1、最优捕鱼模型一. 问题的重述 捕鱼业在当今社会中十分重要的行业,捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益,其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联. 所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼时间之间的关系,是一个具有现实意义的问题.现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗,鱼苗尾数随着时间的增长而减少,且相对减少率为常数;每尾鱼的重量随着时间增长而增加,且由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼的表面积成正比,由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比. 分析如下问题:问题一:建立尾数和时间的微分方程并求解;问题二:建立每尾鱼重量和时间的微分方程并求解;问题三:用控制网眼的方法不捕小鱼,从一定时刻开始捕捞,用尾数的相对减少率表示捕捞
2、能力,分析开始捕鱼的最佳时刻,使得捕获量最大,并建立相关模型.二. 问题分析1.针对问题一,根据相对减少率的数学定义,可以建立鱼尾数和时间的微分方程;2.针对问题二,将鱼体假设为球体,得出鱼的表面积与它重量的关系,使得鱼的重量完全成为一个关于时间的函数,进一步建立出鱼重量与时间的微分方程;3.针对问题三,将捕捞行为看作连续的过程,瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾鱼瞬时重量呈正相关关系,瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关,每尾鱼瞬时重量可由对问题二的解答得出,总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分.三.基本假设1假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响;2假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为;3假设每尾鱼都均衡生长
3、;4假设在捕捞过程中鱼的条数连续;5假设鱼为球体.四符号表示0n鱼塘中最初投放的鱼苗数量t时间鱼塘内鱼苗尾数与时间的函数r鱼苗尾数的相对减少率V每尾鱼体积S每尾鱼表面积G每尾鱼重量0每尾鱼初始重量每尾鱼重量密度()tn时刻鱼塘内鱼苗尾数t2k每尾鱼重量减少率与其重量本身比例系数1每尾鱼重量增加率与鱼表面积比例系数T能获得最大捕捞量的初始时间E捕捞能力W总捕捞量五模型建立与求解模型一. 鱼苗尾数的相对减少率为常数 .r由相对减少率的定义得 ()()()tttnrn即 ()()()00limlitt tt t即 ()tdnrt解得 0te模型二. 假设鱼为球体,体积为 ,表面积为 ,半径为 ,重量
4、为 ,初始VSRG重量为 ,鱼的密度为 ;且每尾鱼的重量随着时间增长而增加,其中由于喂养0G引起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比(比例系数为 ) ,由于消耗引起的1k减少率与其重量本身成正比(比例系数为 ).2k由 , , 得34VR=SGV23令234=b又由于 , ,12-dGkSt0t0G所以 231-302+ktbe模型三. 控制网眼不捕小鱼,鱼塘中瞬时鱼尾数用 表示,捕捞能力( )可(t)nE以用尾数的相对减少率 表示,从 时刻开始捕捞,使得捕捞量 能够最1dntTW大.其中减少量包括自然减少量(即第一模型中的减少量)和捕捞量.此时, -(t)0(t)=atneE-01-tatdEt所以,-00(t)=1+()at aTTTneWde则,在此模型下,捕捞时间越早,捕捞量越大.模型四. 建立在模型三的基础上,捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数 ,还取决(t)n于鱼的重量 .G即 (t)TWEnGd所以, 231- -013(t) 02=+at ktTTekbEnded可根据此函数求得最大捕捞量所对应的时刻 .