1、实验 3 资源的最优配置策略实验 3 资源的最优配置策略一、问题设某工厂有 1000 台机器，生产两种产品 A、 B，若投入 y 台机器生产 A 产品，则纯收入为 5y，若投入 y 台机器生产 B种产品，则纯收入为 4y，又知：生产 A 种产品机器的年折损率为 20%，生产 B产品机器的年折损率为 10%，问在 5 年内如何安排各年度的生产计划，才能使总收入最高？二、试验目的巩固“高等数学”课程中关于导数、极值等知识，帮助学生了解并应用一种最优化模型，即定期多阶段决策模型，以求解资源的最优配置问题。三、预备知识本问题可以归结为一个定期多阶段决策模型，它的解题思路可概括为：多段决策，分步寻求最优
2、，即是把一个复杂的多阶段最优决策问题化为多个单段最优决策问题，具体地讲，本问题在 5 年的期限内可以分为 5 个阶段来决策，采取逆向递推的方法，分段求解极值问题，最后确定整个问题的最优目标（即 5 年的最高总收入） 。在求解问题时，要涉及到一些基本概念，诸如，状态变量、状态方程、决策变量、最优策略、最优目标，以及寻求最优策略的基本方程，对于这些概念在本问题中所对应的实际意义，我们在“试验内容及要求”中加以说明。四、试验内容与要求 1.建立求解最优配置策略的数学模型，即定期多阶段决策问题的基本方程，该决策问题分为 5 个阶段(k=5,4,3,2,1).令 x 表示第 k 年初完好机器数，即问题中
3、的状态变量：u 表示第 k 年安排生产 A 种产 kk 品的机器数，它是对 x 的一种决策，即问题中的决策变量，则表示第 k 年安排生产 B 种产 k 品的机器数，0?u?x.kk 所谓最优策略，即是为使得总利润最高，而对 5 年内各年生产 A 种产品的机器数的最佳*安排，即 u,u,L,u.125 有了以上假设便可由题意得出：第 k+1 年初完好机器数=（1-生产 A 种产品机器的年折损率）第 k 年安排生产 A 种产品的机器数+（1-生产 B 种产品机器的年折损率）第 k 年安排生产 B 种产品的机器数由此，我们便得到如下的状态方程：x?0.8u?0.9(x?u)?0.9x?0.1u（1）
4、k?1kkkkk 又不妨令 L(x,u)表示第 k 年的纯收入，V(x)表示从第 k 年初往后各年的最大利润 kkkk 之和，则 V(x)便是本问题的最优性能指标值，即是衡量生产方案优劣的一个标准，特别 kk*地，使 V(x)最优的方案（策略）u,u,L,u便是本问题所求出的最佳方案（最优策略） 。11125 对于本问题，因 V(x)表示从第 k 年初往后各年的最大利润之和，且本问题要求 5 年 kk的最大利润，所以，显然有 V(x)?0，根据求解多阶段决策问题的动态规划基本方程，我 66 们便得到带有终端条件 v(x)?0 的基本方程。66V(x)?maxL(x,u)?V(x)?kkkkk?
5、1k?1?0?u?xkk（2）?V(x)?0?66?其中V(x)表示从 x 的诸状态转移到最终状态 x 的最优指标；L(x,u)表示从 x 的诸状kkknkkk 态转移到 x 的某一状态的指标；V(x)表示从 x 的某一状态转移到 x 的最优指标。k?1k?1k?1k?1n2.据基本方程求解资源配置的最优策略。据（2）式，若已求得 V(x)，则可求得 k?1k?1V(x)，由此形成逆推过程，解法大意如下：kk*第一步：据（2）式逆向递推求最优策略u,k?5,4,3,2,1的形式解，即从 V(x)?0 出 k66*发，据（2）式得到 V(x)为目标的极大问题表达式，再由一元函数微分学则求得 u 的含 555*x 的表达式及 V(x)的含 x 的表达式（形式解） ；依次可得 u(V(x),u(V(x),L，5554433*u(V(x)等形式解。11*第二步：从 x?1000 出发，据形式解u,k?5,4,3,2,1，顺序求得 u 的反馈解，即 1kk 本问题的解。
