1、1习题 11 解答1 设 ，求yxxf),( ),(1,()1,(),( yxffyxff解 ；f),( xyffxf 22),(;),(;)1,(2 设 ，证明：yxfln, ),(),(,), vfuvxfufvyf),(),(),(),( lnlllnvyfufvxfuf xy3 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1） ;11),(2yf（2） ;)ln(4,2yxxf（3） ;1),(22czbayf （4） .),(22zyxzxf解（1） 1,D（2） xyxyD4,10),(22yx11-1-1Oyx11-1-1O2（3） 1),(22czbyaxD（4） 1,0,),(
2、 22zyxzyxzD4求下列各极限：（1） =210limyxy10（2） 2ln0)l(ln(i2)01eeyx（3） 41)(4li4li00 xyyxyx（4） 2)sin(lm)sin(l0202yxyx5证明下列极限不存在：（1） （2）;li0yxy 220)(liyxyx（1）证明 如果动点 沿 趋向),(xP),(则 ；32limli002 yxxy如果动点 沿 趋向 ，则),(Py)0,( 3limli002yxyyx-a-bcOzabyxOz3所以极限不存在。（2）证明： 如果动点 沿 趋向),(yxP)0,(则 ；1lim)(lim40220yxxy如果动点 沿 趋向
3、，则,P),( 04lim)(li 202202 xyxxxy所以极限不存在。6指出下列函数的间断点：（1） ； （2） 。xyxf),(2yxzln解 （1）为使函数表达式有意义，需 ，所以在 处，函数间断。002x（2）为使函数表达式有意义，需 ，所以在 处，函数间断。yxy习题 121 （1） xyz； .2y21yxz(2) )2sin()co()sin(co)cs( xyyxz ii2xxyy(3) ,11)()(yyxzlnz= yln(1+xy)，两边同时对 y 求偏导得 ,1)ln(xyz;)1l()(1)ln( xyxyxzyy(4) ,)(2323yxyxz4;132yxy
4、z(5) ;xzyuxzyuxzyln,ln1, 2(6) ,zyx21)(,zyu21)(;zzyxz2)(1ln2.(1) ;0,1,0, yxyxx z(2) ),(2sin)(2sinbabaz .)(2cos,cos,co byaxbzyxzyxxx 3 ,222,ffzyf zy ,zfffyxzx.0)1,(),01(),0( yzxzx4 )2(cos),2(cos,2sin,2sin txztxtxtz txtt .)(co)(co2 xtt5.(1) , , ;xyxez2xyz1dzxey2dyx1(2) , , , ;)ln(1y2yx2 dyxz22 (3) , ,
5、;22)(1yxyzx 22)(1yxyz2yxdz5(4) , ,1yzxuxuyzlnxyuzzln.ddzz6. 设对角线为 z,则 , , ,2yx2yx2yxdz2yx当 时, =-0.05(m).1.0,5.,86yx 286)1.0(5.dz7. 设两腰分别为 x、y,斜边为 z,则 ,2yxz， , ,2yzx2yzyd2设 x、y、z 的绝对误差分别为 、 、 ,xyz当 时, 1.0,1.0,24,7yx 25472=0.124,z 的绝对误差2.dz .zz 的相对误差 .z%496.051.8. 设内半径为 r，内高为 h，容积为 V，则 , , ,hr2rVr2h,d
6、dV2当 时,1.0.,0,4rr.)(264.510432413 32cm习题 131. dxzfyfdxfu2)(1yaxezy2)(2)(1zy)1(ax= = .2)(yxzayaxaxe24)(62. = =xffxz 4322arcsin1yxyx)(l1arcsin4 22443y= =ffz 4322arcsin1yxyx.)(ln1arcsin4 224423yx 3. (1) = , = .u21fefu21fxeyfy(2) = , = , = .x1fy 212fzyx2fz(3) = , = , = .u321zffu32fu3xyf(4) = = , = .x321
7、fyf 321fyfz3f4 .(1) , ,1fz21fx,1212 fyfxy,1212111 )( yfxfxfffz 21221121212 )( fxffffyfxfy (2) , ,21ffxz21fzxfyfxyxffy 2212122.2123142 214)()( fff f 7yfxfyfxyffyxz 221212122 12231321 25)()( fxffxyf xfyyffyz 12 2413121 2124 )()(fxyffxf xf5 ,yuxtyutxtususu 213, ,222 )(43)(41)( yx2)(4)(43t.2222 )()(utus
