1、1西安交通大学高等数学（下册）期末考试2011-7-15(A)一填空题（每小题 3 分,共 15 分）1曲线 上相应于 的点处的切线方程是 2tytxz2y2 在点 处沿点 指向点 方向的方向导数为 .zuarcn)1,0(A),3(B3第一型曲线积分 = .dsxy2124微分方程 的通解是 . )3(5设函数 , 则 .xyzteu0sinrot(gad)u二单选题（每小题 3 分,共 15 分）1已知 为某个二元函数 的全微分. yxbydax3si1()co( 22 ),(yxf则常数 分别是（ ）b,A 和 2; B2 和 ; C 和 3; D3 和 .2二次积分 可写成（ ） df
2、0cos )sin,(A ; B ;12),ydxd102),(ydxfC ; D .0(fx 2x3微分方程 的一个特解应有形式（ 为常数） （ ）1xeyba,A ; B ; C ; D .baex baexex4设 ,则 满足（ ）22|1cosinxydIyIA ; B ; C ; D .233I1020I5设 其方向为正,则 =（ ）2:LRLxdyAA ; B ; C ; D .404R3R三计算题(1-7 每小题 7 分, 8-9 每小题 8 分共 65 分)1设 有二阶连续偏导数，求(sin)xzfeyf .,2yxz2计算二次积分 2130.xyde3 设 球 体 上 各 点
3、 的 密 度 等 于 该 点 到 坐 标 原 点 的 距 离 ， 求 该 球 体 的 质 量 .zx24求曲面 上距离原点最近的点.y5设 为平面 被柱面 所截的部分，计算曲面积分5252x.)(dSzyI6已知 ，试证曲线积分 在右半平面)1(2)x dyxyxBA)(2内与路径无关，并求当 两点分别为 和 时该积分的值.)0(xBA,)0,1(,7函数 在点 处. 32),(yxf)0(是否连续？偏导数是否存在？是否可微？均说明理由8设曲面 是锥面 与两球面 所围立体表2z 2,1222 zyxzyx面的外侧，计算 ddfydxyf 333 )()(其中 是连续可微的奇函数.)(uf9(学
4、习工科分析作(1), 其余作 (2)(1)求微分方程组 的通解，其中 .xAdt6312A(2)求 的通解。ey234四(5 分) 设 为常数， 是连续函数，且 ，证明：0,ba)(tf 0)(tf)2)(11(2 badxybyfaxfbyax 2010-7-6一、填空题（每小题 4 分）1. 若函数 在 处取得极值，则常数 .yxyxf),(22)1,(a2. 曲线 在点 处的一个切向量与 轴正向成钝角.则它与 轴正向23/3tzt),(ozox夹角的余弦 = .cos3. 交换二次积分的积分次序（其中 连续）： .,f 2 1 2 010ddxfyfy4. 设 为圆周 ，则 .L42yx
5、Lsyd25. 若 都是微分方程 的解（其xye3,31 ()()pqfx中 都是已知的连续函数） ，则此方程的通解为 .)()(fqp二、单选题（每小题 4 分）1. 二阶常系数线性非齐次微分方程 的特解 的形式为 xy2cos52*yA B. C. D. xa2cosexasine )in(ebaxxa2cose2. 设曲面 的外法线的方向余弦为 ，则2:Rzy , A B. C. D. Szyxd)(33R334R3. 设 是连续函数，平面区域 ，则 )uf 10|),(2xyxDDyxfd)(2A. B. 2120d()dxfy 220d()yfC. D. 14. 过曲面 上点 的切平
6、面在各坐标轴上的截距之和为 5zx ),(00zyxM3A. B. 5 C. D. 00xyz500112zyx5. 若二元函数 在点 处可微，则 在点 处下列结论不一定成立的),(f),(0yx),(yf),(是 A. 连续. B. 偏导数存在. C. 偏导数连续. D. 曲面 的切平面存在.(,)zf三、计算题（每题 9 分,共 54 分）1. 设 ，其中 具有连续二阶偏导数，求 .)(2yxfzf yx2,2. 在圆锥面 与平面 所围的锥体内作一个底面平行 平2Rh)0,(hRz xoy面的长方体，求此长方体体积的最大值.3. 设力场 ，其中 具有一阶连续的导数，sin,cos)(xyx
7、yF )(y为力场中的两点. 是力场中位于直线段 下方的一条光)4,3()2,BA )3(AmBAB滑曲线段，且 与 所围成的平面区域 的面积为 2，质点 在场力 的作用下由点mDMF沿 移动到点 ，求场力 所作的功.4. 计算曲面积分 ，其中 为曲面()d()d()dIxyzyzxxy 的下侧。)10(2zyxz5. 设函数 具有二阶连续的导数，并满足 ，其中 为f 0)()(efyfLx L平面上任意一条逐段光滑的封闭曲线，求 .o )(f6. (学习工科数学分析者作(1),其余作(2)(1)求微分方程组 的通解.其中 .(2) 求微分方程 的通解.xAtd13 xye2四、 （6 分）计
