 不满足不等式，而 0，1 满足不等式3若一个
10、集合中的三个元素 a， b， c 是 ABC 的三边长，则此三角形一定不是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形答案 D解析 根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形4已知集合 A 含有三个元素 2,4,6，且当 a A，有 6 a A，则 a 为( )A2 B2 或 4C4 D0答案 B解析 若 a2 A，则 6 a4 A；或 a4 A，则 6 a2 A；若 a6 A，则6 a0 A.故选 B.5已知集合 A 中只含有 1， a2两个元素，则实数 a 不能取的值为_答案 1解析 由 a21，得 a1.6若 xN，则满足 2x50 的元素组成的集合中所有元素之和为_答
11、案 3解析 由 2x50，得 x ，又 xN，52 x0,1,2，故所有元素之和为 3.7判断下列说法是否正确？并说明理由(1)参加 2012 年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5， 组成的集合含有四个元素；32 12(4)我校的年轻教师构成一个集合解 (1)正确因为参加 2012 年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的(2)不正确因为高科技产品的标准不确定(3)不正确对一个集合，它的元素必须是互异的，由于 0.5 ，在这个集合中只能作为12一个元素，故这个集合含有三个元素(4)不正确因为年轻没有明确的标准二、能力提升8已知集合 A 是由 0
12、， m， m23 m2 三个元素组成的集合，且 2 A，则实数 m 的值为( )A2 B3C0 或 3 D0,2,3 均可答案 B解析 因为 2 A，所以 m2 或 m23 m22，解得 m0 或 m2 或 m3.又集合中的元素要满足互异性，对 m 的所有取值进行一一验证可得 m3，故选 B.9已知集合 P 中元素 x 满足： xN，且 2 x a，又集合 P 中恰有三个元素，则整数a_.答案 6解析 xN,2 x a，且集合 P 中恰有三个元素，结合数轴知 a6.10设 a， bR，集合 A 中有三个元素 1， a b， a，集合 B 中含有三个元素 0， b，且baA B，则 a b_.答
13、案 0解析 由于 B 中元素是 0， b，故 a0， b0.ba又 A B， a b0.11已知集合 A 是由 a2,2 a25 a,12 三个元素组成的，且3 A，求实数 a.解 由3 A，可得3 a2 或32 a25 a， a1 或 a .32则当 a1 时， a23,2 a25 a3，不符合集合中元素的互异性，故 a1 应舍去当 a 时， a2 ，2 a25 a3， a .32 72 32三、探究与创新12已知集合 M 中含有三个元素 2， a， b，集合 N 中含有三个元素 2a,2， b2，且 M N.求a， b 的值解 方法一 根据集合中元素的互异性，有Error! 或Error!
14、解得Error! 或Error!或Error!再根据集合中元素的互异性，得Error!或Error!方法二 两个集合相同，则其中的对应元素相同Error!即Error!集合中的元素互异， a， b 不能同时为零当 b0 时，由得 a0，或 b .12当 a0 时，由得 b1，或 b0(舍去)当 b 时，由得 a .12 14当 b0 时， a0(舍去)Error! 或Error!13设 A 为实数集，且满足条件：若 a A，则 A(a1)11 a求证：(1)若 2 A，则 A 中必还有另外两个元素；(2)集合 A 不可能是单元素集证明 (1)若 a A，则 A.11 a又2 A， 1 A.11 21 A， A.11 1 12 A， 2 A.12 11 12 A 中另外两个元素为1， .12(2)若 A 为单元素集，则 a ，11 a即 a2 a10，方程无解 a ，集合 A 不可能是单元素集11 a
