1、1.2 应用举例( 一)自主学习知识梳理1实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_的角叫仰角，在水平线_的角叫俯角(如图)(2)方位角指从正北方向_转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图)(3)坡度坡面与水平面所成的二面角的度数2基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线一般来说，基线_，测量的精确度越高自主探究为了测量两山顶 M、N 间的距离，飞机沿水平方向在 A、B 两点进行测量，A、B 、M 、N 在同一铅垂平面内飞机已经测量的数据有：A 点到 M、N 点的俯角1、 1； B 点到 M、N 点的俯角 2、 2；A、B 的距
2、离 d(如图所示)甲乙两位同学各自给出了计算 MN 的两种方案，请你补充完整甲方案：第一步：计算 AM.由正弦定理 AM_；第二步：计算 AN.由正弦定理 AN_；第三步：计算 MN.由余弦定理MN_.乙方案：第一步：计算 BM.由正弦定理 BM_；第二步：计算 BN.由正弦定理 BN_ ；第三步：计算 MN.由余弦定理MN_.对点讲练知识点一 测量距离问题例 1 要测量对岸两点 A、B 之间的距离，选取相距 km 的 C、D 两点，并测得3ACB 75，BCD45， ADC30 ，ADB45 ，求 A、B 之间的距离总结 测量两个不可到达的点之间的距离问题首先把求不可到达的两点 A，B 之间
3、的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中计算 AC 和 BC.变式训练 1 如图所示，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB 105 后，就可以计算 A、B 两点的距离为( )A50 m B50 m2 3C25 m D. m22522知识点二 测量高度问题例 2 如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ，在塔底 C 处测得A 处的俯角为 .已知铁塔 BC 部分的高为 h，求出山高 CD.总结 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问
4、题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解变式训练 2 江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和 30，而且两条船与炮台底部连成 30，求两条船之间的距离知识点三 测量角度问题例 3 在海岸 A 处，发现北偏东 45的方向，距离 A ( 1) n mile 的 B 处有一艘走私3船，在 A 处北偏西 75的方向，距离 A 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 n mile/h 的速3度追截走私船此时，走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30的方向逃窜，问缉私船沿
5、什么方向能最快追上走私船？总结 本例考查正弦、余弦定理的建模应用注意到最快追上走私船时两船所用时间相等，若在 D 处相遇，则可先在 ABC 中求出 BC，再在BCD 中求BCD.变式训练 3 甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60方向的 B 处，两船相距 a n mile，乙船向正北方向行驶若甲船的速度是乙船速度的 倍，问甲船应沿什么方向前进3才能尽快追上乙船？相遇时乙船行驶多少 n mile?1距离问题测量平面距离时，往往把要测量的距离化为某一个三角形的一条边，再运用正弦定理或余弦定理加以求解2高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问题由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方
6、法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题3角度问题测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角. 课时作业一、选择题1已知两灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观测站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )Aa km B. a km C. a km D2a km3 22如图所示，D、C、B 三点在地面同一直线上，DCa，从 C、D 两点测得 A 点的仰角分别是 、 ()，则 A 点离地面的高
7、 AB 等于( )A.asin sin sin B.asin sin cos C.asin cos sin D.acos cos cos 3台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( )A0.5 小时 B1 小时 C1.5 小时 D2 小时4.甲船在岛 B 的正南 A 处，AB10 千米，甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行，同时，乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60的方向驶去当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A. 分钟 B. 小