8、算 ,其中 是圆 的一周,方向为逆时针.22LyL2xy2009-7-8一、填空题（每小题 3 分）1设 ,则 ，2微分方程 的通解为 arctn0,)xzyy， （ yz 0584yy3曲面 在点(2,1,0)处的法线方程为 .4e24设积分区域 为 ，则二重积分 .D22axDyxxd)1sin(3二、单项选择题（每小题 3 分）1函数 在点 处沿 的方向导数 为( ).xzyxu22)1,(0M2,l0MluA B C D3, 2,4 532设 则 （ ）. A B C D122ln(1)uxyz(1,)ux14144343微分方程 的特解 的一般形式为（ ）xy2cos *yA B C
9、 D)in2cos(ebxax xba2sinxa2cos )2sinco(xba4设 是从点(0,0)沿折线 到点 的折线段，则曲线积分 等于L1)0,(ALyd（）A0 B C2 D 三、计算题（每小题 7 分） 1求曲线 在 处的切线方程2求曲面 在点2sin,xtyzt0249xyz处的切面方程；3设立体 是上半球面 与抛物面 所围成，(6,25)22yx z3设立体的体密度为 ，求立体 的质量4计算二重积分),(yxyxI dede122145 （1）求解微分方程组 ，其中 xt4635321x（2）求微分方程 的通解ye236设 其中 具有二阶连续偏导数，求 ),cos(exyfz
10、f yxz2,7在变力 的作用下，质点由 沿曲线)0(cose,inaxyFx )0,(aA运动到点 ，求变力 所做的功？并问参数 为何值时， 所做的功最大？2axy)0(OF F8计算第一型曲面积分 ，其中 为平面Szd)342)0,(1432zyxzyx9设 在 内有连续导数，试证 与路径无关，)(uf),Lffyd)d)(12其中 是上半平面内的分段光滑曲线，并计算此积分当 是从点 到 的线段时的值L 3,(A(,B四、 （5 分）计算曲面积分 ，其中223()xdyzxzyIA的外侧。22:31xyz2008-7-8一、解答下列各题1. 设 ，求 . 2. 求曲线 在 处的切线与法平面
11、方程。)cos(yxezyyzx, 322,xtyzt13. 求曲面 在点 处的法线方程。32z )0,21(4. 求微分方程 的通解.xey65. 设 连续，交换积分次序 .),(xf xyfyf2010 d),(d),(26. 设有一物体，它是由曲面 和 所围成，已知它在任意的点xz28z处的密度 ，求此物体的质量.),(zyz7. 设 是从点 到点 的直线段，求第一型曲线积分 .L)0,1(A)2,1(BLsyxd)(58. 计算第一型曲面积分 ，其中 是平面 在第一卦限的部分.2d(41)Sxy1648zyx9. 设 在椭球面 点 处沿外法线方向的方向导数.22zyxu2czba),(
12、00M10. （注意：学习工科数学分析的做（1） ，其余的做（2） ）（1） 设函数 ，求 .2d)(xyeF)(xF（2） 函数 由方程 所确定，其中 有连续导数， 为不全为,zbzyaz)(uba,零的常数，计算 .ybxa二、求函数 的偏导数 ，其中 具有二阶连续偏导数.),(2fz2,xzf三、计算第二型曲面积分 ，其中 是曲面 yxzxzyI d)(dd)( 2在 面上方部分，方向取上侧.2yxzo四、若曲线积分 ，其中 为圆周 ，方向取正向，求LyxI)3(dL)0(22Ryx为何值时， 有最大值.R五、 （注意：学习工科数学分析的做（1） ，其余的做（2） ）（1）求微分方程组
13、的通解.xtx542d(2)已知 是 的特xxx eyeyey 231 , xeyay221解，求 以及该方程的通解.2,a六、设 具有二阶连续的导数，试求 使得曲线积分)(xf )(f与积分路径无关. ABk xxkffeI d)(七、设 为 所围成的区域， 是一元函数，且D4,1,4,yy F，其中 为正的连续函数，计算 ，其中)()(vfuvFu )(xf DyxFyxd)(为 的边界曲线，方向为正向.部分题参考答案:2011-一、1. ; 2, ；3. ；4. ;5. . 123xyz3213(cosin)2xyex02011-二、单选 1. ; 2, ； 3. ； 4. ； 5. .
