1、初中 八 年级（ 下 册）教 案科目 数 学 教师 吴瑞燕 海丰县可塘二中20132014 学年 第二 学期2161.1 二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用 a（a0）的意义解答具体题目提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题教学重难点关键1重点：形如 a（a0）的式子叫做二次根式的概念；2难点与关键：利用“ （a0）”解决具体问题教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本 P2 的三个思考题：二、探索新知很明显 3、 10、 46，都是一些正数的算术平方根像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式因此，一般地，我们把
2、形如 a（a0） 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号（学生活动）议一议：1-1 有算术平方根吗？20 的算术平方根是多少？3当 a0）、0、 42、- 、 1xy、 （x0，y 0）分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0解：二次根式有： 2、 x（x0）、 0、- 2、 xy（x0，y0）；不是二次根式的有： 3、 1、 4、 y例 1当 x 是多少时 在实数范围内有意义？2x3分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以 x-20，才能有意义2-x解：由 x-20，得：x 2当 x2 时, 在实数范围内有意义-三、巩固练习教材
3、P5 练习 1、2、3四、应用拓展例 3当 x 是多少时， 3x+ 1在实数范围内有意义？分析：要使 2+ 在实数范围内有意义，必须同时满足 23x中的0 和1x中的 x+10解：依题意，得 2x.由得：x- 32由得：x-1当 x- 且 x-1 时， 3x+ 1在实数范围内有意义例 4(1)已知 y= 2+ +5，求 y的值(答案:2)(2)若 1a+ b=0，求 a2004+b2004 的值(答案: 25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1形如 （a0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数六、布置作业1教材 P5
4、1，2，3，42选用课时作业设计第一课时作业设计一、选择题1下列式子中，是二次根式的是（ ）A- 7 B 3 C x Dx2下列式子中，不是二次根式的是（ ）A 4 B 16 C 8 D 143已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是（ ）A5 B C 1 D以上皆不对21.1 二次根式(2)教学内容2aa（a 0）教学目标理解 2=a（a 0）并利用它进行计算和化简通过具体数据的解答，探究 2a=a（a0），并利用这个结论解决具体问题教学重难点关键1重点： 2aa（a 0）2难点：探究结论3关键：讲清 a0 时， 2a 才成立教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1形如 a
5、（a0）的式子叫做二次根式；2 （a0）是一个非负数；3( )2a （a 0）那么，我们猜想当 a0 时， 2=a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题二、探究新知（学生活动）填空：2=_； 20.1=_； 21()0=_；2()3=_； 2=_； 23()7=_（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：2=2； 20.1=0.01； 21()0= ； 2()3= ； 20=0； 23()7= 5因此，一般地： 2a=a（a0）例 1 化简（1） 9 （2）(2 )2 （3） 5 （4） 2(3)5分析：因为（1）9=-3 2，（2）(2 )2=20,（3）25=5 2，（4）（-3
6、） 2=32，所以都可运用 a=a（a 0） 去化简解：（1） 9= 3=3 （2）(2 )25（3） 5= =5 （4） (3= =3三、巩固练习教材 P7 练习 2四、应用拓展例 2 填空：当 a0 时， 2=_；当 aa，则 a 可以是什么数？分析： =a（a 0），要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ） 2”中的数是正数，因为，当 a0 时， 2= 2()a，那么-a0（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知 2a=a，而a要大于 a，只有什么时候才能保证呢？ aa，即使 aa 所以 a 不存在；当 aa，即使
7、 -aa，a2，化简 2()x- 2(1)x分析：(略)五、归纳小结6本节课应掌握： 2a=a（a0）及其运用，同时理解当 a 2()a-C a = 2212 二次根式的乘除教学内容a b （a0，b0），反之 ab= （a0，b0）及其运用教学目标理解 （a0，b0）， = （a0，b0），并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出 b（a0，b0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出 ab= （a0，b0）并运用它进行解题和化简教学重难点关键重点： （a0，b0）， = a b（a0，b0）及它们的运用难点：发现规律，导出 （a0，b0）关键：要讲清 ab（a、0），反过来 ab=
8、 （a0，b0）及利用它们进行计算和化简教学目标理解 ab= （a0，b0）和 ab= （a0，b0）及利用它们进行运算利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简教学重难点关键1重点：理解 ab= （a0，b0）， ab= （a0，b0）及利用它们进行计10算和化简2难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1写出二次根式的乘法规定及逆向等式2填空（1） 96=_， 916=_；（2） 3=_， 3=_；（3） 416=_， 416=_；（4） 8=_， 38=_规律： 91
