1、12 函数及其表示12.1 函数的概念学习目标 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值知识链接1在初中，学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，它们的表达形式分别为 y kx(k0)， y (k0)， y ax b(a0)， y ax2 bx c(a0)kx2反比例函数 y (k0)在 x0 时无意义kx预习导引1函数的概念(1)函数的定义：设 A， B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f： A B 为从集合
2、 A 到集合 B的一个函数，记作 y f(x)， x A.(2)函数的定义域与值域：函数 y f(x)中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x A叫做函数的值域显然，值域是集合 B 的子集2区间概念( a， b 为实数，且 a b)定义 名称 符号 数轴表示x|a x b 闭区间 a， bx|a x b 开区间 (a， b)x|a x b 半开半闭区间 a， b)x|a x b 半开半闭区间 (a， b3.其他区间的表示定义 R x|x a x|x a x|x a x|x a符号 (，) a，) (a，)
3、(， a (， a)4.函数相等如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们称这两个函数相等要点一 函数概念的应用例 1 设 M x|0 x2， N y|0 y2，给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )A0 个 B1 个C2 个 D3 个答案 B解析 错， x2 时，在 N 中无元素与之对应，不满足任意性对，同时满足任意性与唯一性错， x2 时，对应元素 y3 N，不满足任意性错， x1 时，在 N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性规律方法 1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1) A， B 必须都是非空数集；(2)A 中任意一个数在 B 中必
4、须有并且是唯一的实数和它对应注意： A 中元素无剩余， B 中元素允许有剩余2函数的定义中“任意一个 x”与“有唯一确定的 y”说明函数中两变量 x， y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多” 跟踪演练 1 下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是( )A AR， BR， x2 y21B A1,2,3,4， B0,1，对应关系如图：C AR， BR， f： x y1x 2D AZ， BZ， f： x y 2x 1答案 B解析 对于 A 项， x2 y21 可化为 y ，显然对任意 x A， y 值不唯一，故不符1 x2合对于 B 项，符合函数的定义对于 C 项，2 A，
5、但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合对于 D 项，1 A，但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合要点二 求函数的定义域例 2 求下列函数的定义域：(1)y ； x 1 2x 1 1 x(2)y .x 1|x| x解 (1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足Error!即 Error!所以函数的定义域为 x|x1，且 x1(2)要使函数有意义，必须满足| x| x0，即| x| x， x0.函数的定义域为 x|x0规律方法 1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子
6、大于或等于零；(2)分式中分母不能为 0；(3)零次幂的底数不为 0；(4)如果 f(x)由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况2求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示跟踪演练 2 (1) y x 1 0x 2(2)y .2x 312 x 1x解 (1)由于 00无意义，故 x10，即 x1.又 x20， x2，所以 x2 且 x1.所以函数 y 的定义域为 x|x2，且 x1 x 1 0x 2(2)要使函数有意义，需Error!解得 x2，
7、且 x0，32所以函数 y 的定义域为Error!2x 312 x 1x要点三 求函数值例 3 已知 f(x) (xR，且 x1)， g(x) x22( xR)11 x(1)求 f(2)， g(2)的值；(2)求 fg(3)的值解 (1) f(x) ，11 x f(2) .11 2 13又 g(x) x22， g(2)2 226.(2) g(3)3 2211， fg(3) f(11) .11 11 112规律方法 求函数值时，首先要确定出函数的对应法则 f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于 fg(x)型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意 fg(x)与 gf(x)的区别跟踪演练
8、3 已知函数 f(x) .x 1x 2(1)求 f(2)；(2)求 ff(1)解 f(x) ，x 1x 2(1) f(2) .2 12 2 34(2)f(1) ， ff(1) f .1 11 2 23 (23)23 123 2 581下列图形中，不可能是函数 y f(x)的图象的是( )答案 B解析 根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确2函数 f(x) 的定义域为( )x 1x 2A1,2)(2，) B(1，)C1,2) D1，)答案 A解析 由题意可知，要使函数有意义，需满足Error!即 x1 且 x2.3已知 f(x) x2 x1，则 ff(1)的值是( )A11 B12 C
