1、【成才之路】2015-2016 学年高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差课时作业 新人教 A 版选修 2-3 一、选择题1(2015泉州市高二期中)随机变量 B(100,0.3)，则 D(3 5)等于( )A62 B84 C184 D189答案 D解析 随机变量 B(100,0.3)， D( )1000.30.721， D(3 5)9 D( )189，故选 D2若 X B(n， p)，且 E(X)6， D(X)3，则 P(X1)的值为( )A32 2 B2 4C32 10 D2 8答案 C解析 E(X) np6， D(X) np(1 p)3， p ， n12，12则 P(X1)C ( )
2、1132 10 .1212 123设随机变量 X 的概率分布列为 P(X k) pk(1 p)1 k(k0,1)，则 E(X)、 D(X)的值分别是( )A0 和 1 B p 和 p2C p 和 1 p D p 和(1 p)p答案 D解析 由 X 的分布列知， P(X0)1 p， P(X1) p，故 E(X)0(1 p)1 p p，易知 X 服从两点分布， D(X) p(1 p)4已知随机变量 和 ，其中 10 2，且 E( )20，若 的分布列如下表，则 m 的值为( ) 1 2 3 4P 14 m n 112A B 4760 3760C D2760 18答案 A解析 E( ) E(10 2
3、)10 E( )220， E( )1.8即：1 2 m3 n4 1.8，14 1122 m3 n 7360又 m n1 ，14 112 23由得， m .47605随机变量 X B(100,0.2)，那么 D(4X3)的值为( )A64 B256 C259 D320答案 B解析 由 X B(100,0.2)知随机变量 X 服从二项分布，且 n100， p0.2，由公式得 D(X) np(1 p)1000.20.816，因此 D(4X3)4 2D(X)1616256，故选B6已知 X 的分布列如下表：X 1 0 1 2P a b c 518且 a、 b、 c 成等比数列， E(X) ，则 a(
4、)19A B 16 13C D12 23答案 C解析 由分布列的性质得 a b c 1318 E(X) ， a c ，19 59 19 a c ，49又 a、 b、 c 成等比数列， b2 ac，将代入、得，Error!由得 b 2 a，代入得， a 或 a ，76 12 4954当 a 时， a 0，不合题意舍去， a .4954 518 6454 12二、填空题7(2015枣庄市高二期末)已知随机变量 X B(4， p)，若 E(X)2，则 D(X)_.答案 1解析 随机变量 X 服从二项分布 X B(4， p)， E(X)2，4 p2， p ，12 D(X)4 p(1 p)1，故答案为
5、1.8(2014浙江理，12)随机变量 的取值为 0、1、2，若 P( 0) ， E( )1，15则 D( )_.答案 25解析 设 1 的概率为 P.则 E( )0 1 P2(1 P )1，15 15 P .35故 D( )(01) 2 (11) 2 (21) 2 .15 35 15 259(2015泰安市高二期末)抛掷一枚均匀硬币 n(3 n8)次，正面向上的次数 服从二项分布 B(n， )，若 P( 1) ，则方差 D( )_.12 332答案 32解析 3 n8， 服从二项分布 B(n， )，且 P( 1) ，C ( )12 332 1n 12n1 (1 ) ，12 332即 n( )
6、n ，解得 n6，12 664方差 D( ) np(1 p)6 (1 ) .12 12 32三、解答题10下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染某人随机选择 3 月 1 日至 3 月13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解析 设 Ai表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”( i1,2，13)，
7、根据题意， P(Ai) ，且 Ai Aj( i j)113(1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染” ，则 B A5 A8，所以 P(B) P(A5 A8) P(A5) P(A8) .213(2)由题意可知， X 的所有可能取值为 0、1、2，且P(X1) P(A3 A6 A7 A11) P(A3) P(A6) P(A7) P(A11) ，413P(X2) P(A1 A2 A12 A13) P(A1) P(A2) P(A12) P(A13) ，413P(X0)1 P(X1) P(X2) .513所以 X 的分布列为：X 0 1 2P 513 413 413故 X 的期望 E(X)0 1
8、2 .513 413 413 1213(3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大一、选择题11某人射击一次击中的概率为 ，经过 3 次射击，此人至少有两次击中目标的概率为35( )A B 81125 54125C D36125 27125答案 A解析 该人 3 次射击，恰有两次击中目标的概率是P1C ( )2 ，2335 25三次全部击中目标的概率是 P2C ( )3，335所以此人至少有两次击中目标的概率是P P1 P2C ( )2 C ( )3 .2335 25 3 35 8112512甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品 1000 件， 表示甲车床生产 1000 件产品中