14、BDAC2011-四、解: 原式左 2 21 1()(, )uv uvbfafvfvaydbdu 因为区域关于 对称,所以uv2 21 1()()uv uvf f后一项为空.故原式左21()uvabdab2010-一、 1. . 2. . 3. .4. ,5. .5a16yxf10,d63e21Cx2010-二、 1. C. 2. D. 3. C. 4. B. 5. C.62010-四、 由 ,知被积表达式是全微分.但 点是奇点.因2222()()xyyx)0,(此，用 扣去奇点得： 1:xC CCxyyxI dd2这时化 为： 而令)2(432 tttcos31sin,co3得: 4disi
15、nco3s0 2ttI2009-一.填空题：1. .2. .3. .4. .yxyz12xxC521e121zy2a2009-二.单选：1. C； 2. A； 3. B； 4. D.2009-四、解： ,取 ： 的外侧，则 0PQRxz122yz11ddyzx 213d4xyzv2008-二 , .22fxfz 2214fxffyfx2008-三 20 43z xyIdvd下 上 208cos1dd2008-四 .242 20(3)3(1)6()RD Rxy, , .6)(RI1(,II2008-五 , 时， .)0()2AI 1212,01时 .通解为： .10323 ttt ecectx
16、0321 210)( 2008-六 与路径无关， .I )()()( xfQypkffkex 即： ，特征根为： .( )？xefkxf )1( k21,1特解设为 ,代入设 , .xAy* 1kxkxxecef)(2008-七 ()()()2yuDDDvxFydyFdFvdu . .uvf)(21 fuvfu)()(7原式 .1()1924Dfuvd 2007-7-8一、解答下列各题（每小题 6 分，共 60 分）1设 .cos(),yuuxy求 和2求曲线 在对应于 处的切线和法平面方程。231tzt1t3.求椭球面 在点 处的切平面方程.2,24.求微分方程 的通解.xye5.设 连续，
17、交换积分次序 .,fx40,ydfxd6.计算三重积分 ，其中 为 与 所围成的区22zV2zy2zxy域.7.计算第一型曲线积分 ，其中 为右半圆周：2LxydsL2,0.x8.计算第一型曲面积分 ，其中 是曲面 的部分.41zS1zyz上9.求由方程 确定的隐函数 的全微分，其中 具有连续的偏导,0Fxayb,xF数， 为常数.,b10.设函数 ，求 .220,xytedFx二、 （7 分）求函数 的二阶偏导数 ，其中 具有二阶连续偏导数.,zf2zxyf三、设 且 求(1),0fC2221xytyft dx.ft四、 （7 分）计算第二型曲面积分，8222cos1sin(1)4Ixzdy
18、zdxyzdxy其中 是下半球面 的上侧.2x五、 （7 分）计算 ，其中 为正常数， 为曲线sincosx xLebeya ,abL上从 到点 的弧段.2ya,0Aa,O六、 （7 分）设 ，其中函数 具有二阶连续的导数，,duxyfxydfxfx求 及 .01,.ff ,u七、 （5 分）设二元函数 在平面区域 上具有二阶连续偏导数，在,f:01,Dy的边界上取零值，且在 上有 ，试证： .D2fMxy,4DMfxd2006-6-21一、解答下列各题（每小题 6 分，共 60 分）1 设 22ln3,uuxyz求2 4.求微分方程 的通解.3 求曲面 在点 处的切平面方程 .2201,p4
