1、章末检测一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1在ABC 中，E、F 分别为 AB，AC 的中点，则有 EFBC，这个问题的大前提为_答案 三角形的中位线平行于第三边解析 这个三段论推理的形式 为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为ABC的中位线；结论：EF BC.2对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22133213542135723353379114313151719根据上述分解规律，若 m2 13511，n 3的分解中最小的正整数是 21，则mn_.答案 11解析 m213511 636，1 112m 6.2335,3 37
2、911，4313151719，5 32123252729，n3的分解中最小的数是 21，n3 53，n5， mn6511.3用反证法证明命题“ 是无理数”时，其反证假设是_2 3答案 是有理数2 3解析 应对结论进行否定，则 不是无理数，即 是有理数2 3 2 34已知 f(x1) ，f(1)1(xN *)，猜想 f(x)的表达式为_2f(x)f(x) 2答案 2x 1解析 当 x1 时，f(2) ，2f(1)f(1) 2 23 22 1当 x2 时，f(3) ；2f(2)f(2) 2 24 23 1当 x3 时，f(4) ，2f(3)f(3) 2 25 24 1故可猜想 f(x) .2x 1
3、5对“a，b，c 是不全相等的正数” ，给出下列判断：(ab) 2(bc) 2( ca) 20；ab 与 bc 及 ac 中至少有一个成立；ac，bc，ab 不能同时成立其中判断正确的个数为_答案 1解析 若(ab) 2( bc )2( ca) 20，则 abc，与 “a，b，c 是不全相等的正数”矛盾，故正确ab 与 bc 及 a c 中最多只能有一个成立，故 不正确由于“a，b，c 是不全相等的正数” ，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故不正确6我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体下列几何体中，一定属于相似
4、体的有_个两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱锥答案 2解析 类比相似形中的对应边 成比例知， 属于相似体7数列a n满足 a1 ，a n1 1 ，则 a2015等于_ 12 1an答案 1解析 a1 ，an1 1 ，12 1ana2 1 1，a 31 2， a41 ，1a1 1a2 1a3 12a51 1，a 61 2，1a4 1a5an 3ka n(nN*，kN*)a2015 a23671 a 21.8若数列a n中，a 11，a 235，a 37911，a 4 13151719，则a8_.答案 512解析 由 a1，a2，a3，a4的形式可归纳：1 2 347 2
5、8，7(1 7)2a8的首 项应为第 29 个正奇数，即 229157.a8 5759616365676971 512.8(57 71)29在数列a n中，a 11，且 Sn，S n1, 2S1成等差数列(S n表示数列a n的前 n 项和) ，则S2，S 3，S 4分别为_，猜想 Sn_.答案 ， (nN *)3274 158 2n 12n 1解析 由 Sn，Sn1, 2S1成等差数列，得 2Sn1 S n2S 1，因为 S1a 11，所以 2Sn1 S n2.令 n1，则 2S2S 121 23S 2 ，32同理，分别令 n2，n3，可求得 S3 ，S4 .74 158由 S11 ，S2
6、，S3 ，21 120 32 22 121 74 23 122S4 ，猜想 Sn .158 24 123 2n 12n 110黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n 个图案中有白色地面砖的块数是_答案 4n2解 观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第 n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以 6 为首项，公差是 4 的等差数列的第 n 项”故第 n 个图案中有白色地面砖的块数是 4n2.11观察下列等式：(11)21(21)(2 2)2 213(31)(3 2)(33)2 3135按此规律，第 n 个等式可为_答案 (n1)(n
