1、圆的方程一、知识点1、圆的标准方程2、圆的一般方程3、圆的参数方程4、根据恰当的条件写出圆的方程5、由圆的方程写出圆的半径和圆心6、由直线方程和圆的方程讨论直线与圆的位置关系7、由圆的方程讨论两个圆的位置关系二、能力点1、掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程2、能根据恰当的条件写出圆的方程3、会由圆的方程写出圆的半径和圆心4、会由直线方程和圆的方程讨论直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程5、会由圆的方程讨论两个圆的位置关系6、进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力7、培养学生设参数、消参数解决问题的能力三、学法指导1、求圆的方程可大致分为五种不同情形给出圆的半径，隐含给出圆的圆心给出圆的圆心
2、，隐含给出圆的半径给出圆经过两个定点及圆心通过某条已知直线给定圆上三点给出圆上一定点，一条圆的切线方程及圆心所在直线方程2、直线与圆的位置关系的判断方程观点：由圆的方程与直线的方程消去 y(或 x)后得到一个一元二次方程，用判别式 与 0 的大小来判别：0 时，直线与圆相交；0 时，直线与圆相切；0时，直线与圆相离。几何法(算出圆心到直线的距离 d，然后比较 d 与半径 R 的关系)：当 dR 时直线与圆相交；dR 时直线与圆相切；dR 时直线与圆相离。3、两圆的位置关系用几何法较好，设两圆的圆心的距离为 d，两圆的半径分别为 R1、R 2，则：dR 1R 2时两圆相离；dR 1R 2时两圆外
3、切；d|R 1R 2|时两圆内切；R 1R 2dR 1R 2时两圆相交；dR 1R 2两圆内含。4、圆的参数方程 是表示圆心为原点，半径为 R 的圆，由于圆的参数方程是由圆上动点坐标形式来表达的，用参数式求圆上的动点与某定点的距离，求圆上的动点与某定点所有连线的斜率范围等问题可化为三角求解，这样运算简洁，计算方便。四、重点与难点 1、重点：圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导和应用2、难点：直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论以及圆的相关性质的研究五、课时安排 三课时第一课时 圆的标准方程教学目标1掌握圆的标准方程的形式特点；2能根据圆心坐标、半径熟练写出圆的标准方程；3能从圆的标准方程求出它的
4、圆心和半径. 教学重点圆的标准方程教学难点根据条件建立圆的标准方程教学方法学导式教学过程设置情境：在初中的几何课本中，大家对圆的性质就比较熟悉，首先来回顾一下圆的定义。平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆，定点就是圆心，定长就是半径.按照求解曲线方程的一般步骤来求解圆的方程.1圆的标准方程：(xa) 2(yb) 2r 2其中圆心坐标为（a,b） ，半径为 r推导：如图 732，设 M（x,y ）是圆上任意一点，根据定义，点 M 到圆心 C 的距离等于 r,所以圆 C 就是集合由两点间的距离公式，点 M 适合的条件可.| P表示为 rbyax22)()(把式两边平方，得(xa) 2 (yb)
5、2r 2当圆心在原点，这时圆的方程是：x 2y 2r 2小结：由圆的标准方程知道，只要知道圆的圆心、半径就可以写出圆的方程。课堂练习：1、P 77 练习 1写出下列各圆的方程圆心在原点，半径是 3；圆心在点 C(3,4)，半径是 5；圆心在点 C(8,3),经过点 P(5,1)。2、说出下列圆的圆心、半径(x2) 2(y3) 225(x2) 2(y1) 236x 2y 243、判断下列各点与圆(x1) 2(y1) 24 的位置关系：A(1,1)；B(0,1)；C(3,1)。小结：点 P(x0,y0)与(xa) 2(yb) 2r 2的位置关系是(x 0a) 2(y 0b) 2r 2等价于点 P