19、 计算曲线积分 ，其中 为 的逆时针方向.2LxydyAL2xyx5 设 连续，交换积分 的次序.,f210,yfd6 计算三 ，其中 为 和 所围成的区域.zV4zx213zxy7 计算第一型线积分 ，其中 为圆周 在第一象限部分的弧段.Lyds24y8 求 ，其中 是球面 在 上方的球冠.1dSz2xyza0zha9 求曲线 在 对应的点处的法平面方程.3(),)rtt1t10 学工科数学分分析的同学作第（1）题，其余同学作第（2） 题(1)设 ，求 .(2)设 ，求2sin()yxFdFy 2xyze2.xyzx二、 （7 分）设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求2i,xzfef .三、
20、（7 分）一质点在平面场力 的作用下，32 2cos1sin3xyxiyxj沿曲线 从点 运动到点 ，求场力 所作的功2:Lxy0,o,AFW四、 （7 分）计算 ，其中 是曲面2421zdyzdxzdxy 在 的部分的外侧 .2z五、 （7 分）设函数 的全微分 ，其中 在内具有u xefff9二阶连续的导数，且 ，求 及04,3fffx.u六、 （7 分）(学工科数学分分析的同学作第 1 题，其余同学作第 2 题)i. 求微分方程组 的通解.0dxxtii. 已知上半平面内的一条曲线 通过原点，且曲线上任意一点0y处的切线斜率数值上等于该点横坐标减去此曲线与 轴所围成的面积，,Mxy ox
21、求此曲线的方程.七、 （5 分）设在上半平面 内函数 具有连续偏导数，且对任,Dx,fxy意 都有 ，证明：对 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 ，0t2,fttfyDL都有 ,0LyxddA2005-6-23一、解答下列各题（每小题 6 分，共 60 分）1设 .cos(),xyuuexy求 和2求曲线 在对应于 处的切线和法平面方程。,sin,tttez4t3计算 ， 为圆周 的正向。22(1)(1)LxydAL22xyR4求函数 在点（1，1）处的最大方向导数。z5求微分方程 的通解。xye6求曲面 在点（2，1，4）处的切平面方程。27设函数 由方程 所确定，求 。(,)zxzyzy8
22、交换二重积分的次序 。2200(,)(,.)xdfdfdy9计算曲面积分 其中 是曲面 2()xzyxzz 面上方，方向取上侧.2zxyo在10求 ，其中 为 沿曲线(sin)(cos),(0)xxLedeady L(2,0)Aa到点 。2ya0,O二.（9 分）设曲面 是上半球面 ,其面密度为 ,求曲面 的质224z(,)xyz量三 （9 分）计算三重积分 其中 所围成的区域,zdv222为 和四 （9 分）(学工科数学分分析的同学作第 1 题，其余同学作第 2 题)10(1)求齐次线性微分方程组 的通解.13564dxxt(2)已知函数 是二阶常系数非齐次微分方程， 的一个2()xxye
23、xyabce特解，试确定常数 及该方程的通解。,abc五、 （9 分）设半径为 的球面 ，其球心位于定球面 上，试求 的值，r122:xzr使该球面 位于定球面 内部的那一部分面积取得最大值。1六 （4 分）设 满足 ，计算 其中 为(,)uxy22()uyy,LudsnA，而 为 沿 的沿外法线方向的方向导数2xynL2004.6.9一、求解下列各题（每题 6 分，共 60 分）1 设 求2ln(),xyzez2 设 ，其中 具有连续的一阶偏导数，求 。3,zuff du3设 ，求 在点 沿 方向的方向导数。01()(2,0)P23uxyz0P14求微分方程 的通解。y5 设 连续，交换累次
24、积分 的积分次序。,fx120(,)xdfdy6计算三重积分 其中积分域 是由 所围成的空间区域。2(),vz)v2zx与7求 ，其中 为 沿曲线sin(cos,(0)xxLeyeya L(,0)Aa到点2ya(0,)O8计算锥面 包含在 内的部分的面积。2z29计算曲面积分 ，其中 是半球面 zdS21zxy10高数作(1) 高数作(2)（1）叙述一个集合导集的定义，并求集合 的导集。(,)AmnN（2）求函数 的极值。22zxyxy二 （9 分）设 的全微分 其中 有二阶连续导(,)u()(),duefxydfxy()fx数 试求(0)43ff()f三、 （9 分）计算 其中 为圆柱面22