9、的次品数， 表示乙车床生产 1000 件产品中的次品数，经过一段时间的考察 ， 的分布列分别如表一，表二所示据此判定( )表一 0 1 2 3P 0.7 0 0.2 0.1表二 0 1 2 3P 0.6 0.2 0.1 0.1A甲比乙质量好 B乙比甲质量好C甲与乙质量相同 D无法判定答案 B解析 由分布列可求甲的次品数期望为 E( )0.7，乙的次品数期望为 E( )0.7，进而得 D( )(00.7) 20.7(10.7) 20(20.7) 20.2(30.7)20.11.21， D( )(00.7) 20.6(10.7) 20.2(20.7) 20.1(30.7)20.11.01，故乙的质
10、量要比甲好13(2013海口高二检测)设 是离散型随机变量， P( x1) ， P( x2) ，23 13且 x1x2，又已知 E( ) ， D( ) ，则 x1 x2的值为( )43 29A B 53 73C3 D113答案 C解析 由 E( ) ， D( ) 得，43 29Error!解之得，Error!或Error! x1x2，Error! x1 x23.14随机变量 X 的分布列如下：X 1 2 3P 0.5 x y若 E(X) ，则 D(X)等于( )158A B 732 932C D3364 5564答案 D解析 由题意知，Error! Error! D(X)(1 )2 (2 )2
11、 (3 )2 .158 12 158 18 158 38 5564二、填空题15已知随机变量 的概率分布列如下： 4 a 9P 0.5 0.1 b已知 E( )6.3，随机变量 B(a， b)，则 D( )_.答案 1.68解析 由分布列的性质知 b10.50.10.4， E( )40.50.1 a90.40.1 a5.66.3， a7， B(a， b)，即 B(7,0.4)， D( )70.4(10.4)1.68.16已知总体的各个体的值由小到大依次为2、3、3、7、 a、 b、12、13.7、18.3、20，且总体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小，则 a、 b 的取值分别是_.
12、答案 10.5、10.5解析 由题意得 10.5， a b21，a b2 10，x2 3 3 7 21 13.7 18.3 20 1210 s2 (102) 2(103) 2(103) 2(107) 2(10 a)2(10 b)2(1012)1102(1013.7) 2(1018.3) 2(1020) 2 827 27 23 2(10 a)2(10 b)243.7 28.3 210 2110 (10 a)2(1021 a)2110 2(a10.5) 2110当 a10.5 时，方差 s 最小， b10.5.三、解答题17.(2013辽宁理，19)现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类
13、题，张同学从中任取 3 道题解答(1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；(2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立用 X 表示张同学答对题35 45的个数，求 X 的分布列和数学期望解析 (1)设事件 A“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题” ，则有 “张同学所取的 3 道题都是甲类题” A 因为 P( ) ，所以 P(A)1 P( ) .A C36C310 16 A 56(2)X 所有的可能取值为 0、1、2、3.P(X0)C ( )0( )2 ；0235 25 15 4125P
14、(X1)C ( )1( )1 C ( )0( )2 ；1235 25 15 0235 25 45 28125P(X2)C ( )2( )0 C ( )1( )1 ；235 25 15 1235 25 45 57125P(X3)C ( )2( )0 .235 25 45 36125所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3P 4125 28125 57125 36125所以 E(X)0 1 2 3 2.4125 28125 57125 3612518.(2014哈师大附中高二期中)现对某高校 16 名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下(
15、如：落在区间10,15)内的频率/组距为 0.0125)规定分数在10,20)、20,30)、30,40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出 16 名运动员作为该高校的篮球运动员代表(1)求 a 的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数 X 的分布列；(3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数 Y 的期望解析 (1)由频率分布直方图知：(0.06250.05000.0375 a20.0125)51， a0.0250.其中为一级运动员的概率为(0.01250.0375)50.25，选出篮球运动员代表中一级运动员为 0.25164 人(2)由已知可得 X 的可能取值分别为 0、1、2、3，P(X0) ，C312C316 1128P(X1) ，C21C14C316 3370P(X2) ，C12C24C316 970P(X3) ，C34C316 1140 X 的分布列为X 0 1 2 3P 1128 3370 970 1140(3)由已知得 Y B(3， )，14 E(Y) np3 ，14 34恰有一级运动员人数 Y 的期望为 人34