6、在圆上；(x 0a) 2(y 0b) 2r 2等价于点P 在圆外；(x0a) 2(y 0b) 2r 2等价于点 P 在圆内。2例题讲解：例 1 求以 C（1，3）为圆心，并且和直线 3x 4y 7=0 相切的圆的方程.回忆初中直线与圆的位置关系：设圆心到直线的距离 d，圆的半径为 r，则 dr 等价于直线与圆相离； dr 等价于直线与圆相切；dr 等价于直线与圆相交。从交点个数来看：直线与圆没有交点等价于直线与圆相离；直线与圆只有一个点等价于直线与圆相切；直线与圆有两个点等价于直线与圆相交。从方程的观点来看：由圆的方程与直线的方程消去 y(或 x)后得到一个一元二次方程，用判别式 与 0 的大
7、小来判别：0 等价于直线与圆相交；0 等价于直线与圆相切；0 等价于直线与圆相离。解：因为圆 C 和直线 3x 4y 7=0 相切，所以半径 r 等于圆心 C 到这条直线的距离.根据点到直线的距离公式，得 516)4(37122r因此，所求的圆的方程是 .)(yx说明直线和圆相切的性质是解决圆的问题重要知识例 2 已知圆的方程是 x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x 0， y0）的切线的方程.解：如图，设切线的斜率为 k，半径 OM 的斜率为 k1,因为圆的切线 垂直于过切点的半径，于是 1k.001,yxkxy经过点 M 的切线方程是： )(00xy整理得： 200xyx因为点 M（x 0
8、， ,y0）在圆上，所以 20ry所求切线方程为： 20r当点 M 在坐标轴上时，上述方程同样适用 .猜测：已知圆的方程是(xa) 2+(yb) 2=r2，则经过圆上一点 M（x 0， y0）的切线的方程是(xa) (x 0a)+(yb) (y 0b)=r 2.说明：例 2 结论要求学生熟记.，一题多解例 3 图 734 是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度 AB=20m，拱高 OP=4m，在建造时每隔 4m 需用一个支柱支撑，求支柱 A2P2 的长度（精确到 0.01m）.解：建立直角坐标系如图 734 所示.圆心在 y 轴上，设圆心的坐标是（0，b） ，圆的半径是 r,那么圆的方程是
9、x2+(yb) 2=r2因为 P、 B 都在圆上，所以它们的坐标（0，4） 、 （10，0）都是这个圆的方程的解.于是得到方程组.解得 b=10.5, r 2=14.5222)(1rb所以这个圆的方程是：x 2+(y+10.5)2=14.52把点 P 的横坐标 x=2 代入圆方程得 )m(86.3510)(5.42y答：支柱 A2P2 的长度约为 .说明：例 3 一方面让学生进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，另一方面了解待定系数法确定曲线方程的思路.课堂练习课本 P77 练习 1，2，3，4思考题：1、圆 x2y 21 上的点到直线 3x4y250 的最小距离是_。52直线 3x4y+17=0
10、被(x 2) 2(y2) 225 所截得的弦长是_.8归纳总结1 数学思想：数形结合，2 数学方法：解析法，图形法。通过本节学习，要求大家熟练掌握圆的标准方程，了解待定系数法，进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，并能解决一些简单的有关圆的实际问题.。要学会把圆的几何性质与解析法结合起来解决问题。作业 习题 7.7 1，2，3，4第二课时 圆的一般方程教学目标1掌握圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化；2掌握二元二次方程表示圆的充要条件；3进一步熟悉并掌握待定系数法.教学重点圆的一般方程应用教学难点待定系数法教学过程一、设置情境：1、求下列各圆的标准方程圆心在直线 yx 上，且过两点(2,0),(
11、0,4)；圆心在直线 2xy0 上，且与直线 xy10 相切于点(2，1)；圆心在直线 5x3y8 上，且与坐标轴相切。(x3) 2(y3) 210；(x1) 2(y2) 22；(x4) 2(y4) 2162、已知圆 x2y 225，求：过点 A(4，3)的切线方程； 4x3y250过点 B(5，2)的切线方程。 21x20y1450 或 x52、圆的标准方程及其应用回顾：(xa) 2(yb) 2r 2 其中圆心坐标为（a,b ） ，半径为 r变形圆的标准方程 x2y 22ax2bya 2b 2r 20由此可见，任一个圆的方程都可以写成下面的形式：x2 + y2 + Dx + Ey + F =