9、6_ ； 163_ ； 416_ ；38_ （老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定： ab= （a0，b0），反过来， = （a0，b0）下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目例 1计算：（1） 123 （2） 18 （3） 146 （4） 8分析：上面 4 小题利用 ab= （a0，b0）便可直接得出答案11解： （1） = 324248AA（2） 318= 382= =2（3） 46= 164= =2 A（4） 8= = =2 2例 2化简：（1） 364 （2）2649ba（3） 29
10、64xy （4） 25169xy分析：直接利用 = b（a0，b0）就可以达到化简之目的解：（1） 364= 8（2）29ba=23ba（3） 264xy= 28xy （4） 2519= 2513三、巩固练习 教材 P14 练习 1四、应用拓展例 3已知 6x，且 x 为偶数，求（1+x）2541x的值分析：式子 ab= ，只有 a0，b0 时才能成立因此得到 9-x0 且 x-60，即 60）和 ab= （a0，b0）及其运用六、布置作业1习题 162 2、7、8、92选用课时作业设计21.2 二次根式的乘除(3)教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算教学目
11、标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求重难点关键1重点：最简二次根式的运用2难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1计算（1） 35，（2） 7，（3） 82a老师点评： = 1， = 6， =2现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是 h1km，h 2km， 那么它们的传播半径的比是_13它们的比是 12Rh二、探索新知观察上面计算题 1 的最后结果，可以发现这些式
12、子中的二次根式有如下两个特点：1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式学生分组讨论，推荐 34 个人到黑板上板书老师点评：不是 12Rh= 1212h.例 1(1) 53; (2) 42xy; (3) 238xy例 2如图，在 RtABC 中，C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求 AB 的长BAC解：因为 AB2=AC2+BC2所以 AB= .56= 16913()342=6.5（cm）因此 AB 的长为 6.5cm三、巩固练习练习 2、3四、应用拓展
13、例 3观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：12= (1)2= -1，3= (3)32= - 2，同理可得： 14= - ，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算14（ 12+ 32+ 143+ 120）（ 20+1）的值分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的解：原式=（ -1+ - + - + - 201）（ 20+1）=（ 20-1）（ 20+1）=2002-1=2001五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用六、布置作业1习题 162 3、7、102选用课时作业设计第三课时作业设计一、选择题1
14、如果 xy（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）A （y0 ） B xy（y0） C xy（y0） D以上都不对2把（a-1） 1a中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）A B C- 1a D- 1a3在下列各式中，化简正确的是（ ）A 5=3 1 B 2=C 4ab=a2 D 3x=x 1.答案:一、1C 2D 3.C 21.3 二次根式的加减(1)15教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解再总结经验，用它来指导根式的计算和化简重难点关键1重点：二次根式化简为最简根式2难点关键：会判定是否是
15、最简二次根式教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式（1）2x+3x； （2）2x 2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a 2-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并同类项合并就是字母不变，系数相加减二、探索新知学生活动：计算下列各式（1）2 +3 2 （2）2 8-3 +5 （3） 7+2 +3 97 （4）3 -2 + 2老师点评： （1）如果我们把 2当成 x，不就转化为上面的问题吗？2 +3 =（2+3） =5 2（2）把 8当成 y；2 -3 +5 =（2-3+5） 8=4 =8 2（3）把 7当成 z；+2 + 9=2 +2 +3
16、 =（1+2+3） 7=6（4） 3看为 x， 2看为 y3 -2 +=（3-2） += + 216因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如 2 与 8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的（板书）3 2+ 8=3 +2 2=53 + 7=3 3+3 =6所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式进行合并例 1计算（1） 8+ （2） 16x+ 4分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并解：（1） + =2 +3 =（2+3） 2=5（2） 6x+ 4=4 x+8 =（4+8） x=12例 2
