1、第4讲,数列的求和,1等差、等比数列的求和(1)等差数列前 n 项和 Sn_.推导方法：_；(2)等比数列前 n 项和,推导方法：乘公比，错位相减法,na1,n(n1)d2,倒序相加法,na1,2一般数列求和的常用方法,(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形,式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和,(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项,相乘构成的数列求和,(4)倒序相加：如等差数列前 n 项和公式的推导,1 在等比数列an中，an0，a3a44，则log2a1,log2a2log2a6值为(,),B,A5,
2、B6,C7,D8,2数列an的前 n 项和为 Sn，若 an,1 n(n1),，则 S5(,),A1,B.,5 6,C.,1 6,D.,1 30,B,3若数列an满足：a11，an12an(nN*)，则 a5_，,前 8 项的和 S8_(用数字作答),16,255,_.,120,考点 1,公式或分组法求和,例 1：(2011 年重庆)设an是公比为正数的等比数列，a12，a3a24.(1)求an的通项公式；(2)设bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列anbn的前 n 项和 Sn.,解：(1)设 q 为等比数列an的公比，则由 a12，a3a24，得 2q22q4，即 q2q20.解
3、得 q2 或 q1(舍去)，因此 q2.an的通项公式为 an22n12n(nN*),(2)Sn,2(12n)12,n1,n(n1)2,22n1n22.,【方法与技巧】若一个数列是由等比数列和等差数列组成，则求和时，可先分别求和，再将各部分合并，这就是我们说的分组求和.,a1(1qn) 1qn,【互动探究】1(2012 年广东韶关二模)已知等比数列an的前 n 项和为Sn，a11，且 S1, 2S2, 3S3 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnann，求数列bn的前 n 项和 Tn.解：(1)设数列an的公比为 q，若q1，则S1a11,2S24a14,3S39a19，但S1
4、3S31022S2，与已知矛盾，故 q1.,根据Sn,1q 1q,，,且S1, 2S2, 3S3成等差数列，得 S13S322S2，,考点 2,裂项相消法求和,例 2：(2013 年大纲)在等差数列an中，a74，a192a9，(1)求an的通项公式；,【方法与技巧】在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前面剩多少项则后面也剩多少项常见的拆项,【互动探究】2(2013 年新课标)已知等差数列an的前 n 项和 Sn 满足S30，S55.(1)求an的通项公式；,考点 3,错位相减法求和,【方法与技巧】本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用利用an,来实
5、现an与Sn的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意anSnSn1不能用来求解首项a1，首项a1一般通过a1S1来求解运用错位相减法求数列的前n项和适用的前提条件是：当数列的通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列，另一项是等比数列,【互动探究】,3(2012 年浙江)已知数列an的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 2n2n，nN*，数列bn满足an4log2bn3，nN*.,(1)求 an，bn；,(2)求数列anbn的前n项和Tn.,解：(1)由Sn2n2n，得当n1时，a1S13;,当n2 时，anSnSn12n2n2(n1)2(n1),4n1，即 an4n1，nN*.,由an4l
6、og2bn3，得bn2n1，nN*.,(2)由(1)，知anbn(4n1)2n1，nN*. Tn3721122(4n1)2n1， 2Tn327221123(4n1)2n. 2TnTn(4n1)2n34(2222n1) (4n5)2n5， Tn(4n5)2n5，nN*.,思想与方法分类讨论思想在数列中的应用例题：(2012 年广东肇庆一模)已知数列an，a1a22，an1an2an12)(1)求数列an的通项公式 an；,an12an是以1为公比，a22a12为首项的等比,数列,(1)解：由an1an2an1两边加an，得 an1an2(anan1)(n2)， an1an 是以2为公比，a1a24为首项的等比数列 an1an42n122n. 由an1an2an1两边减2an，得 an12an(an2an1)(n2),an12an2(1)n12(1)n. ，得3an22n(1)n，,
