1、第四节 可测函数的收敛性（续）,第四章 可测函数,各种收敛定义,依测度收敛:,几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）,引理：设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,叶果洛夫定理的证明,对引理、叶果洛夫 定理及Lebesgue定理的证明的说明,下证明 由(3)推出(2),对引理、叶果洛夫 定理及Lebesgue定理的证明的说明,下证明 由(4)推出(3),对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明,注：叶果洛夫定理的逆定理成立,注：a.叶果洛夫定理的逆定理成立，无论mE+或mE=+，,几乎一致收敛: 去掉某个小（任意小）测度
2、集，在留下的集合上一致收敛,另外显然 fn(x) 在 上点点收敛于f(x) 所以 fn(x) 在E上a.e.收敛于f(x),证明：由条件知 ,存在可测集 使 且 fn(x) 在 En上一致收敛于f(x) ，当然fn(x) 在En 上点点收敛于f(x),叶果洛夫定理的逆定理,注: b.叶果洛夫定理中条件mE+不可少,不几乎一致收敛:去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上任不一致收敛,几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,注：c.叶果洛夫定理中的 结论me不能加强到me=0,去掉一小测度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收敛， 但去掉任意零测度集， 在留下的集
3、合上仍不 一致收敛。,例：函数列fn(x)=xn n=1,2,在(0,1)上 处处收敛到f(x)=0, 但不一致收敛；,注：c.叶果洛夫定理中结论me不能加强到me=0,设fn(x)= x n , x(0,1）,则fn(x) 处处收敛于f(x)=0，但fn(x)不一致收敛于f(x) ，即使去掉任意一零测度集，在留下的集合上fn(x)仍不一致收敛于f(x) 。,说明：去掉任意一个零测度集e，留下的集合 (0,1)-e仍然以1为聚点从而可找到E-e中一点列 xn, 使得 收敛到1，故：,从而E-e 上fn(x)不一致收敛于f(x),收敛间的关系,依测度收敛 但处处不收敛,依测度收敛 与点点收敛,R
4、iesz定理,若 于E,则必有fn的子列 fnk ，使得,收敛间的关系,Riesz定理（(6)到(1)的关系） 我们只需证(5)到(3)的关系,Riesz定理的证明,证明：,对Riesz定理证明 的说明：其实从 证明中的(*)式我们可看出,从而可取得n1 n2 n3 nk，使得,故对任意0， ,有,依测度收敛的等价描述,令mE+，则 对fn 的任意子列 fnk ,存在fnk的子列 fnki ，使得,证明：（必要性）任取 fn的子列 fnk ， 由于 当然有,由Riesz定理知，存在 fnk的子列 fnki ， 使得,依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）,注：(1),(2),(4)当mE=+ 时,也成立；条件mE+ 对(3)来说不可少.,定理：令mE+ ， ，则(1) 若又有 , 则f(x)=h(x) a.e.于E。,设 fn 与 gn 是E上几乎处处有限的可测函数列, 于E， 于E, 则 于E,注:(1),(4)的证明类似，只要利用,证明：由于,故,这与（*）式矛盾，所以,证明：假设 不成立，则,条件mE+对(3)来说不可少,注：令 ，则 gn不依测度收敛于g,注：上述结果的证明也可通过依测度收敛的等价描述证明 任取 fn gn 的子列fnk gnk ，找 fnk gnk 的子列 fnki gnki使得,例 设 但 不依测度收敛于f 2于R,
