1、1,第二讲,研究函数与极限的基本方法,2,函数,研究的对象,极限,研究的工具,连续,研究的桥梁,微积分学的基础,参考 : 第一章 (第一节, 第二节),(英 1642-1727),(德1646-1716),(法1789-1857),3,1-1 函数和连续的概念、性质和应用,一. 方法指导,1. 对函数的理解和讨论,(1) 定义,定义域,对应规律,值域,基本要素,定义域,使表达式及实际问题有意义的自变量取值集合 .,对应规律,表示方式:,图象法;,表格法 .,解析法;,值域,4,(2) 基本特性,有界性 ,单调性 ,奇偶性,周期性.,(3) 基本结构,基本初等函数,复合运算,反演运算,初等函数,
2、非初等函数,分段函数,级数表示的函数,四则运算,有限次运算且用一个式子表示,5,(4) 常用的等式与不等式,3、已知等差数列首a1和公差d，,则的通项可表示为：,前n 项的和为S n ,即,特别,6,4、 等比数列的前n 项和的公式,设等比数列,前n 项的和为S n ,即,根据等比数列的通项公式，,上式可以写成：,上式两边同时乘以q 有：,上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：,特别,7,2. 函数的连续与间断,(1) 连续性的等价形式,在,连续,当,时,8,(2) 闭区间上连续函数的性质,(P4 , 5),有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理 ;,零点定理,(3) 函数的间断点,第一类间断
3、点,可去间断点:,跳跃间断点:,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,二. 实例分析,9,例1. 设,其中,求,解: 令,则,代入原方程得,即,再令,则,代入上式得,即,将 , 两式与原方程联立,解得,10,例2. 设,其中,满足,判断,的奇偶性.,解: 令,则,故,为奇函数 .,又令 y = 0 ,得,故,而,故,为奇函数 .,因此,为偶函数 .,11,例3. 求常数k及函数g(x),使函数,为连续的奇函数。,解: 连续的奇函数有 f (0) = 0, 即,而,所以,12,例4. 设,求,解:,当,时,; 当,时,13,例5. 设,证明,但,证: 在 (0,1) 中取点列,在 (0,1 上无
4、界,则有,显然 ,在 (0,1 上无界 .,但 , 若取点列,则,而,故,(P8.例4),14,的间断点 , 并,x = 1 为第一类可去间断点,x = 1 为第二类无穷间断点,x = 0 为第一类跳跃间断点,例6.求函数,判别间断点的类型 .,解:,所以 f (x) 有间断点,15,例7.设函数,(2008考研),解:只有两个间断点,则,有（ ）；,1个可去间断点，1个跳跃间断点；,1个可去间断点，1个无穷间断点；,2个跳跃间断点；,2个无穷间断点。,为可去间断点；,为跳跃间断点。,16,例8. 讨论下述函数的连续与间断问题,(P8.例5(1),解:,显然 ,在区域,上连续 .,因,故 x
5、=1 为第二类无穷间断点.,17,1-2 求极限的方法 (P13 第二节),一. 方法指导,1. 求极限的基本方法 (P16-P19),(1) 已知极限值利用极限定义验证,(用“ - N ” 或 “ - ”语言),(2) 未知极限值,先判别极限存在后再求极限,根据法则演算, 判定与计算同时进行.,18,求极限的基本方法,1）用验证极限的定义。,8) 用极限运算法则与函数的连续性求极限。,2）用消去不定型法求极限。,3）用有界函数与无穷小乘积仍为无穷小的结论求极限。,5）用等价无穷小的替代定理求极限。,6）用变量代换求极限。,4）用两个重要极限公式求极限。,7）用左、右极限存在且相等的方法求极限
6、。,9）用函数极限和数列极限的关系求极限。,10）利用极限存在准则求极限。,19,12）用导数的定义或定积分定义求极限。,13）利用微分中值定理求极限。,14）利用泰勒公式求极限。,16）用无穷级数的有关知识求极限。,11）用洛必达法则求极限。,15）用积分中值定理求极限。,17） 其他。,20,2.求未定式的极限的方法,通分,取倒数,取对数,3. 求极限的基本技巧,(1) 定式部分应尽早求出; 各种方法注意综合使用.,(2) 注意利用已知极限的结果 .,例如, 当 时,时,速度一个比一个快 .,21,(3) 善于利用等价无穷小替换,利用麦克劳林公式找等价无穷小,当,时,替换定理（整个分子、整
