1、专题 （二） 直线与圆锥曲线主干知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次” ，有利于选拔的功能.经典真题感悟：1.（江西卷 15）过抛物线 2(0)xpy的焦点 F作倾角为 30的直线，与抛物线分别交于 A、 B两点（ 在 轴左侧） ，则 AB 12 (2008 年安徽卷)若过点 A(4,0)的直线 l与曲线 2()xy有公共点,则直线 l的斜率的取值范围为 (
2、)A. 3,B. (3,)C. 3,D. 3(,)3(2008 年海南-宁夏卷)设双曲线2196xy的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B,则三角形 AFB 的面积为_.热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例 1.已知双曲线 C：2 x2 y2=2 与点 P(1，2)(1)求过 P(1，2)点的直线 l 的斜率取值范围，使 l 与 C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点.当 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2= k(x1),代入 C 的方程，并整理
3、得(2 k2)x2+2(k22 k)x k2+4k6=0 (*)()当 2 k2=0,即 k= 时，方程( *)有一个根， l 与 C 有一个交点()当 2 k20,即 k 2时 =2( k22 k) 24(2 k2)( k2+4k6)=16(32 k)当 =0,即 32 k=0,k= 时，方程( *)有一个实根， l 与 C 有一个交点.当 0,即 k ,又 k ,故当 k 或 k 2或 k 23时，方程( *)有两不等实根， l 与 C 有两个交点.当 0，即 k 23时，方程( *)无解， l 与 C 无交点.综上知：当 k= 2,或 k= 3，或 k 不存在时， l 与 C 只有一个交
4、点；当 2 k 3,或 k 2,或 k 2时， l 与 C 有两个交点；当 k 时， l 与 C 没有交点.(2)假设以 Q 为中点的弦存在，设为 AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12 y12=2,2x22 y22=2 两式相减得：2( x1 x2)(x1+x2)=(y1 y2)(y1+y2)又 x1+x2=2,y1+y2=22( x1 x2)=y1 y1即 kAB= 21=2但渐近线斜率为 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中点的弦不存在.(2)若 Q(1，1)，试判断以 Q 为中点的弦是否存在.考点二：圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问
5、题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。例 2 直线 m： 1kxy和双曲线 12yx的左支交于 A、B 两点，直线l过 P（ 0,）和 AB 线段的中点 M，求 l在 轴上的截距 b的取值范围。解：由)(2x消去 得 0)(2kxk，由题意，有：012)1(841kxk21k设 M（ 0,yx），则 201kx由 P（ ,2）、M（ 2,1k）、Q（ b,0）三点共线，可求得kb设 )(2f 817)4(2，则 )(kf在 )2,1上为减函数。所以 )1(ff，且 0kf所以 1)(2
6、(kf 所以 )2(b或 b考点三：弦长问题涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.例 3.如图所示，抛物线 y2=4x 的顶点为 O，点 A 的坐标为(5，0)，倾斜角为 4的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O或点 A)且交抛物线于 M、 N 两点，求 AMN 面积最大时直线 l 的方程，并求AMN 的最大面积.解：由题意，可设 l 的方程为 y=x+m,5 m0.由方程组 xy42,消去 y,得 x2+(2m4) x+m2=0 直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、 N，方程的判别式 =(2m4) 24 m2=16(1
7、 m)0,解得 m1,又5 m0, m 的范围为(5，0)设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=42 m， x1x2=m2,| MN|=4 .点 A 到直线 l 的距离为 d= 25. S =2(5+m) 1,从而 S 2=4(1 m)(5+m)2=2(22 m)(5+m)(5+m)2( 35)3=128. S 8 ,当且仅当 22 m=5+m,即 m=1 时取等号.故直线 l 的方程为 y=x1， AMN 的最大面积为 8 2.考点 4：圆锥曲线关于直线对称问题例 4. 已知椭圆的中心在圆点,一个焦点是 F(2,0),且两条准线间的距离为 (4),(I)求椭圆的方程;(II)