8、6 (1) 设 , , ,)(, zyxexzyF)(1zyxxeF)(1zyxeF,)(1xze,zxF1zyF xzyxyxzyxyxzyxFzx 2)(21sectan,ta),()2 322222 设= ,222tyxz2)2()(1sectan 322222 yzxyxzyxzyxFy = ,222tz28= ,1zF222secyxzyx2122tanyxz,x 22222 csotyxzzx y .ct 22222 yxzyxzyxFzy (3) 设 , ,z),(Fx1y zxyFx1= , = .xzzxFxyzzyz2(4) 设 , ,ylnln),( yFx1,zxz12
9、, ,xzzxFzy)(2zyFz7.设 ,3sin32),( x),32cos(1zyxFx, ,)cos(4zyxy )2cos(6zy, ,z31zxF3zy1 . xy8.设 ,2121,),(),( baFcFbzcaz zyx ,x21Fzxy,21bazy.aczb9. (1)方程两边同时对 x 求导得解之得,0642dxzyxdz13,)(26zxdy9(2) 方程两边同时对 z 求导得解之得022,1zdyzx.,yxzd(3) 方程两边同时对 x 求偏导得解之得,sinco0i1xvuxuev.1)cos(in,siveuxvuu同理方程两边同时对 y 求偏导得解之得,si
10、nco1iyvuyue.1)cos(in,sveuxvuu习题 141 求下列函数的方向导数 oPlu（1） 2,1,0,32zyxu解： 00P400y600Pzu)2,1(l .62)1(*460 Plu（2） ;,)(0lxyz解： ,1)(0021PzPxyu,)(001PzPy10,0)ln(0PzPxyu)61,2(l.61*)(0 Plu（3） 与 轴夹角为lyx),(,n02ox;3解： ,1002PPu,002PPyx由题意知 则,3,6)23,1()cos,(0l.*210 Plu（4） .),149(),5(, 10Plxyz00Pu,100xzy,500Pu)12,34
11、(l ),132,4(l.98*0 Pl2 求下列函数的梯度 gradf（1） );(cos)sin),(22xyxyf11解： ,*)sin()2(*cos2yxyxf,i2yf, )(gradf )sin()cos(222xyyxsin(2)cos(2xyyx(2) .),(yxef解： ),1()(2 xyeyxxfy),()(12yeyf xyx， ） 。(gradf)xy)1(3 一个登山者在山坡上点 处，山坡的高度 z 由公式 近似，43,2 25yx其中 x 和 y 是水平直角坐标，他决定按最陡的道路上登，问应当沿什么方向上登。解： ,)43,12()43,12( z,)43,1
12、2()43,12( yy按最陡的道路上登，应当沿（3，4）方向上登。4 解： )21(),( yxyTxyxT沿方向 )6,91()3,41(grad5 解：设路径为 ，在点 处xfy,y)8,2(yxgradT在 点的切向量为)(xfy, )1(平行于切向量gradTyx82,4cx因为过 4),21(y12习题 1-51、求曲线 在对应于 点处的切线及法平面方程。2,1,1tztytx1t解：当 时， ，t )()( 2,142,)(,)1(, 12)1,2( tttzyxT故所求切线方程为： ，即: 4zyx 8zyx法平面方程为： 即: 0)1(2)()21(1622、求下列空间曲线在
13、指定点处的切线和法平面方程（1） 在点2zyx),(解 ：将方程两端对 x 求导，得在 处02dxzyzy)1,(M)1,(T故所求的切线方程为： 1法平面方程： zyx（2） 在点0622 ),2(解法 1：将方程两端对 x 求导，得02dxzy1dxzy当 时，有1J，zyxdxy zyxJd1131,0,1,1)1,2(),21(),21( zyxdxzyT故所求的切线方程为： 0y法平面方程： 即：)1(2()1(zx 0zx解法 2：将方程组两端求微分：得 2dyx曲线在点 处的切向量为)1,(3. （题略）解：（1）令 F（x，y，z）=arctg -z, = -1，曲面在xy)(
