1、第1课时 等比数列的概念及通项公式,第2章 2.3.1 等比数列的概念 2.3.2 等比数列的通项公式,学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 等比数列的概念,思考 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点 1,2,4,8,16，；1,1,1,1，； 1,1，1,1，.,答案 从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数,梳理 等比数列的概念和特点： (1)文字定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的 都等于 常数，那么这个数列叫做
2、等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q表示(q0)(3)等比数列各项均 为0.,2,前,比,同一个,不能,公比,知识点二 等比中项的概念,思考 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列这样的实数有几个？,梳理 等比中项与等差中项的异同，对比如下表：,等比,等比,相反数,ab0,两,知识点三 等比数列的通项公式,思考 等差数列的通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？,答案 等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘根据等比数列的定义得将上面n1个等式的左、右两边分别相乘，,当n1时，上面的等式也成立 ana1qn1(nN*),梳
3、理 等比数列an首项为a1，公比为q，则ana1qn1.,思考辨析 判断正误 1.常数列既是等差数列，又是等比数列( ) 2.若a，b，c成等比数列，则a，c的等比中项一定是b.( ) 3.若an1qan，nN*，且q0，则an是等比数列( ) 4.任何两个数都有等比中项( ),题型探究,例1 已知f(x)logmx(m0且m1)，设f(a1)，f(a2)，f(an)，是首项为4，公差为2的等差数列， 求证：数列an是等比数列,类型一 等比数列的判定,证明,证明 由题意知f(an)42(n1)2n2logman，m0且m1，m2为非零常数， 数列an是等比数列,反思与感悟 判断一个数列是否为等
4、比数列的方法是利用定义，即,跟踪训练1 已知数列an的前n项和为Sn，且Sn (an1)(nN*) (1)求a1，a2；,解答,(2)证明：数列an是等比数列,证明,类型二 等比中项,例2 若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则 的值为_,1,答案,解析,反思与感悟 (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项 (2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个,1,答案,解析,类型三 等比数列通项公式的应用,命题角度1 等比数列基本量的计算 例3 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项,解 设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么,解答,反思与感悟
5、已知等比数列an的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项,跟踪训练3 在等比数列an中： (1)已知a13，q2，求a6；,解答,解 由等比数列的通项公式得， a63(2)6196.,(2)已知a320，a6160，求an.,解答,解 设等比数列的公比为q，,所以ana1qn152n1.,命题角度2 等比数列的实际应用 例4 为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部
6、分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 20.3，最后结果精确到整数),解答,解 设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a1 ， 经过n年后绿洲面积为an1，设2014年底沙漠面积为b1， 经过n年后沙漠面积为bn1，则a1b11，anbn1. 依题意，an1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%an的剩余面积92%an，另一部分是新绿化的12%bn，,至少需要4年才能使绿化面积超过50%.,反思与感悟 等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，
7、项数n所对应的实际含义,跟踪训练4 “猴子分苹果”问题：海滩上有一堆苹果，五只猴子来分，第一只猴子把苹果分成五等份，多一个，于是它把多的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的苹果也分成五等份，多了一个，它把多的一个扔到海里，取走一份；以后的三只猴子都是如此处理问原来至少有多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？,解答,解 设最初的苹果数为a1，五只猴子分剩的苹果数依次为a2，a3，a4，a5，a6，由题意得，,由题意知a6为整数，故a14的最小值是55， 即a1的最小值是5543 121. 即最初至少有3 121个苹果， 从而最后剩下a64541 020个苹果.,达标检测,答案,1.45和80
8、的等比中项为_.,1,2,3,4,60或60,解析 设45和80的等比中项为G， 则G24580，G60.,解析,答案,解析,2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为_.,解析 由等比数列的通项公式得，12842n1，2n132，所以n6.,1,2,3,4,6,答案,解析,3.已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a7_.,1,2,3,4,64,又a1a23，a11，故a712664.,答案,1,2,3,4,4.等比数列x,3x3,6x6，的第4项为_.,24,解析,解析 由题意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比数列的前3项是3，6，12，则第4项为24.,1.等比数列的判断或证明：3.等比数列的通项公式ana1qn1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.,规律与方法,
