1、第六章 4 数据的离散程度讲解与例题1极差定义：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差，即极差最大值最小值极差反映了这组数据的波动范围谈重点 极差(1)极差是最简单、最便于计算的一种反映数据波动情况的量，极差能够反映一组数据的波动范围；(2)在对一组数据的波动情况粗略估计时经常用到极差；(3)极差仅仅反映了数据的波动范围没有提供数据波动的其他信息，且受极端值的影响较大；(4)一组数据的极差越小，这组数据就越稳定【例 1】 在一次体检中，测得某小组 5 名同学的身高分别是 170,162,155,160,168(单位：cm)，则这组数据的极差是_cm.解析：根据极差的概念，用最大值
2、减去最小值即可，17015515(cm)答案：152方差(1)定义：设有 n 个数据 x1， x2， x3， xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是( x1 )2，( x2 )2，( x3 )2，( xn )2，用它们的平均数来衡量这组数据的波动x x x x大小，并把它叫做这组数据的方差(2)方差的计算公式：通常用 s2表示一组数据的方差，用 表示这组数据的平均数xs2 (x1 )2( x2 )2( x3 )2( xn )21n x x x x(3)标准差：标准差就是方差的算术平方根谈重点 方差(1)方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量，方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；
3、(2)对于同类问题的两组数据，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小；(3)一组数据的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变；(4)一组数据的每一个数据都变为原来的 k 倍，则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的 k2倍【例 2】 已知两组数据分别为：甲：42,41,40,39,38；乙：40.5,40.1,40,39.9,39.5.计算这两组数据的方差解： 甲 (4241403938)40，x15s (4240) 2(3840) 22.2甲15乙 (40.540.14039.939.5)40，x15s (40.540) 2(39.540) 20.10
4、4.2乙153极差与方差(或标准差)的异同相同之处：(1)都是衡量一组数据的波动大小的量；(2)一组数据的极差、方差(或标准差)越小，这组数据的波动就越小，也就越稳定不同之处：(1)极差反映的仅仅是数据的变化范围，方差(或标准差)反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；(2)极差的计算最简单，只需要计算数据的最大值与最小值的差即可，而方差的计算比较复杂【例 3】 已知甲、乙两支仪仗队队员的身高如下(单位：cm)：甲队：178,177,179,178,177,178,177,179,178,179乙队：178,179,176,178,180,178,176,178,177,180(1)将下表填完
5、整：身高(cm) 176 177 178 179 180甲队(人数) 3 4 0乙队(人数) 2 1 1(2)甲队队员身高的平均数为_cm，乙队队员身高的平均数为_cm；(3)这两支仪仗队队员身高的极差、方差分别是多少？解：(1)甲队从左到右分别填：0,3，乙队从左到右分别填：4,2；(2)178,178；(3)经过计算可知，甲、乙两支仪仗队队员身高数据的极差分别为 2 cm 和 4 cm，方差分别是 0.6 和 1.8.4.运用方差解决实际问题方差是反映一组数据的波动大小的统计量，通过计算方差，可以比较两组数据的稳定程度，进而解决一些实际问题对于一般两组数据来说，可从平均数和方差两个方面进行
6、比较，平均数反映一组数据的一般水平，方差则反映一组数据在平均数左右的波动大小，因此从平均数看或从方差看，各有长处方差的计算可用一句话“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的程度方差的单位是原数据的平方单位，方差反映了数据的波动大小，在实际问题中，例如长得是否整齐一致、是否稳定等都是波动体现点技巧 方差反映波动情况在实际问题中，如果出现要求分析稳定性的问题，因为方差是反映数据的波动大小的量，所以一般就要计算出各组数据的方差，通过方差的大小比较来解决问题【例 4】 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取 8 次，记
7、录如下：甲 95 82 88 81 93 79 84 78乙 83 92 80 95 90 80 85 75(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由解：(1) 甲 (9582888193798478)85，x18乙 (8392809590808575)85.x18这两组数据的平均数都是 85.这两组数据的中位数分别为 83,84.(2)派甲参赛比较合适理由如下：由(1)知 甲 乙 ，x xs (9585) 2(8285) 2(8885) 2(8185) 2(9385) 2(7985)2甲182(
8、8485) 2(7885) 235.5，s (8385) 2(9285) 2(8085) 2(9585) 2(9085) 2(8085)2乙182(8585) 2(7585) 241， 甲 乙 ， s s ，x x 2甲 2乙甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适5运用用样本估计总体的思想解决实际问题统计学的基本思想是用样本估计总体，它主要研究两个基本问题：一是如何从总体中抽取样本，二是如何通过对所抽取的样本进行计算和分析，从而对总体的相应情况作出推断用样本估计总体是统计的基本思想，正像用样本的平均数估计总体的平均数一样，考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或考察本身带有破坏性，实际中常
9、常用样本的方差来估计总体的方差方差是反映已知数据的波动大小的一个量在日常生活中，有时只用平均数、中位数和众数难以准确地分析一组数据时，就要用方差来评判但是并不是方差越小越好，要根据问题的实际情况灵活运用数据分析问题，作出正确的判断注：在解决问题或决策时，应运用统计思想，搞清楚特殊和一般的关系，具体问题具体对待全方位、多角度地分析与评判是关键【例 5】 某运动队欲从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全省射击比赛，该运动队预先对这两名选手进行了 8 次测试，测得的成绩如下表：次数 选手甲的成绩(环) 选手乙的成绩(环)1 9.6 9.52 9.7 9.93 10.5 10.34 10.0 9.75 9
10、.7 10.56 9.9 10.37 10.0 10.08 10.6 9.8根据统计的测试成绩，请你运用所学过的统计知识作出判断，派哪一位选手参加比赛更好？为什么？解： 甲 (9.69.710.6)10.0， 乙 (9.59.99.8)x18 x 1810.0. s 0.12， s 0.102 5.2甲 2乙结果甲、乙两选手的平均成绩相同， s s .乙的方差小，波动就小，似乎应该选乙2甲 2乙选手参加比赛但是就这个问题而言，我们不能仅看平均成绩和方差就妄下结论在这里平均成绩和方差不是最重要的，重要的是看他们的发展潜力或比赛时的竞技状态从甲、乙两选手的最后四次成绩看，甲的状态正逐步回升，成绩越来越好，而乙明显不如甲的状态好所以从这个角度看，应选甲选手参加比赛更好
