1、第 8 课时 圆的标准方程1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程 .2.会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及由圆的标准方程熟练地求出圆心和半径;由不同的已知条件求得圆的标准方程 .3.掌握点与圆位置关系的判定 .古今中外都有很多的圆形建筑,如中国的北京天坛、罗马的圆形竞技场等,如何在直角坐标系中研究圆的方程和性质呢?前面我们已经学过直线方程的概念、直线斜率及直线方程的常见表达式,我们知道了关于 x,y 的二元一次方程都表示一条直线,那么曲线方程会有怎样的表达式呢?这节课让我们一起来学习最常见的曲线方程圆的标准方程 .问题 1:(1)圆的定义:平面内到一定点距离等于定长的点的轨迹称为 圆
2、 .定点是 圆心 ,定长是圆的 半径 .圆心和半径分别确定了圆的位置和大小 . (2)圆的标准方程:设圆的圆心坐标为 A(a,b),半径为 r(其中 a、 b、 r 都是常数, r0).设 M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点 M 满足的条件是 P=M|MA|=r,由两点间的距离公式知点 M 适合的条件可以表示为 =r ,化简得 : (x-a)2+(y-b)2=r2 . ()2+()2若点 M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点 M 的坐标适合方程 ;反之,若点 M(x,y)的坐标适合方程 ,这说明点 M 与圆心的距离是 r,即点 M 在圆心为 A 的圆上 .所以我们把方程 称为圆心为 A(
3、a,b),半径为 r 的圆的方程,即圆的标准方程 .问题 2:圆的标准方程的特点: (x-a)2+(y-b)2=r2 是二元二次方程,括号内变数 x,y的系数都是 1,展开后没有 xy 项 .点( a,b)、 r 分别表示圆心的坐标和圆的半径 .当圆心在原点即 C(0,0)时,方程为 x2+y2=r2 . 问题 3:坐标平面内的点与圆的位置关系:设点 M(x0,y0),则根据圆的标准方程可得坐标平面内的点和圆的关系如下:(1)点在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2r2 ;(2)点在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ;(3)点在圆内 (x0-a)2+(y0-b)21 D.a=13.已
4、知点 A(3,-2),B(-5,4),以线段 AB 为直径的圆的标准方程为 . 4.已知圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且这个圆经过点 A(6,1),求该圆的标准方程 .求圆的标准方程根据下列条件,求圆的标准方程:(1)圆心为点 C(-2,1),并过点 A(2,-2)的圆 .(2)过点(0,1)和点(2,1),半径为 .5判断点与圆的位置关系已知两点 P(-5,6)和 Q(5,-4),求以 P、 Q 为直径端点的圆的标准方程,并判断点 A(2,2),B(1,8),C(6,5)是在圆上,在圆内,还是在圆外 .根据已知条件求圆中参数的范围已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25
5、,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(mR) .求证:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点 .求圆心在点 C(1,3),并与直线 3x-4y-6=0 相切的圆的标准方程 .以原点为圆心,且过点(3, -4)的圆的标准方程是 ,那么点(2,3)在圆 (内、上、外) . 已知圆的标准方程是:( x+m)2+(y-2)2=(m+1)2+3,求半径最小时的圆心坐标和半径 .1.圆 C:(x-2)2+(y+1)2=3 的圆心坐标是( ).A.(2,1) B.(2,-1) C.(-2,1) D.(-2,-1)2.已知圆的方程为( x-2)2+(y-3)2=4,则点 P(3,2)
6、( ).A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外3.圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的标准方程为 . 4.若点 P(1,1)为圆 C:(x-3)2+y2=9 的弦 MN 的中点,求弦 MN 所在的直线方程 .(2011 年安徽卷)若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为( ).A.-1 B.1 C.3 D.-3考题变式(我来改编):第 8 课时 圆的标准方程知识体系梳理问题 1:(1)圆 圆心 半径 (2) =r (x-a)2+(y-b)2=r2()2+()2问题 2:(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2=r2问题 3:(1)(x0
7、-a)2+(y0-b)2r2 (2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2 (3)(x0-a)2+(y0-b)2r,故点 C 在圆外 .(60)2+(51)2 52【小结】判断点 A 与圆 C 的位置关系,一般用点 A(x0,y0)到圆心 C 的距离 d 与半径 r 作比较,结合两点间距离公式:若 dr,则点 A 在圆外 .也可以直接判断:若( x0-a)2+(y0-b)2r2,则点 A 在圆外 .探究三:【解析】 直线 l 的方程可化为( x+y-4)+m(2x+y-7)=0.由 得 2+7=0,+4=0 =3,=1,即 l 恒过定点 A(3,1). 圆心 C(1,2),|AC|= 5(半径)
8、,5 点 A 在圆 C 内,从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点 .【小结】对于直线系方程要变形后找到定点 .思维拓展应用应用一:已知圆心坐标 C(1,3),故只要求出圆的半径,就能写出圆的标准方程 .因为圆 C和直线 3x-4y-6=0 相切,所以半径 r 等于圆心 C(1,3)到这条直线的距离,根据点到直线的距离公式,得 r= = =3.|31436|32+(4)2 155因此,所求的圆的方程是( x-1)2+(y-3)2=9.应用二: x2+y2=25 内 由已知得半径为 5,圆的标准方程是 x2+y2=25,把点(2,3)代入得22+32=1325,所以点在圆内 .应用三:由题知当 m
9、=-1 时, rmin= ,此时圆心坐标为(1,2) .3基础智能检测1.B 根据圆的标准方程( x-a)2+(y-b)2=r2知圆心坐标为(2, -1),选 B.2.C 把点 P(3,2)代入( x-2)2+(y-3)2=(3-2)2+(2-3)2=24,故点 P 在圆内,选 C.3.x2+(y-4)2=25 由题意可设圆的标准方程为 x2+(y-4)2=r2,将点(3,0)代入得 r2=25,故所求圆的标准方程为 x2+(y-4)2=25.4.解:由题知圆心 C(3,0),k PC= =- ,又 PC MN,k MN=2,0131 12 弦 MN 所在直线的方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0.全新视角拓展B 圆的方程可变为( x+1)2+(y-2)2=5,即圆心为( -1,2),所以 3(-1)+2+a=0,即 a=1.思维导图构建待定系数法
