1、【成才之路】2015-2016 学年高中数学 2.3.3 离散型随机变量的均值与方差课时作业 新人教 A 版选修 2-3一、选择题1(2015宝鸡市金台区高二期末)设 B(18， p)，又 E( )9，则 p 的值为( )A B 12 13C D14 23答案 A解析 B(18， p)， E( )9，18 p9， p ，故选 A122已知随机变量 X 的分布列为X 0 1 2P 715 715 115且 2 X3，且 E( )等于( )A B 35 65C D215 125答案 C解析 E(X)0 1 2 ，715 715 115 35 E( ) E(2X3)2 E(X)3 .2153某人从家
2、乘车到单位，途中有 3 个交通岗假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是 0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( )A0.4 B1.2 C0.4 3 D0.6答案 B解析 途中遇红灯的次数 X 服从二项分布，即 X B(3,0.4)， E(X)30.41.2.4已知 X 的分布列为X 1 0 1P 12 13 16若 2 X2，则 D( )的值为( )A B 13 59C D109 209答案 D解析 E(X)1 0 1 ， D(X)12 13 16 13 2 2 2 ，( 113) 12 (0 13) 13 (1 13) 16 59 D( ) D(2X2)4 D(X) .45
3、9 2095随机变量 X 服从二项分布 X B(n， p)，且 E(X)300， D(X)200，则 p 等于( )A B0 23C1 D13答案 D解析 X B(n， p)， E(X)300， D(X)200，Error! p .136某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给 A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学若小组内同学甲猜对成语的概率是 0.4，同学乙猜对成语的概率是 0.5，且规定猜对得 1 分，猜不对得 0 分，则这两个同学各猜 1 次，得分之和 X(单位：分)的数学期望为( )A0.9 B0.8 C1.2 D1.1答案 A解
4、析 X 的取值为 0、1、2，P(X0)(10.4)(10.5)0.3，P(X1)0.4(10.5)(10.4)0.50.5，P(X2)0.40.50.2， E(X)00.310.520.20.9.二、填空题7(2015东莞市高二期末)如果随机变量 B(n， p)，且 E( )7， D( )6，则p 等于_.答案 17解析 随机变量 B(n， p)，且 E( )7， D( )6，Error!7(1 p)6,1 p ，解得 p .67 178某次考试中，第一大题由 12 个选择题组成，每题选对得 5 分，不选或选错得 0分小王选对每题的概率为 0.8，则其第一大题得分的均值为_.答案 48解析
5、设小王选对个数为 X，得分为 5 X，则 X B(12,0.8)， E(X) np120.89.6，E( ) E(5X)5 E(X)59.648.三、解答题9(2014豫东、豫北十所名校联考)为了解当前国内青少年网瘾的状况，探索青少年网瘾的成因，中国青少年网络协会调查了 26 个省会城市的青少年上网情况，并在已调查的青少年中随机挑选了 100 名青少年的上网时间作参考，得到如下的统计表格，平均每天上网时间超过了 2 个小时可视为“网瘾”患者.时间(单位：小时) 0,1 (1,2 (2,3 (3,4 (4,5 (5,6 (6,12人数 52 23 10 5 4 4 2(1)以该 100 名青少年
6、来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选 3 名青少年，求至少有一人是“网瘾”患者的概率；(2)以该 100 名青少年来估计中国青少年的上网情况，则在中国随机挑选 4 名青少年，记 X 为“网瘾”患者的人数，求 X 的分布列和数学期望解析 (1)由题意得，该 100 名青少年中有 25 个是“网瘾”患者设 Ai(0 i3)表示“所挑选的 3 名青少年有 i 个青少年是网瘾患者” ， “至少有一人是网瘾患者”记为事件 A，则 P(A) P(A1) P(A2) P(A3)1 P(A0)1( )3 .75100 3764(2)X 的可能取值为 0、1、2、3、4，P(X0)( )4 ，34 81
7、256P(X1)C ( )3( ) ，1434 14 2764P(X2)C ( )2( )2 ，2434 14 27128P(X3)C ( )( )3 ，3434 14 364P(X4)C ( )4 .414 1256X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 81256 2764 27128 364 1256则 E(X)0 1 2 3 4 1.81256 2764 27128 364 125610. (2015河南省高考适应性测试)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ；向乙靶射击一次命中的概率为 ，该射手每次射击的结果相互独立假设该34 23射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，