17、计算（1）3 8-9 13+3 2（2）（ 4+ 0）+（ - 5）解：（1）3 8-9 13+3 2=12 3-3 +6 =（12-3+6） 3=15（2）（ 4+ 0）+（ - 5）= 48+ 20+ 1- 5=4 +2 5+2 - =6 3+三、巩固练习教材 P19 练习 1、2四、应用拓展例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ 293x+y2 3xy）-（x 2 1-5x yx）的值分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1） 2+（y-3 ）2=0，即 x= 1，y=3 其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式， 再合并同类二次根式
18、，最后代入求值解：4x 2+y2-4x-6y+10=04x 2-4x+1+y2-6y+9=0（2x-1） 2+（y-3） 2=017x= 12，y=3原式= 93x+y2 3xy-x2 1+5x yx=2x + -x +5=x x+6 y当 x= 12，y=3 时，原式= +6 32= 4+3 6五、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并六、布置作业1习题 163 1、2、3、52选作课时作业设计第一课时作业设计一、选择题1以下二次根式： 12； 2； 3； 27中，与 3是同类二次根式的是（ ）A和 B和 C和 D和2下列各式：3
19、 3+3=6 ； 17=1； 2+ 6= 8=2 2； 43=2，其中错误的有（ ）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个二、填空题1在 8、 75a、 93、 25、 3a、3 0.2、-2 18中，与 3a是同类二次根式的有_2计算二次根式 5 -3 b-7 +9 的最后结果是 _三、综合提高题1已知 2.236，求（ 80- 415）- （ 3+ 45）的值（结果精确到 0.01）182先化简，再求值（6x yx+ 3）-（4x xy+ 36），其中 x= 32，y=27答案:一、1C 2A二、1 753a 3 26 b-2 a三、1原式=4 - - 45- 1= 5 12.2360.4
20、52原式=6 xy+3 -（4 xy+6 ）=（6+3-4-6） xy=- ，当 x= 3，y=27 时，原式=- 327=- 921.3 二次根式的加减(2)教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题教学目标运用二次根式、化简解应用题通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固二、探索新知例 1如图所示的
21、RtABC 中，B=90，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米/ 秒的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米/秒的速度向点 C 移动问：几秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米？（结果用最简二次根式表示）19BACQP分析：设 x 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米，那么 PB=x，BQ=2x， 根据三角形面积公式就可以求出 x 的值解：设 x 后PBQ 的面积为 35 平方厘米则有 PB=x，BQ=2x依题意，得： 12x2x=35x2=35x= 35所以 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米答： 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米例 2要焊接
22、如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到 0.1m）？分析：此框架是由 AB、BC、BD、AC 组成，所以要求钢架的钢材， 只需知道这四段的长度BA C2m1m4m D解：由勾股定理，得AB= 2240ADB=2 5BC= 1C=所需钢材长度为AB+BC+AC+BD=2 5+ +5+2 =3 5+7 32.24+713.7（m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要 13.7m 的钢材三、巩固练习教材练习 3四、应用拓展20五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题六、布置作业1习题 163 72选用课时作业设计作业设计一、选择题1已知直角三角形的两条直角边的长分别为 5
23、 和 5，那么斜边的长应为（ ）（ 结果用最简二次根式）A5 2 B 50 C2 D以上都不对2小明想自己钉一个长与宽分别为 30cm 和 20cm 的长方形的木框， 为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米（结果同最简二次根式表示）A13 10 B 130 C10 13 D5 13.答案:一、1A 2C.21.3 二次根式的加减(3)教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次