9、13 D10答案 C解析 ff(1) f(3)93113.4下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A y x1 和 yx2 1x 1B y x0和 y1C f(x) x2和 g(x)( x1) 2D f(x) 和 g(x) x 2x x x 2答案 D解析 A 中的函数定义域不同；B 中 y x0的 x 不能取 0；C 中两函数的对应关系不同，故选 D.5集合 x|1 x0，或 1 x2用区间表示为_答案 1,0)(1,2解析 结合区间的定义知，用区间表示为1,0)(1,21.对函数相等的概念的理解：(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当
10、且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同如 y x 与 y3 x 的定义域和值域都是 R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数2区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、 “”(正无穷大)、 “”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合如 x|a x b( a， b， x|x b(， b是数集描述法的变式一、基础达标1下列说法正确的是( )A函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与
11、之对应B函数的定义域和值域可以是空集C函数的定义域和值域一定是数集D函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了答案 C解析 根据从集合 A 到集合 B 函数的定义可知，强调集合 A 中元素的任意性和集合 B 中对应元素的唯一性，所以集合 A 中的多个元素可以对应集合 B 中的同一个元素，从而选项 A错误；同样由函数定义可知， A、 B 集合都是非空数集，故选项 B 错误；选项 C 正确；对于选项 D，可以举例说明，如定义域、值域均为 A0,1的函数，对应关系可以是x x， x A，可以是 x ， x A，还可以是 x x2， x A.x2函数 y 的定义域是( )1 x xA x|x1
12、 B x|x0C x|x1，或 x0 D x|0 x1答案 D解析 由Error!得 0 x1.3下列函数完全相同的是( )A f(x)| x|， g(x)( )2xB f(x)| x|， g(x) x2C f(x)| x|， g(x)x2xD f(x) ， g(x) x3x2 9x 3答案 B解析 A、C、D 的定义域均不同4函数 y 的值域为( )x 1A1，) B0，)C(，0 D(，1答案 B解析 由于 0，所以函数 y 的值域为0，)x 1 x 15已知函数 f(x)2 x1，则 f(x1)等于( )A2 x1 B x1 C2 x1 D1答案 C解析 f(x1)2( x1)12 x1
13、.6设函数 f(x) ，若 f(a)2，则实数 a_.41 x答案 1解析 由 f(a)2，得 2，解得 a1.41 a7求下列函数的定义域：(1)f(x) ；1x 1(2)y ；x2 1 1 x2(3)y2 x3；(4)y .x 1x2 1解 (1)要使函数有意义，即分式有意义，则 x10， x1.故函数的定义域为x|x1(2)要使函数有意义，则Error!即Error!所以 x21，从而函数的定义域为 x|x11，1(3)函数 y2 x3 的定义域为 x|xR(4)因为当 x210，即 x1 时， 有意义，所以原函数的定义域是 x|xR，且x 1x2 1x1二、能力提升8下列各组函数中，
14、f(x)与 g(x)表示同一函数的是( )A f(x) x1 与 g(x) x2 2x 1B f(x) x 与 g(x)x2xC f(x) x 与 g(x) 3x3D f(x) 与 g(x) x2x2 4x 2答案 C解析 A 选项中， f(x)与 g(x)的对应关系不同，它们不表示同一函数；B、D 选项中， f(x)与 g(x)的定义域不同，它们不表示同一函数9已知函数 f(x)的定义域为(1,1)，则函数 g(x) f f(x1)的定义域是(x2)_答案 (0,2)解析 由题意知Error!即Error! 0 x2.10设 f(x)2 x22， g(x) ，则 gf(2)_. 1x 2答案
15、 112解析 f(2)22 2210， gf(2) g(10) .110 2 11211已知 f(x) (x2，且 xR)， g(x) x21( xR)1x 2(1)求 f(2)， g(1)的值；(2)求 f(g(2)的值；(3)求 f(x)， g(x)的值域解 (1) f(x) ， f(2) ；1x 2 12 2 14又 g(x) x21， g(1)1 212.(2)fg(2) f(221) f(5) .15 2 17(3)f(x) 的定义域为 x|xR，且 x2，1x 2由函数图象知 y0，值域是(，0)(0，)g(x) x21 的定义域是 R，由二次函数图象知最小值为 1.值域是1，)三
16、、探究与创新12若 f(x)的定义域为3,5，求 (x) f( x) f(x)的定义域解 由 f(x)的定义域为3,5，得 (x)的定义域需满足Error!即Error!解得3 x3.所以函数 (x)的定义域为3,313已知函数 f(x) .x21 x2(1)求 f(2) f ， f(3) f 的值；(12) (13)(2)求证 f(x) f 是定值(1x)(1)解 f(x) ，x21 x2 f(2) f 1.(12) 221 22(12)21 (12)2f(3) f 1.(13) 321 32(13)21 (13)2(2)证明 f(x) f (1x) x21 x2(1x)21 (1x)2 1.x21 x2 1x2 1 x2 1x2 1