12、 0 反过来，我们研究形如的方程的曲线是不是圆。将的左边配方，整理得4)2()( 22 FEDyx当 D2+E24F 0 时，比较方程和圆的标准方程，可以看出方程表示以(D/2,E/2)为圆心，半径为 的圆；12当 D2+E24F 0 时，方程只有实数解 xD/2,yE/2，所以表示一个点(D/2,E/2)；当 D2+E24F 0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。二、解决问题1、圆的一般方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2+E24F 0)，其中圆心(D/2,E/2)，半径为。E42、二元二次方程表示圆的充要条件：由二元二次方程的一般形式：Ax2+Bxy+Cy
13、2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的系数比较， （1）x 2 和 y2 的系数相同，且不等于 0，即 A=C0；（2）没有 xy 项，即 B=0；（3）D 2+E24AF0.练习：1、下列方程各表示什么图形？x 2 + y2 = 0x 2 + y2 2x + 4y 6 = 0x 2 + y2 + 2axb 2 = 02、求下列各圆的圆心与半径x 2 + y2 6y = 0x 2 + y2 + 2by = 0x 2 + y2 4x + 6y 12= 0三、反思应用例 1 求过三点 O（0，0） 、M 1（1，1） 、M 2（4，2）的圆的方
14、程，并求这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0用待定系数法，根据所给条件来确定 D、E、F、因为 O、 M1、 M2 在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得解得0240FED068F于是所求圆方程为：x 2+y28x +6y=0化成标准方程为：（x4） 2+y(3) 2=52所以圆半径 r=5,圆心坐标为（4，3）说明：例 4 要求学生进一步熟悉待定系数法，并能将圆的一般方程化成标准形式，并求出相应半径与圆心半径.例 2 已知一曲线是与两个定点 O（0，0） 、A （3，0）距离的比为 1/2 的点的轨迹
15、，求此曲线的方程，并画出曲线.解：在给定的坐标系里，设点 M（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点 M 属于集合.21|AOMP由两点间的距离公式，点 M 所适合的条件可以表示为， )3(2yx将式两边平方，得 41)3(2yx化简得 x2+y2+2x3=0 化为标准形式得：(x+1) 2+y2 = 4所以方程表示的曲线是以 C（1，0）为圆心，2 为半径的圆，它的图形如图 735 所示.例 3 求过原点及点 A(1,1)且在 x 轴上截得的线段长为 3 的圆的方程。解：设所求圆的方程为：x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，则又圆被 x 轴上截得的线段长为 3，即|D|3D3
16、，当 D3 时，E5，F0；当 D3 时，E1，F0故所求的圆的方程为：x 2 + y2 + 3x 5y = 0 或 x2 + y2 3x y = 0课堂小结圆的一般方程，能化成标准方程，进一步熟悉待定系数法思路，熟练求解曲线方程.课后作业习题 7.7 5，6，7，8第三课时 圆的方程教学目标 进一步掌握圆的标准方程与一般方程能根据条件选择适当的形式求出圆的方程进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力，培养学生对数学知识的理解能力、运用能力、判断能力。教学过程知识掌握A 组：1、点 M 在圆(x5) 2(y3) 29 上，则点 M 到直线 3x4y20 的最短距离为（ ）A、9 B、8 C、5
