1、复数中的几个结论及共应用数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.一、中点公式：A 点对应的复数为 111()abibR， B点对应的复数为222()abiR， C点为 A，两点的中点，则 C点对应的复数为1i，即 1212abi例 1 四边形 ABD是复平面内的平行四边形， AB，三点对应的复数分别为 32ii，求 点对应的复数解：由已知应用中点公式可得 AC，的中点对应的复数为 32i，所以 D点对应的复数为 2(1)35ii
2、二、根与系数的关系：若实系数方程 20()axbca的两复根为 1abi， 2i，则有12abii， 12()cii推论：若实系数方程 0()axba有两虚数根，则这两个虚数根共轭例 2 方程 2x的一个根为 1i，求实数 a， b的值解：已知实系数方程的一个根为 ，由推论知方程的另一根为 1i，由根与系数的关系可知 (1)2ai， ()2bi三、相关运算性质： z为实数 220zz， z为纯虚数 20(0)zz；对任意复数有 ； 1212zz； 12z，特别地有 2()z； 12z； 2例 3 设 ，且 zi，求证 21z为实数证明：由条件可知 0，则 ，所以 1z，12 2222()1()1zzzz，所以 2z为实数四、两则几何意义： 0z的几何意义为点 z到点 0的距离； ()r中 所对应的点为以复数 0z所对应的点为圆心，半径为 r的圆上的点例 4 若 zC，且 21zi，则 2zi的最小值为 解： 21i即 ()i， 对应的点为到点 (2)，的距离为定值 1的所有的点，即以 ()，为圆心，1 为半径的圆 O上的点 zi即 (2)zi，为圆 O上的点与点 2之间的距离减去圆 的半径，可得结果为 3