8、若存在过点 A(1,0)的直线 l,使点 F 关于直线 l的对称点在椭圆上,求 的取值范围.【解析】(I)设椭圆的方程为21(0)xyab由条件知22,ac且 所 以, 224c故椭圆的方程是21(4)xy(II)依题意,直线 l的斜率存在且不为 0,记为 k,则直线 l的方程是 (1)ykx,设点 F(2,0)关于直线 l的对称点为 /0(,)Fxy,则0 0202(1)1yxkky解 得因为 /0(,)Fxy在椭圆上,所以22()()114k即 422(6)()0k故 2t,则 tt因为2(4),0所 以于是,当且仅当23(6)(4)0,2,4(*)上述方程存在正实根,即直线 l存在.解(
9、*)得16,16334所 以即 的取值范围是规律总结1. 判定直线与圆锥曲线位置关系时,应将直线 l方程与圆锥曲线 C 的方程联立,消去 y(也可消去 x)得一个关于变量 x的一元方程 20.axb当 0a时,若有 0,则 l与 C 相交;若 ,则 l与 C 相切;若 0,则 l与 C 相离. 当 时,得到一个一元一次方程,若方程有解,则有直线 与 C 相交,此时只有一个公共点;若 C 为双曲线,则 l平行于双曲线的渐近线;若 C 为抛物线,则 l平行于抛物线的轴.所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能相交.2. “设而不求”的方法若直线 l与圆锥
10、曲线 C 有两个交点 A 和 B 时,一般地,首先设出交点 A( 1,xy)、B( 2,),它们是过渡性参数,不须求出,有时运用韦达定理解决问题,有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解.3. 韦达定理与弦长公式斜率为 k的直线被圆锥曲线截得弦 AB,若 A( 1,xy),B( 2,)则 2|1|ABxk 21|(0)yk,然后再结合韦达定理可求出弦长等.专题能力训练：一、选择题1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 42x+y2=1 相交于 A、 B 两点，则| AB|的最大值为( )A.2 B. 5 C. 510D. 5108 2.抛物线 y=ax2与直线 y=kx+b(k0)交于 A、 B
11、 两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( )A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=01.解析：弦长| AB|= 542t 04.答案：C2.解析：解方程组 bkxya2,得 ax2 kx b=0,可知 x1+x2= ak,x1x2= b,x3= k,代入验证即可.答案：B3.斜率为 2 的直线 l过双曲线21(0,)xyab的右焦点,且与双曲线的左、右两支分别相交,则双曲线的离心率 e的取值范围是 ( D )A. eB. 13C. 5eD. 5e4.过点 A(4,0)的直线
12、与抛物线 24yx交于另外两点 B、C,O 是坐标原点,则三角形 BOC 是 ( C )A.锐角三角形 B.钝角三角形 C. 直角三角形 D.形状不确定二、填空题5.已知两点 M(1， 45)、 N(4， 5)，给出下列曲线方程：4 x+2y1=0, x2+y2=3,2x+y2=1,2x y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_.解析：点 P 在线段 MN 的垂直平分线上，判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案：6.正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上， C、D 两点在抛物线 y2=x 上，则正方形ABCD 的面积为_.7.在抛物线
13、y2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_.6 解析：设 C、 D 所在直线方程为 y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出| CD|的长，利用| CD|的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离，求出 b 的值，再代入求出| CD|的长.答案：18 或 507.解析：设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、 B，且 A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，( y1+y2）( y1 y2)=16(x1 x2).即 21216kAB=8.故所求直线方程为 y=8x15.答案：8 x y