8、若两次都命中，则通过测试；若两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试(1)求该射手通过测试的概率；(2)求该射手在这次测试中命中的次数 X 的分布列及数学期望解析 (1)设“该射手通过测试”为事件 A， “向甲靶射击两次都命中”为事件B， “向甲靶射击两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中”为事件 C 事件 B， C 互斥，且 A B C 所以该射手通过测试的概率 P(A) P(B) P(C) 2C .(34) 12 34 (1 34) 23 1316(2)由题意知， X0,1,2.P(X0) 2 ； P(X1)C ； P(X2) P(A) .(134
9、) 116 12 34 (1 34) (1 23) 18 1316所以该射手在这次测试中命中的次数 X 的分布列为X 0 1 2P 116 18 1316该射手在这次测试中命中的次数 X 的数学期望为 E(X)0 1 2 .116 18 1316 74一、选择题11已知 X 服从二项分布 B(n， p)，且 E(3X2)9.2， D(3X2)12.96，则二项分布的参数 n、 p 的值为( )A n4， p0.6 B n6， p0.4C n8， p0.3 D n24， p0.1答案 B解析 由 E(3X2)3 E(X)2， D(3X2)9 D(X)，及 X B(n， p)时， E(X) np，
10、 D(X) np(1 p)可知Error! Error!12有 10 张卡片，其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5，从中任意抽出 3 张卡片，设3 张卡片上的数字之和为 X，则 X 的数学期望是( )A7.8 B8 C16 D15.6答案 A解析 X 的取值为 6、9、12， P(X6) ，C38C310 715P(X9) ， P(X12) .C28C12C310 715 C18C2C310 115E(X)6 9 12 7.8.715 715 115二、填空题13在一次商业活动中，某人获利 300 元的概率为 0.6，亏损 100 元的概率为 0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均
11、值是_元答案 140解析 设此人获利为随机变量 X，则 X 的取值是 300，100，其概率分布列为：X 300 100P 0.6 0.4所以 E(X)3000.6(100)0.4140.14若 X 的分布列如下表：X 1 2 3 4P 14 14 14 14则 D _.(14X)答案 564解析 E(X) (1234) ，14 52D(X) (152)2 (2 52)2 (3 52)2 (4 52)2 ，14 54 D D(X) .(14X) 116 564三、解答题15袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球
12、， 表示所取球的标号(1)求 的分布列、均值和方差；(2)若 a b， E( )1， D( )11，试求 a、 b 的值解析 (1) 的分布列为： 0 1 2 3 4P 12 120 110 320 15 E( )0 1 2 3 412 120 110 320 151.5.D( )(01.5) 2 (11.5) 2 (21.5) 2 (31.5) 2 (41.5)12 120 110 3202152.75.(2)由 D( ) a2D( )，得 a22.7511，即 a2.又 E( ) aE( ) b，所以当a2 时，由 121.5 b，得 b2；当 a2 时，由 121.5 b，得 b4，Er
13、ror! 或Error!即为所求16.(2015大庆市模拟)在“出彩中国人”的一期比赛中，有 6 位歌手(16)登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出 3位出彩候选人，其中媒体甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，另在 2 号至 6 号中随机的选2 名；媒体乙不欣赏 2 号歌手，他必不选 2 号；媒体丙对 6 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 6 号歌手中随机的选出 3 名(1)求媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率；(2)用 X 表示 3 号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求 X 的分布列及数学期望分析 (1)设 A 表示
14、事件：“媒体甲选中 3 号歌手” ， B 表示事件“媒体乙选中 3 号歌手” ， C 表示事件“媒体丙选中 3 号歌手” ，由等可能事件概率公式求出 P(A)， P(B)，由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中 3 号歌手且媒体乙未选中 3 号歌手的概率(2)先由等可能事件概率计算公式求出 P(C)，由已知得 X 的可能取值为 0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列及数学期望解析 (1)设 A 表示事件“媒体甲选中 3 号歌手” ，B 表示事件“媒体乙选中 3 号歌手” ， C 表示事件“媒体丙选中 3 号歌手” ，P(A) ， P(B)
