1、第 2课时 对数函数的图象与性质通过对数函数的图象及其变换，观察发现对数函数的性质，提高识图能力.对数函数 ylog ax(a1)与指数函数 y ax(a1)的性质比较函数 y ax ylog ax图象定义域 R 定义域(0，)值域(0，) 值域 R过定点(0,1) 过定点(1,0)当 x0 时， y1；当 x0 时，0 y1当 x1 时， y0；当 0 x1 时， y0性质在 R上是增函数 在(0，)上是增函数【做一做 1】将指数函数 f(x)3 x的图象沿直线 y x翻折后，可得函数_的图象答案： ylog 3x【做一做 2】将对数函数 ylog 2x的图象向右平移 1个单位长度后可得函数
2、_的图象答案： ylog 2(x1)不同底数的图象之间的变化趋势是怎样的？剖析：由于对数函数 ylog ax的图象与直线 y1 交于点( a,1)(如图 1所示)，所以对数函数 ylog ax的图象在 x轴上方，从左到右对应的底数由小到大依次递增；由于对数函数 ylog ax的图象与直线 y1 交于点 (如图 2所示)，所以对数(1a， 1)函数 ylog ax的图象在 x轴下方，从左到右对应的底数由大到小依次递减图 1 图 2题型一 对数函数的图象及变换【例 1】作出函数 y|log 2(x1)|2 的图象解：作复合函数的图象问题，可先考虑它的基本函数的图象，然后作适当的变换完成先作 ylo
3、g 2x的图象 ylog 2(x1) 向 左 平 移 1个 单 位y|log 2(x1)| y|log 2(x1)|2. 当 10时 ， 图 象 不 变 向 上 平 移 2个 单 位 如图所示反思：利用函数图象的三大基本变换平移变换、对称变换、伸缩变换是作复合函数图象的基本途径本题使用了平移和对称两种方法，在平移中要注意“上、下”和“左、右”与 x， y的关系；对称变换要注意与 x轴和 y轴的关系题型二 对数函数的性质【例 2】已知函数 f(x)lg | x|.(1)判断函数 f(x)的奇偶性；(2)画出函数 f(x)的图象的草图；(3)求函数 f(x)的单调递减区间分析：(1)确定函数的定义
4、域，判断 f(x)和 f( x)的关系；(2)函数 f(x)的图象关于y轴对称，利用变换作图画出草图；(3)由图象观察出单调递增区间，再用定义证明解：(1)要使函数有意义， x的取值需满足| x|0，解得 x0，即函数的定义域是(，0)(0，)， f( x)lg | x|lg | x| f(x)，所以函数 f(x)是偶函数(2)由于函数 f(x)是偶函数，则其图象关于 y轴对称，将函数 ylg x的图象对称到y轴的左侧与函数 ylg x的图象合起来得函数 f(x)的图象，如下图所示(3)方法一：由图得函数 f(x)的单调递减区间是(，0)证明：设 x1， x2(，0)，且 x1 x2，则 f(
5、x1) f(x2)lg |x1|lg |x2|lglg ，|x1|x2| |x1x2| x1， x2(，0)，且 x1 x2，| x1| x2|0. 1.lg 0. f(x1) f(x2)|x1x2| |x1x2|函数 f(x)在(，0)上是减函数，即函数的单调递减区间是(，0)方法二：函数的定义域是(，0)(0，)设 ylg u， u| x|.当函数 f(x)是减函数时，由于函数 ylg u是增函数，则函数 u| x|是减函数又函数 u| x|的单调递减区间是(，0)，函数 f(x)lg| x|的单调递减区间是(，0)反思：根据定义来判断函数的奇偶性和单调性，是解答题的基本方法【例 3】已知
6、函数 f(x)lg( x)x2 1(1)判断函数的奇偶性；(2)判断函数的单调性分析：利用函数的奇偶性和单调性的定义进行判断解：(1)函数的定义域为 R，关于原点对称f( x)lg ( x) x 2 1lg( x)lgx2 11x2 1 xlg( x)1 lg( x) f(x)，x2 1 x2 1即 f( x) f(x)所以函数 f(x)lg( x)是奇函数x2 1(2)函数的定义域为 R，任取 x1， x2R，且 x1 x2，则 f(x1) f(x2)lg ，x21 1 x1x2 1 x2下面分段讨论：当 x1 x20 时，则 x1 x20， x x ，21 2所以 x1 x2，x21 1
7、x2 1即 1，x21 1 x1x2 1 x2所以 f(x1) f(x2)0，此时函数在 R上为减函数当 0 x1 x2时，则 x2 x1，又 f(x1) f(x2)lgx2 1 x21 1x21 1 x1x2 1 x2lg 0，x2 1 x2x21 1 x1所以此时函数在 R上为减函数当 x10 x2，且 f(0)0 时，由可知 f(x1)0 f(x2)所以函数 f(x)lg( x)是定义域 R上的减函数x2 1反思：研究函数奇偶性和单调性，都首先必须考虑函数的定义域1函数 y f(x)的图象如下图所示，则函数 的图象大致是_12log()yfx解析：从已知函数的图象可得所求函数过点(1,0
8、)，且当 x(0,1)时，函数为增函数，当 x(1,2)时，函数为减函数答案：2函数 yln 的大致图象为_1|x 1|解析：因为定义域为(，1)(1，)，所以错误又当x(，1)时，函数为增函数，当 x(1，)时，函数为减函数，所以错误答案：3已知函数 ylog a(x b)的图象如图所示，则 a_， b_.解析：从图象可知Error!解得Error!答案： 334求证：函数 在其定义域上是单调减函数12log()yx 证明：由 2x10 得定义域为 x ，(12， )任取 x1， x2 ，(12， )且 x1 x2，此时 .11122log()log()yx 12logx因 02 x112 x21，所以 0 1.所以 y1 y20，即 y1 y2.2x1 12x2 1所以原函数在定义域上单调递减5若函数 f(x)Error!在 R上为增函数，求 a的取值范围解：由条件得Error!解得 1 a3，即 a的取值范围是(1,3)