7、 2)(n3)(nn)2 n135(2n1)12f(n) 1 (nN *)，经计算得 f(2) ，f(4)2，f(8) ，f(16)3，f(32) ，推12 13 1n 32 52 72测当 n2 时，有_答案 f(2 n) (n2)2 n2解析 观测 f(n)中 n 的规律为 2k(k1,2，)不等式右侧分别为 ，k1,2，2 k2f(2n) (n2)2 n213已知 2 ， 3 ，2 23 23 3 38 38 4 4154 ，若 6 (a，b 均为实数)，推测 a_，b_.415 6 ab ab答案 6 35解析 由前面三个等式，推测被开方数的整数与分数的关系，发现规律由三个等式知，整数
8、和这个分数的分子相同，而分母是分子的平方减 1，由此推 测 中， a6，b6 2135，即6 aba6，b35.14在平面几何中，ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 ，把这个结论类AEEB ACBC比到空间：在三棱锥 ABCD 中(如图所示) ，面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 相交于 E，则得到的类比的结论是_答案 AEEB S ACDS BCD解析 CE 平分ACB ，而面 CDE 平分二面角 ACDB. 可类比成 ，故结论为 ACBC SACDSBCD AEEB.SACDSBCD二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)15(14 分) 已知 a、b、c
9、 是互不相等的非零实数求证三个方程ax22bxc 0，bx 22cxa0，cx 22axb0 至少有一个方程有两个相异实根证明 反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则 1 4b24ac0， 24c 24ab0， 34a 24bc 0. 相加有a22abb 2b 22bcc 2c 22aca 20，(ab) 2(bc) 2( ca) 20.由题意 a、b、c 互不相等，式不能成立假 设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根16(14 分) 设数列 an是公比为 q 的等比数列，S n是它的前 n 项和(1)求证：数列S n不是等比数列；(2)数列S n是等差数列吗？为什么？(1)
10、证明 假设数列S n是等比数列， 则 S S 1S3，2即 a (1q) 2a 1a1(1qq 2)，21因为 a10，所以(1q) 21 qq 2，即 q0，这与公比 q0 矛盾，所以数列S n不是等比数列(2)解 当 q1 时， Snna 1，故 Sn是等差数列；当 q1 时，S n不是等差数列，否则 2S2S 1S 3，即 2a1(1q) a 1a 1(1qq 2)，得 q0，这与公比 q0 矛盾17(14 分) 请你把不等式“若 a1，a 2是正实数，则有 a 1a 2”推广到一般情形，并a21a2 a2a1证明你的结论解 推广的结论：若 a1，a2，an都是正实数，则有 a 1a 2
11、a n.a21a2 a2a3 a 2n 1an a2na1证明：a 1，a2，an都是正实数， a 22a 1； a 32a 2；a21a2 a2a3a n2a n1 ； a 12a n，a 2n 1an a2na1 a 1a 2a n.a21a2 a2a3 a 2n 1an a2na118(16 分) 已知 a，b，c 为正数，且 f(n)lg ，an bn cn3求证：2f(n) f(2 n)证明 要证 2f(n)f(2 n)只需证 2(an bn cn3 ) a2n b2n c2n3即证(a nb nc n)23(a 2nb 2nc 2n)即 2anbn2c nbn2a ncn2(a 2
12、nb 2nc 2n)a2nb 2n2a nbn，a2nc 2n2 ancn，b2nc 2n2b ncn2anbn 2cnbn2a ncn2(a 2nb 2nc 2n)原不等式成立19(16 分) 正实数数列 an中，a 11，a 25，且 a 成等差数列证明数列 an中有无穷多2n项为无理数证明 由已知有：a 124(n1)，2n从而 an ，取 n 124 2k1 ，1 24(n 1)则 an (kN*)1 242k用反证法证明这些 an都是无理数假设 an 为有理数， 则 an必为正整数，且 an24 k，1 242k故 an24 k1，a n24 k1，与(a n24 k)(an24 k)1 矛盾，所以 an (kN*)都是无理1 242k数，即数列a n中有无穷多项为无理数20(16 分) 设 a，b，c 为一个三角形的三条边， s (abc)，且 s22ab，试证：s2a.12证明 要证 s2a，由于 s22ab，所以只需证 s ，s2b即证 bs.因为 s (abc)，所以只需证 2babc，即 证 bac.12由于 a，b，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立，于是原命题成立