15、，C14C25 25 C24C35 35媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率为P(A ) P(A)(1 P(B) (1 ) .B25 35 425(2)P(C) ，由已知得 X 的可能取值为 0,1,2,3，C25C36 12P(X0) P( )(1 )(1 )(1 ) ，ABC25 35 12 325P(X1) P(A ) P( B ) P( C)BC A C AB (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) ，25 35 12 25 35 12 25 35 12 1950P(X2) P(AB ) P(A C) P( BC) (1 ) (1 ) (1 ) C B A25
16、 35 12 25 35 12 25 35 12，1950P(X3) P(ABC) ，25 35 12 325 X 的分布列为X 0 1 2 3P 325 1950 1950 325E(X)0 1 2 3 .325 1950 1950 325 3217.某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 A、 B、 C、 D 四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为 10 分，答对问题 A、 B、 C、 D 分别加 1 分、2 分、3分、6 分，答错任一题减 2 分；每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；
17、当答完四题，累计分数仍不足14 分时，答题结束，淘汰出局；每位参加者按问题 A、 B、 C、 D 顺序作答，直至答题结束假设甲同学对问题 A、 B、 C、 D 回答正确的概率依次为 、，且各题回答正确与否34121314相互之间没有影响(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 的分布列和数学期望 E( )解析 设 A、 B、 C、 D 分别表示甲同学能正确回答第一、二、三、四个问题的事件，、 、 、 分别为 A、 B、 C、 D 的对立事件(例如 表示甲同学第一题回答错误)A B C D A 由题设条件知， P(A) ， P(B) ， P(C) ， P
18、(D) ， P( ) ， P( ) ， P( )34 12 13 14 A 14 B 12 C ， P( ) .23 D 34(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件 W，则由题设条件知W ABC AB D A CD BCD B D，C B A A C A、 B、 C、 D 各事件相互独立， P(W) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P( )P(D) P(A)P( )P(C)P(D)C B P( )P(B)P(C)P(D) P( )P(B)P( )P(D)A A C .34 12 13 34 12 23 14 34 12 13 14 14 12 13 14 14 12 23 14 14(
19、2)由题意知， 的可能取值为 2、3、4，则P( 2) P( ) P( )P( ) ，A B A B 14 12 18P( 3) P(ABC A ) P(A)P(B)P(C) P(A)P( )P( ) .B C B C 34 12 13 34 12 23 38P( 4)1 P( 2) P( 3)1 ，18 38 12 的分布列为 2 3 4P( ) 18 38 12 E( )2 3 4 .18 38 12 27818(2015徐州期末)有红、黄、蓝、白 4 种颜色的小球，每种小球数量不限且它们除颜色不同外，其余完全相同，将小球放入编号为 1,2,3,4,5 的盒子中，每个盒子只放一只小球(1)
20、放置小球满足：“对任意的正整数 j(1 j5)，至少存在另一个正整数k(1 k5，且 j k)使得 j 号盒子与 k 号盒子中所放小球的颜色相同”的概率；(2)记 X 为 5 个盒子中颜色相同小球个数的最大值，求 X 的概率分布和数学期望E(X)解析 (1)4 种颜色的球放置在 5 个不同的盒子中，共有 45种放法，满足条件的发放分为两类：每个盒子中颜色都相同，共有 4 种，有 2 种颜色组成，共有 2C C 120，24 25所求的概率为 P ；4 12045 31256(2)X 的可能的值为 2,3,4,5.则 P(X2) ，C14A35 C24C12C15C2445 75128P(X3) ，C14C353245 45128P(X4) ，C14C45C1345 15256P(X5) ；445 1256所以 X 的概率分布列为：X 2 3 4 5P 75128 45128 15256 1256E(X)2 3 4 5 .75128 45128 15256 1256 635256