7、个分母或分子分母乘积,的因子）,22,当 x 0 时, 有下列常用等价无穷小 : ( P16),一般形式，如：,23,设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明:,无穷小的性质,(1) 和差取大规则:,由等价,可得简化某些极限运算的下述规则.,若 = o() ,例如,证明,练习、求,24,例如,(2) 和差代替规则:,25,(3) 因式代替规则:,界, 则,例如,例4. 求,解:,原式,26,如, 利用导数定义 ,微分中值定理 ,泰勒公式等,求极限 .,3. 判断极限不存在的主要方法 (P22, 6),(1) 对分段函数, 在界点处讨论左右极限 ;,(2) 利用数列极限与函数极限的关系 ;,(
8、3) 利用反证法 , 设极限存在推出矛盾.,(4) 注意用求极限的特殊方法,27,例1. 求,解:,原式,二. 实例分析,28,例2. 求,解:,令,有,例3. 求,解:,不能直接用洛必达法则 !,令,则,原式,说明: 有许多极限问题可通过变量代换使其简化 .,再如, P27 例7,29,例4. 求,（洛必达法则或泰勒公式）,2008考研,30,例5. 设,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式 , 得,可见,是多项式 , 且,求,故,31,例6. 求,解:,原式 = 1 .,32,例7. 求函数,解:,当,时的等价无穷小.,33,例8,时,与,小，求C.,解,是等价无穷,则,34,练习
9、已知,，(1)求,的值，(2)当,时，,是,求常数,解 由题意 (1),；,的同阶无穷小,的值。,2012考研,35,(2) 因为,，则,可知当,时，,因此,与x是同阶无穷小，,36,例9. 求,证:,原式,对指数用洛必达法则,37,例10、求,解,令,则,38,例11 求极限,2010考研,39,解,2011考研,40,当,2011考研,设,时，,同样可得,时，,当,原式,41,3、,所以,因为,2012考研,42,解:,例12 1、 求,一般，若,则,43,2、计算,2012考研,44,例13. 求,( P43 题21(3) ),解:,原式=,利用,45,例14.,解:,因为,当,或,所以
10、,46,例15. 设,在 x = 0 的某邻域内二阶可导, 且,求,及,的值.,解:,代入, 得,47,例16. 求,直接用洛必达法则,繁 !,解决办法,巧用泰勒公式,解:, 原式,48,说明,利用泰勒公式求极限 (P31例12),利用导数定义求极限(P29例9(1) ; P30 例10),利用微分中值定理求极限(P31例11),求极限的特殊方法:,利用定积分定义求极限 (P29例9(2),49,例17,50,例18.,解: 原式,51,例19.,解法1:,原式,故,于是,而,试确定常数 a , b 使,(P34 例14),52,例19.,解法2:,因,试确定常数 a , b 使,(P34 例
11、14),利用,时,得,53,例20.,解: 设,由夹逼准则得,求,54,例21. 设,证明:,严格单调增加，且有界，则,证明,存在。,时，有,连续存在，,严格单调增加，且有界，,所以,存在，则,存在。,或者,存在。,55,例22 设数列,满足,（1）证明,存在，并求之;（2）计算,解（1）因为,则当,时，,单调减少。又,有下界，根据准则，,存在，,（2）,递推公式两边取极限得,2009考研,56,例23. 设,证明:,设,得,则,单调减少，且有下界，,存在。,即,57,例24,分解,58,例25,59,例26,60,例27,61,例28. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度,减少一半, 问小球是否会停止运动 ? 若会停止, 何时停止 ?,解: 已知自由落体运动规律,设小球第 k 次落下的时间为,则小球停止运动的时间为,(秒),62,阅读与练习,P13 第二节,( 除 P27 例8(3) ; P29 例9(2) ; P39 例20 ; P40 例21 ),