24、根式的式子的乘除、乘方等运算重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1计算（1）（2x+y）zx （2）（2x 2y+3xy2）xy2计算（1）（2x+3y）（2x-3y ） （2）（2x+1） 2+（2x-1） 2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现它主要有（1） 单项式单项式；（2）单项式多项式；（3）多项式单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用二、探索新知如果把上面的 x、y、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？ 仍成立整式运算中的 x、y、z 是
25、一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切， 当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式例 1计算:21（1）（ 6+ 8） 3 （2）（4 6-3 2）2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律， 所以直接可用整式的运算规律解：（1）（ + ） = 3+ 8= 8+ 24=3 +2 6解：（4 6-3 ）2 =4 2 -3 2 2=2 3-例 2计算（1）（ 5+6）（3- ） （2）（ 10+ 7）（ 10- 7）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立解：（1）（ +6）（3- 5）=3 5-（ ） 2+18-6=13-3
26、（2）（ 10+ 7）（ 10- 7）=（ 10） 2-（ 7） 2=10-7=3三、巩固练习课本练习 1、2四、应用拓展.本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算六、布置作业1习题 163 1、8、92选用课时作业设计作业设计一、选择题1（ 24-3 15+2 23） 的值是（ ）A 03-3 B3 0- 3C2 - D 2-2计算（ x+ 1）（ x- 1）的值是（ ）22A2 B3 C4 D1答案:一、1A 2D.171 勾股定理（一）一、教学目的1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规 律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定
27、理研究方面所取得的成就，激 发 学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点1重点：勾股定理的内容及证 明。2难点：勾股定理的证明。三、例题的意图分析例 1（补充）通过对定理的证明， 让学生确信定理的正确性；通 过拼图， 发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例 2 使学生明确，图形经过割 补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。 进一步让学生确信勾股定理的正确性。四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”， 为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家
28、华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“ 文明人”，那么他 们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角 ABC，用刻度尺量出 AB 的长。以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。” 这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是 3，长 的直角边（股）的长是 4，那么斜边（弦）的长是 5。再画一个两直角边为 5 和 12 的直角ABC，用刻度尺量 AB 的长。你是否发现 3
29、2+42 与 52 的关系， 52+122 和 132 的关系，即 32+42=52，52+122=132，那么就有勾 2+股 2=弦 2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例 1（补充）已知：在ABC 中， C=90，A、B、C 的对边为 a、b、c。求证：a 2b 2=c2。分析：让学生准备多个三角形模型，最好是有 颜色的吹塑 纸，让学生拼摆不同的形状，利用面 积相等进行证明。拼成如图所示，其等量关系 为：4S +S 小正 =S 大正 4 ab（ba ）2=c2，化简可证。1发挥学生的想象能力拼出不同的图形， 进行证明。 勾股定理的证明方法，达 300 余种。 这个古老的精
30、彩的 证法，出自我国古代无名数学家之cb aD CA B23手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例 2 已知：在ABC 中， C=90，A、B、C 的对边为 a、b、c。求证：a 2b 2=c2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边 S=4 abc 21右边 S=（a+b）2左边和右边面积相等，即4 abc 2=（a+b）2化简可证。六、课堂练习1勾股定理的具体内容是： 。2如图，直角ABC 的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）两锐角之间的关系： ；若 D 为斜边中点，则斜边中线 ；若B=30，则 B 的对边和斜边： ；三边之间的关系： 。3ABC 的三 边 a
31、、b、c，若满足 b2= a2c 2，则 =90； 若满足 b2c 2a 2，则B 是 角； 若满足 b2c 2a 2，则B 是 角。4根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。七、课后练习1已知在 RtABC 中，B=90，a、 b、c 是ABC 的三边，则c= 。（已知 a、b，求 c）a= 。（已知 b、c，求 a）b= 。（已知 a、c，求 b）2如下表，表中所给的每行的三个数 a、b、c，有 abc，试根据表中已有数的规律，写出当 a=19 时，b，c 的值，并把 b、c 用含 a 的代数式表示出来。3、4、5 32+42=525、12、13 52+122=1327、24、25 72+2
