1、第二章 数列2.1 数 列21.1 数 列( 一)自主学习知识梳理1数列的概念按照一定_排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_2数列的一般形式数列的一般形式可以写成 a1，a 2，a 3，a n，简记为_，其中_称为数列 an的第 1 项(或称为_)，a 2 称为第 2 项，_称为第 n 项3数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类：有穷数列：项数_的数列；无穷数列：项数_的数列(2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类：递增数列：从第 2 项起，每一项都_它的前一项的数列；递减数列：从第 2 项起，每一项都_它的前一项的数列；常数列：各项_的数列；摆动数列：从第 2
2、 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列4数列的通项公式如果数列a n的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式5数列的递推公式如果已知数列a n的首项(或前 n 项) 及相邻两项间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式自主探究1数列 1,2,3,4，的一个通项公式是_2数列 1，的一个通项公式是_1213143数列 2,4,6,8，的一个通项公式是_4数列 1,3,5,7，的一个通项公式是_5数列 1,4,9,16，的一个通项公式是_6数列 1,2,4,8，的一个通项公式是_7数列1,1，1,1，的一个通项公式
3、是_8数列 1，2,3，4，的一个通项公式是_9数列 9,99,999,9 999，的一个通项公式是_10数列 0.9,0.99,0.999,0.999 9，的一个通项公式是_对点讲练知识点一 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式例 1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3) ， ， ， ， ，；1214 581316 29326164(4) ，1， ， ，；32 710 917(5)0,1,0,1，.总结 解决本类问题的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的
4、联想、转化而达到问题的解决变式训练 1 写出下面数列的一个通项公式(1)2 ，4 ，6 ，8 ，；12 14 18 116(2)10,11,10,11,10,11，；(3)1， ， ，.85 157 249知识点二 根据递推公式写出数列的前几项例 2 设数列a n满足Error!写出这个数列的前 5 项总结 由递推公式可以确定数列，它也是给出数列的一种常用方法变式训练 2 在数列a n中，已知 a12，a 23，a n2 3 an1 2a n(n1)，写出此数列的前 6 项知识点三 数列通项公式的应用例 3 已知数列 ；9n2 9n 29n2 1 (1)求这个数列的第 10 项；(2) 是不是
5、该数列中的项，为什么？98101(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间 内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由(13，23)总结 判断某数是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求 n 的值，若存在正整数 n，则说明该数是数列的项，否则就不是该数列中的项变式训练 3 已知数列a n的通项公式 an . 1nn 12n 12n 1(1)写出它的第 10 项；(2) 判断 是不是该数列中的项2331与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的(2)可重复性：数列中的数可以重复(3)有序性：一个数
6、列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关2并非所有的数列都能写出它的通项公式例如， 的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列 3,3.1,3.14,3.141，它没有通项公式3如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式例如：数列1,1，1,1，1,1，的通项公式可写成 an(1) n，也可以写成 an(1) n2 ，还可以写成 anError!其中 kN *.课时作业一、选择题1设数列 ， ，2 ， ，则 2 是这个数列的( )2 5 2 11 5A第 6 项 B第 7 项 C第 8 项 D第 9 项2数列 1,3,6,10，的一个通项公式是( )Aa nn 2n
7、1 Ba nnn 12Ca n Da nn 21nn 123已知数列a n中，a n2n1，那么 a2n为( )A2n1 B4n1 C4 n1 D4n4若数列的前 4 项为 1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )Aa n 1(1) n1 12Ba n 1cos(n180)12Ca nsin 2(n90)Da n(n1)(n2) 1(1) n1 125已知数列a n的通项公式为 ann 2n50，则8 是该数列的 ( )A第 5 项 B第 6 项 C第 7 项 D非任何一项二、填空题6用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数 an与所搭三角形的个数 n 之间的
8、关系式可以是_7传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前 570 年 公元前 500 年) 学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第 10 个三角形数是_8数列 a，b，a，b，的一个通项公式是_三、解答题9根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第 n 个图中的点数10数列a n中，a 11，对所有的 n2，都有 a1a2a3ann 2.(1)求 a3a 5；(2)探究 是否为此数列中的项；256225(3)试比较 an与 an1 (n2)的大小第二章 数列2
9、.1 数 列21.1 数 列( 一)知识梳理1顺序 项2a n a 1 首项 a n3(1)有限 无限 (2) 大于 小于 相等自主探究1a nn2a n1n3a n2n4a n2n15a nn 26a n2 n17a n(1) n8a n(1) n1 n9a n10 n110a n10.1 n对点讲练例 1 解 (1)符号问题可通过( 1) n或( 1) n1 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an(1) n(6n5) (nN *)(2)数列变形为 (10.1)， (10.01) ， (10.001) ，a n (nN *)89 89
10、89 89(1 110n)(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第1 项变为 ，因此原数列可化为 ， ， ， ，2 32 21 321 22 322 23 323 24 324a n(1) n (nN *)2n 32n(4)将数列统一为 ， ， ，对于分子 3,5,7,9，是序号的 2 倍加 1，可得分子的3255 710 917通项公式为 bn2n1，对于分母 2,5,10,17，联想到数列 1,4,9,16即数列n 2，可得分母的通项公式为 cnn 21，可得它的一个通项公式为 an (nN *)2n 1n2 1(5)anEr
11、ror!或 an (nN *)或 an (nN *)1 1n2 1 cos n2变式训练 1 解 (1)这是个混合数列，可看成 2 ，4 ，6 ，8 ，.12 14 18 116故通项公式 an2n (nN *)12n(2)该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期性求 an.原数列可变形为：100,101,100,101，.故其一个通项为：a n10 ，1 1n2或 anError! .(3)通项符号为(1) n，如果把第一项1 看作 ，则分母为 3,5,7,9，分母通项为332n1；分子为 3,8,15,24，分子通项为(n1) 21 即 n(n2)，所以原数列通项为：a n(1)
12、n (nN *)n2 2n2n 1例 2 解 由题意可知a11，a21 1 2，1a1 11a31 1 ，1a2 12 32a41 1 ，1a3 23 53a51 1 .1a4 35 85变式训练 2 解 a 12，a 23，a33a 22a 133225，a43a 32a 235239，a53a 42a 3392517，a63a 52a 43172933.例 3 (1)解 设 f(n)9n2 9n 29n2 1 .3n 13n 23n 13n 1 3n 23n 1令 n10，得第 10 项 a10f(10) .2831(2)解 令 ，得 9n300.3n 23n 1 98101此方程无自然数解，所以 不是该数列中的项98101(3)证明 a n 1 ，3n 23n 1 3n 1 33n 1 33n 1又 nN *，00，a nan1 .n4 n2 12n 12n2