17、 D、22、由点 M(1,4)向圆(x2) 2(y3) 21 所引的切线的长是（ ）A、3 D 、55. .C3、过点 M(2,3)且与圆 x2y 24 相切的直线方程是_.4、若直线 axby1 与圆 x2y 21 相交，则点 M(a,b)与圆的位置关系是_.5、求与 y 轴相切，圆心在直线 x3y0 上且截直线 yx 所得弦长为 的圆的方程。72答案：1、D；2、A；3、x2 和 5x12y200；4、圆外；5、设圆的方程为(xa) 2(yb) 2r 2圆心在直线 x3y0 上,a3b圆与 y 轴相切，r|a|3b|圆心(a,b)到直线 yx 的距离 ，即 d22b 2 ,|bad又圆截直
18、线 yx 所得弦长为 729b 22b 27,由解得：a=3,b=1,r=3 或 a=3,b=1,r=3故所求圆的方程是(x3) 2(y1) 29 或(x1) 2(y 3) 29B 组：1、方程 x2+y2+2kx+4y+3k+8=0 表示一个圆，则实数 k 的取值范围是（ ）A、k 8/3 B、k42、两圆 x2+y2=4 与 x2+y2+4x4y+4=0 关于直线 l 对称，则 l 的方程是（ ）A、xy0 B、xy20 C、xy20 D、xy203、点 A(3,5)是圆 x2y 24x 8y800 的一条弦的中点，则这条弦所在直线方程是_.4、直线 l 过点 P(3,0)，且被圆 x2y
19、 28x2y120 截得的弦最短，则直线 l 方程是_.5、求经过两圆 x2+y2+6x40 与 x2+y2+6y28=0 的交点且圆心在直线 xy40 的圆的方程。答案：1、D；2、D；3、xy20；4、xy30；5、设过两圆交点的圆为：x 2+y2+6x(x 2+y2+6y28)=0则其圆心为 ，代入 xy40 得)1,( 0413解得：7，故所求圆的方程是 x2y 2x7y320能力提高例 1 已知方程 x2y 22(t3)x2(1 4t 2)y16t 490，求t 为何值时，方程表示圆？当方程表示圆时，t 为何值时，圆的面积最大？并求此时的圆的面积。分析：D 2+E24F 4(t 3)
20、 24(14t 2)24(16t 49)28t 224t 40，解之得：1/7t1；由于 Sr 2，当 r2最大时，S 最大又 r2(D 2+E24F)/47t 26t17(t3/7) 216/7当 t3/7 时，r 2有最大值 16/7，此时 Smaxr 216/7。例 2 如果直线 l 将圆 x2y 22x4y0 平分，且不通过第四象限，那么 l 的斜率的取值范围是（ ）A、 0,2 B、 0,1 C、 0，1/2 D、 （0，1/2分析：圆 x2y 22x4y0 的圆心为 C（1,2） ，由 l 将圆 x2y 22x4y0 平分知l 过点 C，结合图形知：0k2.课堂练习1、圆 x2y
21、29 与圆 x2y 26x8y210 的公切线的条数。分析：两个圆的位置关系是外切，故公切线的条数为 32已知实 数 x，y 满足 x2y 22x4y200，求xy；y/x；x 2y 2的取值范围。分析： 由 x2y 22x4y200 得(x1) 2(y2) 225，知圆心 C(1,2)，半径 r5设 txy，则所求转化直线 l：yxt 与圆 C：(x1) 2(y2) 225 有交点，求 t 的取值范围从而有： ，解之得： ，即52|1|t 53253t253253yx设 ，则所求转化圆 C：(x1) 2(y2) 225 上任一点 P(x,y)与原点连线0k的斜率的取值范围。从而有： ，解之得
22、： ，即51|2|k 2121k22xy设 ，则所求转化圆 C：(x1) 2(y2) 225 上任一点2)0()(ydP(x,y)到原点的距离平方的取值范围。 51035103,55| ddCO归纳总结数学思想：数形结合，等价转化数学方法：配方法、待定系数法、交轨法、向量法知识点：圆的标准方程、一般方程、直线与圆的位置关系作业：创新作业 3第四课时 圆的参数方程教学目标1了解参数方程的概念；2理解圆的参数方程中 的意义，熟练掌握圆心在原点与不在原点的圆的参数方程；3会把圆的参数方程与普通方程进行互化.教学重点圆的参数方程教学难点圆的参数方程的理解和应用.设置情境：1圆的标准方程与一般方程及其应