14、15=0三、解答题8.已知抛物线 y2=2px(p0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、 B，且| AB|2 p.(1)求 a 的取值范围.(2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求 NAB 面积的最大值.9.已知中心在原点，顶点 A1、 A2在 x 轴上，离心率 e= 321的双曲线过点P(6，6).(1)求双曲线方程.(2)动直线 l 经过 A1PA2的重心 G，与双曲线交于不同的两点 M、 N，问：是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN，证明你的结论.10.已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点，且都以点 A( 2，0)为圆心，1为
15、半径的圆相切，双曲线的一个顶点 A1与 A 点关于直线 y=x 对称.(1)求双曲线 C 的方程.(2)设直线 l 过点 A，斜率为 k,当 0 k1 时，双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2，试求 k 的值及此时 B 点的坐标.11. 已知过双曲线方程 14xy(1)过 M(1,1)的直线交双曲线于 A、B 两点,若 M 为弦 AB 的中点,求直线 AB 的方程;(2)是否存在直线 l,使 1(,)2N为 l被双曲线所截得弦的中点,若存在,求出直线 l的方程;若不存在,请说明理由.8 解：(1)设直线 l 的方程为： y=x a,代入抛物线方程得( x a)2=2p
16、x,即 x22( a+p)x+a2=0| AB|= 24)(pa2 p.4 ap+2p2 p2,即 4ap p2又 p0, a .(2)设 A(x1,y1)、 B(x2,y2)， AB 的中点 C(x,y),由(1)知， y1=x1 a,y2=x2 a,x1+x2=2a+2p,则有 x= 2p=p.线段 AB 的垂直平分线的方程为 y p=( x a p),从而 N 点坐标为( a+2p,0）点 N 到 AB 的距离为 a2|从而 S NAB= 224)(21 当 a 有最大值 4p时， S 有最大值为 p2.9.解：(1)如图，设双曲线方程为 2byax=1.由已知得 321,1622abe
17、ba,解得 a2=9,b2=12.所以所求双曲线方程为 129yx=1.(2)P、 A1、 A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(3，0） ，其重心 G 的坐标为(2，2）假设存在直线 l，使 G(2，2)平分线段 MN，设 M(x1,y1)， N(x2,y2).则有34912410891122xyyxy， kl= l 的方程为 y= 3 (x2)+2,由 )2(3410891xy,消去 y,整理得 x24 x+28=0. =164280,所求直线 l 不存在.10.解：(1)设双曲线的渐近线为 y=kx,由 d= 1|2|k=1,解得 k=1.即渐近线为 y=x,又点 A 关于 y=x
18、对称点的坐标为(0， ). a= 2=b,所求双曲线 C 的方程为 x2 y2=2.(2)设直线 l： y=k(x )(0 k1 ),依题意 B 点在平行的直线 l上，且 l 与 l间的距离为 2.设直线 l： y=kx+m,应有 21|2k,化简得 m2+2 km=2. 把 l代入双曲线方程得( k21) x2+2mkx+m22=0,由 =4m2k24( k21)( m22)=0.可得 m2+2k2=2、两式相减得 k= m,代入得 m2= 5,解设 m= 10,k= 52,此时 x=212k,y= 10.故 B(2 , 10).11.解析(1)设 2(),()Axy,则 121(,M则有
19、14xy2-得 12121212()()0xxyy ,y12ABkx1()2AByx直 线 方 程 为20x双曲线的一条渐近线方程为 2yx,而 12,210xy直 线与双曲线交于两点.为所求.(2)假设过 N 直线 l交双曲线于, 12(,)(,)CxyD则有214xy,2xy.两式相减得 12121212()()0yy 12,x12CDyk双曲线的一条渐近线方程为 2,1yx而 ,直线 l与双曲线没有公共点.以 1(,)2N为弦中点的直线不存在.【点评】 ”设而不求”是保证 A、B 两交点存在的情况下,所采用整体运算求直线方程的方法,但如果是假定直线与曲线存在两个交点 A、B 为前提下求出直线 l,则必须验证 l与圆锥曲线公共点的存在性.