32、42=2529、40、41 92+402=412 19，b、c 192+b2=c23在ABC 中， BAC=120，AB=AC= cm，一 动点 P 从 B 向 C 以每秒 2cm 的速度移310动， 问当 P 点移 动多少秒时， PA 与腰垂直。4已知：如图，在ABC 中，AB=AC， D 在 CB 的延长线上。求证：AD 2AB 2=BDCD若 D 在 CB 上，结论如何， 试证明你的结论。八、参考答案AD CBbbbbccccaaaa bbbbaa ccaaAC BDbccaabDCAEB24课堂练习1略；2 A+B=90；CD= AB；AC= AB；AC 2+BC2=AB2。213B，
33、钝角，锐角；4提示：因为 S 梯形 ABCD = SABE+ SBCE+ SEDA，又因为 S 梯形 ACDG= （a+b）2，1SBCE= SEDA= ab，SABE= c2, （a+b）2=2 ab c2。211课后练习1c= ；a= ；b=ab2b2ac2 ；则 b= ，c= ；当 a=19 时， b=180，c=181。2c135 秒或 10 秒。4提示：过 A 作 AEBC 于 E。课后反思：171 勾股定理（二）一、教学目的1会用勾股定理进行简单的计 算。2树立数形结合的思想、分类讨论思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的简单计算。2难点：勾股定理的灵活运用。三、例题的意图分析例
34、1（补充）使学生熟悉定理的使用， 刚开始使用定理， 让学生画好 图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。例 2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考 虑问题 要全面，体会分 类讨论思想。例 3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。 让学生把前面学过 的知识和新知识综合运用，提高 综合能力。四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。五、例习题分析例 1（补充）在 RtABC，C=9
35、0已知 a=b=5,求 c。已知 a=1,c=2, 求 b。已知 c=17,b=8, 求 a。已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。已知 b=15，A=30，求 a，c。25分析：刚开始使用定理，让学生画好 图形，并 标好图形，理清边之间的关系。已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。已知一边和两边比，求未知 边。通 过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一 边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边 的关系的转化思想。例 2（补充）已知直角三角形的两边长分别为 5
36、和 12，求第三边。分析：已知两边中较大边 12 可能是直角边，也可能是斜 边 ，因此 应分两种情况分别进形计算。让 学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例 3（补充）已知：如图，等边ABC 的边长是 6cm。求等边ABC 的高。 求 SABC。分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线 做法。欲求高 CD，可将其置身于 RtADC 或 RtBDC 中，但只有一边已知，根据等腰三角形三 线合一性质，可求 AD=CD= AB=3cm，则此题可解。21六、课堂练习1填空题在 RtABC，C=90，a=8，b=15，则 c= 。在 R
37、tABC，B=90，a=3，b=4，则 c= 。在 RtABC，C=90，c=10，a：b=3：4，则 a= ，b= 。一个直角三角形的三边为三个连续偶数， 则它的三边长 分别为 。已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm，则第三边长为 。已知等边三角形的边长为 2cm，则它的高为 ，面积为 。2已知：如图，在ABC 中，C=60，AB= ，AC=4，AD 是 BC 边上的高，求 BC 的长。 343已知等腰三角形腰长是 10，底 边长是 16，求这个等腰三角形的面积。七、课后练习1填空题在 RtABC，C=90，如果 a=7，c=25，则 b= 。如果A=30，a=4，则 b= 。如
38、果A=45，a=3，则 c= 。如果 c=10，a-b=2，则 b= 。如果 a、b、c 是连续整数，则 a+b+c= 。如果 b=8，a：c=3：5，则 c= 。2已知：如图，四边形 ABCD 中，ADBC ，ADDC， ABAC，B=60，CD=1cm，求 BC 的长。八、参考答案课堂练习D C B A AC BDB CDA26117； ； 6，8； 6，8，10； 4 或 ； ， ； 73328； 348。课后练习124； 4 ； 3 ； 6； 12； 10； 2 23.171 勾股定理（三）一、教学目的1会用勾股定理解决简单的实际问题 。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点：勾股
39、定理的应用。2难点：实际问题向数学问题 的转化。三、例题的意图分析例 1（教材探究 1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。例 2（教材探究 2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其它两 边的变化。四、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我 们就来运用勾股定理解决一些 问题，你可以吗？试一试。五、例习题分析例 1（教材探究 1）分析：在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。让学生深入探