23、用的回顾.2对圆的标准方程进行联想变形得圆的参数方程. 1参数方程与普通方程：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数，即.)(tgyfx并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x,y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程.其中 t 叫参变数，简称参数 .相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫曲线的普通方程.说明：参数方程中的参数可以有物理、几何意义，也可以没有明显意义.2圆的参数方程：圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程：sincoryx推导：设圆 O 的圆心在原点，半径是 r,圆 O 与
24、x 轴的正半轴的交点是 P0（图 736）设点在圆 O 上从点 P0 开始按逆时针方向运动到达点 P，P 0OP= ，若点 P 坐标为（x,y ）,根据三角函数的定义，可得即sincoryxsincoryx圆心为(a,b) ，半径为 r 的圆的参数方程：（ 为参数）sincorbyax推导：圆心为 O1（a,b） 、半径为 r 的圆可以看成由圆心为原点 O、半径为 r 的圆按向量 =（a,b）平移得v到.即对于圆 O 上任意一点 P1（ x1,y1）,在圆 O1 上必有一点 P（ x,y） ，使 1因为 ，即（x,y）=(x 1，y 1)+（a,b）所以 ，由于点 P1（x 1,y1）在以原点
25、为圆心，r 为半径的圆上，所以存在byax1参数 ，使所以 .sinco1ryxsincory3圆的参数方程化普通方程：方程组 sicrbyax由得 x a=rcos 由得 yb=rsin 2+ 2 得：（x a） 2+(y b)2=r2即圆的普通方程。课堂练习：1、已知圆 O 的参数方程是： （02）sin5coyx如果圆上点 P 所对应的参数 5/3，则点 P 的坐标是_；如果点 ,则点 Q 所对应的参数 _.)23,5(Q2、把圆的参数方程化为普通方程（ 为参数） （ 为参数）sin4co1yx sin2co1yx变： （t 为参数，且 a0，b0） x2/a2y 2/b21)1(2by
26、a4例题讲解例 1 如图 738，已知点 P 是圆 x2+y2=16 上的一个动点，点 A 是 x 轴上的定点，坐标为（12，0）当点 P 在圆上运动时，线段 PA 的中点 M 的轨迹是什么？解一：设点 M 的坐标是（x,y ）.因为圆 x2+y2=16 的参数方程为 sin4coyx所以可设点 P 的坐标为（4cos ,4sin ）.由线段中点坐标公式得点 M 的轨迹的参数方程为sin2co6yx所以，线段 PA 的中点 M 的轨迹是以点（6，0）为圆心，2 为半径的圆.解二：设点 M 的坐标是（x,y ） ，P(x 0,y0)，M 是线段 PA 的中点，又点 A(12,0)， ，即210y
27、xyx210点 P 为 x2+y2=16 的动点，即 x02+y02=16(2x12) 2(2y) 216，即(x6)2y 24所以，线段 PA 的中点 M 的轨迹是以点（6，0）为圆心，2 为半径的圆.变：在本题条件下，若点 M 分 PA 成定比 21，求点 M 的轨迹方程。在本题条件下，若 PA 被圆截得的弦为 PB，点 M 为 PB 的中点，求点 M 的轨迹方程。例 2 经过圆 x2y 24 上的任一点 P 作 x 的垂线，垂足为 Q，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程。解一：设 M(x,y)为线段 PQ 的中点圆 x2y 24 的参数方程是 sin2coy又 P 为圆上一点 设 P(2cos,2sin)，则Q(2cos,0)由线段中点坐标公式，得点 M 的轨迹的参数方程sinco2yx消去参数 得：x 2/4y 21解二：设 M(x,y)为线段 PQ 的中点，则点 Q(x,0)由坐标中点公式得 A(x,2y)，又 P 为圆上任一点，x 2(2y) 24，即 x2/4y 21小结：解决此类问题，应先根据题意画出草图，帮助分析，找出解题途径。课堂小结通过本节学习，要求大家了解曲线的参数方程，掌握圆的参数方程并能加以简单的应用.课后作业习题 7.7 9，10，11