8、时1507 157C21.5 分钟 D2.15 分钟二、填空题5如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点C 与 D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ，则塔高 AB 为_ 6.如图，一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15，与灯塔 S 相距 20 海里，随后货轮按北偏西 30的方向航行 30 分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为_海里/小时7太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西 15的方向上，汽车行驶 1 km 后，又测得小岛在南偏西 75的方向上，则小岛
9、离开公路的距离是_ km.三、解答题8.如图所示，甲船以每小时 30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线2航行当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的 B1 处，此时两船相距 20 海里当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的 B2 处，此时两船相距 10 海里问乙船每小时航行多少海里？21.2 应用举例( 一)知识梳理1(1)上方 (2)下方 (3) 顺时针2越长自主探究dsin 2sin1 2 dsin 2sin2 1AM2 AN2 2AMANcos1 1dsin 1sin1 2 dsin 1sin2 1BM2 BN2 2
10、BMBNcos2 2对点讲练例 1 解 如图所示，在ACD 中，ACD120，CADADC30，ACCD km.3在BCD 中，BCD45，BDC75 ，CBD60.BC .3sin 75sin 60 6 22ABC 中，由余弦定理，得AB2( )2 22 cos 753 (6 22 ) 3 6 2232 5，3 3AB km.5A、B 之间的距离为 km.5变式训练 1 A 由题意知ABC30，由正弦定理 ，ACsin ABC ABsin ACBAB 50 (m)ACsin ACBsin ABC502212 2例 2 解 在ABC 中，BCA90 ，ABC 90，BAC ，CAD.根据正弦定
11、理得： ACsin ABC BCsin BAC即 AC .ACsin90 BCsin BCcos sin hcos sin 在 Rt ACD 中， CDACsinCADACsin .hcos sin sin 答 山的高度为 .hcos sin sin 变式训练 2 解 如图所示：CBD30， ADB 30，ACB 45AB30，BC30，BD 30 .30tan 30 3在BCD 中，CD 2BC 2BD 22BC BDcos 30900，CD30，即两船相距 30 m.例 3 解 如图所示，设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船，则有 CD10 t，BD10t，3在ABC 中，AB 1，A
12、C2，3BAC120，由余弦定理，得BC2AB 2AC 22AB ACcosBAC( 1) 22 22( 1) 2cos 1206，3 3BC ，且 sinABC sinBAC .6ACBC 26 32 22ABC45，BC 与正北方向垂直CBD9030 120，在BCD 中，由正弦定理得sinBCD ，BDsin CBDCD 10tsin 120103t 12BCD30.即缉私船沿北偏东 60方向能最快追上走私船变式训练 3 解 如图所示，设两船在 C 处相遇，并设CAB ，乙船行驶距离 BC为 x n mile，则 AC x，由正弦定理得3sin ，BCsin 120AC 12而 60，3
13、0 ，即ACB30，ABBC a，从而 BC a (n mile)ABsin sin ACB答 甲船应沿北偏东 30方向前进才能尽快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了 a n mile.课时作业1B ACB120，AC BC a，AB a.32A 设 AB h，则 AD ，hsin CAD ， .CDsin ADsin ，h .asin hsin sin asin sin sin 3B 设 t 小时后，B 市恰好处于危险区内，即 B 市离台风中心恰好为 30 千米处，则由余弦定理得：(20t) 240 2220t40cos 4530 2.化简得：4t 28 t70， t1t 22 ，t 1t2 .
14、2 274从而|t 1 t2| 1.t1 t22 4t1t24A 设行驶 x h 后甲到点 C，乙到点 D，两船相距 y km，则DBC18060120.y 2(10 4x) 2(6 x)22(104x)6xcos 12028x 220x10028 2 100(x 514) 257当 x 小时 分钟，y 2有最小值y 最小514 15075.stan sin sin 解析 在BCD 中，CBD.由正弦定理，得 .BCsin BDC CDsin CBDBC CDsin BDCsin CBD ssin sin 在 Rt ABC 中，ABBCtan ACB .stan sin sin 620( )6
15、 2解析 由题意，SMN45，SNM105 ，NSM30.由正弦定理得 .MNsin 30 MSsin 105MN 10( )12MSsin 105106 24 6 2则 v 货 20( )海里/小时6 27.36解析 如图，CAB15，CBA18075105 ，ACB 18010515 60，AB1 km.BCsin CAB ABsin ACBBC sin 15 (km)1sin 60 6 223设 C 到直线 AB 的距离为 d，则 dBCsin 75 (km)6 223 6 24 368.解 如图所示，连结 A1B2，由已知 A2B210 ，2A1A230 10 ，22060 2A 1A2A 2B2，又A 1A2B218012060，A 1A2B2是等边三角形 ，A 1B2A 1A210 .2由已知，A 1B120，B 1A1B2105 6045，在A 1B2B1中， 由余弦定理，B1B A 1B A 1B 2A 1B1A1B2cos 452 21 220 2(10 )222010 200.2 222B 1B210 .2因此，乙船速度的大小为 6030 (海里/ 小时)10220 2答 乙船每小时航行 30 海里2