25、2Sxyzz S被平面 截下部分，其法向量正向在 点与 轴同22()xya01与 (,0)Pax向。11四、 （9 分）证明:变换 yxvu3,2 0622yzxz能 把 方 程有二阶连续偏导数.),(,02yfzvuz其 中简 化 成五、 （9 分）在曲面 上作切平面使切平面与三坐标面221,(0,)xabcabc围成立体体积最小，求切点坐标。六、 （4 分）设 上二次连续可微，且满足 试求2(,)fxy在 22(),xyfex21()xyfdy2003.6.9一、解答下列各题(每小题 5 分，共 25 分)1设 ，求全微分 . zyeuxcosindu2求曲线 ， ， 在对应于 的点处的切
26、线和法平面t2tsitz2cos4t方程.3计算曲线积分 ，式中 是曲线 上从 到 的一段.Lxdyey )3(Lxey)1,0(,e4求函数 的极值.206922xz5求微分方程 的一个特解.xey二、解答下列各题(每小题 6 分，共 24 分)1 在 轴上求一点，使它到点 的距离等于它到平面 的距离.x2,10(M9236zyx2 函数 由方程 所确定，求 .),(yz0)lnxyzxz ,3改变二次积分 的积分次序，其中 连续.dfdyfd2 0 101 ,(),( ),(yxf5 计算曲面积分 ,其中 是由 dzyxzxz)( 所确定的立体的表面外侧.1|,|,1|zyx三、 （9 分
27、）计算三重积分 ，其中 由 所确定.dVI2 zyx22四、 （9 分）求半径为 的质量分布均匀的半球面的重心坐标.R五、 （9 分）求微分方程 的积分曲线方程，使其在点 与直线034y ),0(相切.20xy12六、 （9 分）设曲面方程为 （ 为正常数）. 具有一阶连续的偏导0),(byzaxFa, ),(vuF数，且 ，试证明此曲面上任一点处法线恒垂直于一常向量.02vu七、 （9 分）求微分方程 满足 的特解.)ln1(lxyx ey)1( ,2)(八、 （6 分）设 是光滑的正向简单闭曲线，所围的区域记为 ， 是 的单位外法线向量，LDnL是具有二阶连续偏导数的二元函数，试证：),(
28、yxuDLdxyudsnu)(22002.6.17一、解答下列各题(每小题 6 分，共 60 分)1 设点 为从原点到一平面的垂足，求该平面的方程.)2,3(p2 求过点 的平面，使它与平面 垂直，且与直线1M03:zyx平行.zyxL:3 设 ，求 . 2d4 在曲面 上求一切平面，使该切平面垂直于直线 .23 123zyx5 求曲线 上，对应 点处的切线方程.)ln(si,tztytx2t6 改变二次积分 的积分次序，其中 连续.xx dyfdyfd40202 ),( ),(yxf7 计算 ，其中积分域 是： .zVIz8 计算曲线积分 ，其中 是椭圆周 正向.Lyx2L212xyx9 计
29、算曲面积分 ，其中 为锥面 被圆柱面 截下的dS| z xy2部分曲面.10. 求微分方程 的通解.21xyx二、 （7 分）求函数 极值.0692yz三、 （7 分）函数 由方程 所确定，其中 具有),(),(zF),(vuF连续的一阶偏导数，且 ，求 .vux四、 （7 分）设 为上半球面 的外侧，计算曲面积分。21yz.ddxyz)(333五、 （7 分）计算曲线积分 ，其中 为以 为直径的从ABLxdyee)4cos(sinABL到 上半圆周.)0,(A),2(a013六、 （7 分）求微分方程 的通解.2xy七、 （5 分）已知连续可微函数 满足)(tF)0( 0 ,()1)(22 tyxdyxtFtyx试求函数 .t
