1、2.3数学归纳法教案（1）教学目标中国#教育出*版%网1、理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤。2、通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径。z&zs#tep.c*om教学重点、难点重点：借助具体实 例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数 n（n 取无限多个值）有关的数学命题。难点：学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。教学过程：一、问题情景情境 1：已知数列 的通项公式为 。 （1）求出其前四项，你能得
2、na22(5)na到什么样的猜想？（2）你的猜想正确吗？ 来源:zz*ste%p.情境 2：对于数列 ，已知 ， 。 （1）求出数n11()2nna*()N列前 4 项,你能得到什么猜想？（2）你认为你的结论一定正确吗？如何证明猜想是正确的？是否用行之有效，有限的步骤进行证明呢？二、学生活动一般来说，与正整数 n 有关的命题，当 n 比较小时可以逐个验证，但当 n 较大时，验证就很麻烦。特别是 n 可取所有正整数时逐一验证是不可能的。因此，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明 n 取所有正整数都成立。1、了解多米诺骨牌游戏。可以看出，只要满足以下两条件， 所有多米诺骨牌就都能倒下：
3、来源%:*中教网&（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后 一块倒下。 来源:思考：你认为条件（2）的作用是什么？可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第 k 块倒下时，相邻的第 k+1 块也倒下。来源:这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证（1） （2）成立。2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。来源:zzst%*思考：你认为证明数列的通过公式是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？na1你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？来源:分析： 多米诺骨牌游戏原理通项公式 的证明方法n1（1 ）第一块骨牌倒下。 （1 ）当 n=1 时 a1=1，猜想成立（2
4、）若第 k 块倒下时，则相邻的第 k+1 块也倒下。（2 ）若当 n=k 时猜想成立，即 ，ka1则当 n=k+1 时猜想也成立，即 1。根据（1）和 （2 ） ，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。根据（1）和（2） ，可知对任意的正整数 n，猜想都成立。三、数学构建1、数学归纳法的原理一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1） （归纳奠基）证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立；（2） （归纳递推）假设 n=k( )时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立。来源:zzs%t&ep.#comk,0只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n
5、 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。用框图表示为：来%源: 中教 网&来源:ww#w%.zzstep.*验证 n=n0 时命题成立。若 n=k (kn0)时命题成立，证明 n=k+1 时命题也成立。归纳奠基 归纳递推 注意：（1）这两步步骤缺一不可。 （ 2）用数学 归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当 n=k+1 时命题成立”。来源:中国教育出版*网&（3）数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并 不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。www&.zz*step.co#m四、数学运用w&ww
6、.zzstep.c%om1、例题例 1、用数学归纳法证明：135（2n1） 2n证明：(1)当 n=1 时，左边=1， 右边=1，等式成立.(2)假设当 n=k 时，等式成立，就是 1+3+5+(2k1)=k2 ，那么 1+3+5+(2k1)+ 2(k+1)1=k 2+2(k+1)1=k 2+2k+1=(k+1)2.来#源:&*中教%网n=k+1 时也成立.由(1)和(2)，可知等式对任何 nN*都成立.来 源&: 中教*#网例 2、用数学归纳法证明：2+4+6+8+2n=n 2+n+1(nN*)证明 ：假设当 n=k 时等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN*)那么，当 n=
7、k+1 时，有 2+4+6+8+2k+2（k+1)=k 2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1 ,因此，对于任何 nN*等式都成立。例 3、 用数学归纳法证明： *11()23()nNn证明 当 n=1 时,左边= ,右边= ， 此时，原等式成立。 2命题对从 n0 从开始所有的正整数 n 都成立。假设 n=k(kN*) 时原等式成立 ，即 1123()kk那么 n=k+1 时,11123()(2)()2kkk AA这就是说，当 n=k+1 时, 命题也成立。由 知, 对一切正整数 n,原等式均正确。 2、课堂练习1、已知三角形内角和为 180，四边形的内角和为 360，五边形
8、的内角和为 540，于是有：凸 n 边形的内角和为(n-2)180，若用数学归纳法证明，第一步验证 n 取第一个正整数时命题成立，则第一个正整数取值为 _ _ 32、用数学归纳法证明 （a1） ，在验证 n=1 等式2211naa成立时 ，左边应取的项是_. 来源:3、用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3(2n-1)时，在证明 n=k+1 时：左边代数式为 ，共有 项，从 k 到 k+1左边需要增乘的代数式为 (k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1) K+1 (21)21)k即 （五、回顾反思(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论； (3)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段来解决“无限 ”的问题六、补充练习：同步检测