40、讨图中有几个直角三角形？ 图中标字母的线段哪条最长？指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只 记长度，探 讨以何种方式通 过？转化为勾股定理的计算，采用多种方法。注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。例 2（教材探究 2）分析：在AOB 中，已知 AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算 OB。 在 COD 中，已知 CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。则 BD=ODOB，通过计算可知 BDAC。进一步让学生探究 AC 和 BD 的关系， 给 AC 不同的值，计算 BD。六、课堂练习1小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地
41、面的高度是 米。2如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 米，则这两株树之间的垂直距离是3米，水平距离是 米。DA BCC ABOABCD272 题图 3 题图 4 题图3如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。4如图，原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由 A地到 B 地直接修建，已知高速公路一公里造价 为 300 万元，隧道总长为 2 公里，隧道造价为500 万元，AC=80 公里，BC=60 公里， 则改建后可省工程费用是多少？七、课后练习1如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C 两点，在江对岸
42、取一点 A，使 AC 垂直江岸， 测得 BC=50 米，B=60，则江面的 宽度为 。2有一个边长为 1 米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少 为 米。3一根 32 厘米的绳子被折成如 图所示的形状钉在 P、Q两点，PQ=16 厘米，且 RPPQ，则 RQ= 厘米。4如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高 24 米，B=C=30，E、F 分别为 BD、CD 中点，试求 B、C 两点之间的距离，钢索 AB 和 AE 的长度。（精确到 1 米）八、参考答案：课堂练习：1 ； 26， ；250 3318 米； 411600；课后练习1 米； 2 ；50320； 483 米，
43、48 米，32 米；课后反思：171 勾股定理（四）一、教学目的1会用勾股定理解决较综合的 问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点30A BCACBRP QACB DE F281重点：勾股定理的综合应用。2难点：勾股定理的综合应用。三、例题的意图分析例 1（补充）“双垂图” 是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、 计算等使学生能够灵活 应用。目前 “双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角形，三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及 30或 45特殊角的特殊性质等。例 2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条
44、件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。让学生掌握解一般三角形的 问题常常通过作高转 化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。例 3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可 转化为特殊 图形求解，本 题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边 形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知 识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。例 4（教材 P76 页探究 3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。四、课堂引入复习勾股定理的内容。本节课 探究勾股定理的综合应用。五、例习题分析例 1（补充）1
45、已知：在 RtABC 中， C=90，CDBC 于 D，A=60，CD= ，3求线段 AB 的长。分析：本题是“双垂图” 的计算题， “双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角形，三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30或 45特殊角的特殊性 质等。要求学生能够自己画图，并正确 标图。引 导学生分析：欲求AB，可由 AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 BD=3 和 AD=1。或欲求 AB，可由 ，2BCA分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 AC=2 和 BC=6。例 2（补充）已知：如图，ABC 中，AC=4，B=45，A=60，根据题设可知什么？分析：由于本题中的ABC 不是直角三角形，所以根据 题设只能直接求得ACB=75。在学生充分思考和讨论后， 发现添置 AB边上