14、,21)(,)( 000 PFPFzyx点 P 的切平面方程为：- ，即： x - y - 2z - =0；0 412)1(z2法线方程为： ，即： ；42zyx 2yx（2）令 zxzFln),(则 ， ，x1yF1曲面在点(1,1,1) 点处的切平面的法向量为： 2,1n故所求的切平面方程为： 即： 0)()(1)(1 zyx02zyx法线方程为： 21zyx（3）令 F（x，y，z）= 2 zx+2y-8， =-)(,2ln4)(,2ln4)( 000 PFPFzyx 16ln2，曲面在点 P 的切平面方程为：4ln2 （x-2）-4ln2（y-2）-16ln2（z-1 ）=0， 014
15、即：x-y-4z=0，法线方程为： ，即：2ln16l42lnzyx 4121zyx4、解： ， yxz1z1 3,)2,1(),(y又抛物线 在(1,2)点处的切线斜率为：42 )2,1(dx抛物线 在(1,2)点处偏向 x 轴正向的切线方向为xy2 1,)2,1(dxyT 1,0T故所求的方向导数为： 21,3,1z)2,(T326习题 1-61（题略）. 解：由 ,有 x=2, y=-2, 即 P (2, -2)为 f(x,y) 的驻点,024xf 024yf 0又 D（P ）=40, =-2,222yfxff 0)(02xf故 P (2,-2)为 f(x,y)的极大值点 , 其极大值为
16、 f(2,-2)=8. 02（题略）. 解：由 有 驻点：(5,6)和01862392令 令xyf 09312xy )6,1(xf22f62yxf，而0431)6()6,5(,5()6,5( 306),5(),5(2xf 在点(5,6) 取得极小值,yxf 8,f15又 0243612)6(2),1(),(2)6,1( xx 在点 不取得极值yf,3、求 在闭区域 上的最大值和最小值2xz 42yx解：由 ，得唯一驻点(0,0)02yz又在边界 即椭圆 上, 42x12yx2254yxz1),(由 ，得驻点：0)54(dy),(0所有可能的极值点为：(0,0) (2,0) (-2,0) （0,
17、-1） (0,1)相应的函数值为： 0 4 4 -1 -14、求抛物线 和直线 之间的最短距离。2xy2y解：设 P(x,y)为抛物线 上任意一点，它到直线 的距离为02yx，d 最小当且仅当 最小2d2d此问题即是求 在条件 下的最小值。2)(1yxxy2解法 1（用拉格朗日乘数法）设 )()(222L由 ，即 得唯一驻点00)1(2(1令 令令xyLxyxx02)1(xy)41,2(故由实际问题知抛物线 和直线 之间的最短距离在在，为：2xy287)41,2(mind16解法 2（转化为无条件极值）设抛物线 上点 ，它到直线 的距离为2xy),(2xP02yxdd 最小当且仅当 最小22)
18、(1xd设 )(1)xf 唯一驻点02(2令 21x)2()()1() xxxf027)(221f当 时， 有极小值，从而该极小值就是所求的最小值（唯一驻点）1x)xf =21221d87故抛物线 和直线 之间的最短距离为xy0y8275、求抛物线 被平面 截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长2z1zx与最短距离。解：设椭圆上任意一点为(x,y ,z)，它到原点的距离为 22zyxd此问题即是求 在条件 下的最大值和最小值。22yxd12zyx令 )()(222 zzyxL17由 令 令 令 令 令 0120zyxLyxLzyx由-得 )(2若 代入，得 ，10再代入， 0, 不合题意2z，有yx
19、代入，由 ，解得 ， 1z231xy3z驻点为： 和),23,(1P )1,2,(2P ，591122zyxd 35922 Pzyxd由实际问题知，所求最大值和最小值存在，分别为 和3596（题略）.解: 设圆柱高为 H,圆锥高为 h ,圆柱圆锥底半径为 r,则浮标体积 V= ,hrHr223故:3V- =0 (1)23(Hr浮标表面积 S(r,h,H)= )(222 hrhrr令 L(r,h,H)= +)(22)3(2HV由 =0 （2）)()( 22 hrhrhrHrL =0 (3)22hrh18(4)0322rHL有 , 代入（3）有 , 故 , r= h,再由（2） ，有 H=h, r0322hr25hrh= , ( r, , )为 S(r,h,H) 52 5r唯一驻点，由于实际问题存在最值，故当 H=h, 时,材料最省。25hr7（题略）解设 BC=a, 则横截面积 S= (BC+AD)h=2121,湿周ctghS =a), ctgh+(a=)2hctg(a sin2sin2CD F, 由 (1)02cthSf(2)sino12f由(2)有 1-2cos , , 由(1), h= , 即( )为唯一驻点，故当 , 0343S43,S3h= 时，湿周最小.43S19
