1、第二章 导数与微分微分学中最重要的两个概念就是导数与微分。导数，从本质上看，它是一类特殊形式的极限，它是函数变化率的度量，它是刻画函数对于自变量变化的快慢程度的数学抽象。 微分，它是函数增量的线性主部， 它是函数增量的近似表示。 微分与导数密切相关， 这两个函数之间存在着等 价关系。导数与微分都有实际背景，都可以给出几何解释，因而它们都会有广泛的实际应用。它 们在解决几何问题，寻求函数的极值与最值，以及寻求方程的近似根等问题中有重要作用。要求：学生能正确地理解导数和微分的概念及几何意义与物理意义，能够熟练地导数公式与求导（微分）法则求出函数的导数和微分，；理解高阶导数的概念，能够正确地求出一些
2、函数的高阶导数。重点：导数、微分的概念，求导法则。难点：复合函数和由参数方程确定的函数的求导法则的运用。2.1 导数的概念 2 教学时2.2 导数的基本公式 2 教学时2.3 初等函数的导数 高阶导数 2 教学时2.4 隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 2 教学时2.5 函数的微分 2 教学时第二章 习题课 2 教学时来源:第一节 导数的概念要求：学生能正确地理解导数的定义及几何意义与物理意义，理解用导数的定义求某些基本初等函数的导数和方法。熟记这些函数和导数公式，掌握可导与连续的关系。重点：导数和定义。几个基本初等函数的导数公式。难点：导数的定义，用导数定义求函数的导数。来源:2 教
3、学时一、引例1、 直线运动的速度已知自由落体和运动方程为,02Ttgs试讨论落体在时刻（0t T）的速度，为此，可取一邻近于 t 的时刻 t，并求出落体由 t0 0到 t 一段时间内的平均速度，0= （*）_v )(212)( 0000 tgtgtfts 此平均速度近似地反映了落体在时刻 t 的速度，若 t 越接近于 t ，则反映越准确，若令0，则由（*）可知， ） ，这个值无限地接近于 g ,这个值最能反0t_v的 速 度在 0( 0t映落体在时刻 t 这一瞬间的快慢程度，所以称它为落体在时刻 t 的瞬时速度。0 0一般地，设一质点作直线运动，已知其运动方程为 ，若 t 为某一时刻，t 为邻
4、近 t)(fs的时刻，则00_)(tfv称为质点由 t 到 t 一段时间内的平均速度，若存在且等于 就称为运动质点在时刻 t 的瞬时速度。0)(lim0tftv则, 02、 切线问题切线的定义：设有曲线 C 及 C 上一点 M（如图）在点 M 外另取 C 上一点 N，作割线MN，当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时。如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋于极限位置MT，直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长|MN|趋于零， 也趋于零。TTyoMy=f(x)x0 N x0+xQx设曲线 C 为函数 的图形，设 M（ 是曲线上一个点，则 。)(xfy),0y)(
5、0fy根据上述切线的定义，要定出曲线 C 在点 M 处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此在 C 上于点 M 外另取一点 ，于是割线 MN 和斜率为),(N00tanxfxy其中 为割线 MN 的倾角，当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时， ，如果当0x时，上式的极限存在，设为 即0x,k0)(lim0xfkx存在，则此极限 是割线斜率的极限，也就是切线的斜率，这里 为其 中,tank切线 MT 的倾角，于是，通过点 且以 为斜率的直线 MT 便是曲线 C)(,0xfMk在点 M 处的切线。事实上， = ，可见，NT时以 及 0x时（这时|MN| ） ， 。因此直线 MT 确为曲线 C 在点
6、 M 处的0x0切线。二、导数的定义从上面讨论的两个问题看出，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下极限：（*）0)(lim0xfx这里 ，因 相当于 ，故)()(, 0xfffx 0x0上式可写成 xffxy)(limli 000或在自然科学和工程技术领域内，还有许多概念，如电流强度、角速度、线密度等等，都有可以归结为（*）的数学形式。我们撇开这些量的具体意义， 抓住它们在数量关系上的共性，就得到函数的导数的概念。定义：函数 在点 和某个邻域内有定义。当自变量 在 处取得增量 （点)(xfy0 x0x仍在该邻域内）时，相应的函数 取得增量 ；如果x0 y)(0ffy时的极限存在，则称函
7、数 在点 处可导。并称这个极之 比 当与yx )x0限为函数 在点 处的导数，记为)(f0),(0fxxyf limli00也记作 . 000|,|,| df函数 在 处可导有时也说成 在点 具有导数或导数存在。如果极限（*）不存)(xf0)(xf在，就说函数在点 处不可导。如果不可导的原因是由于 时，比式 ，为0xxy了方便起见，也往往说函数 在点 处的导数为无穷大。)(xfy0导数的定义式（*）的不同形式，常见的有 hffxf )(limli)( 000 。000 )(lili)( xfyxfx注 1：在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率
8、问题。导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述。它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等到方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画变化率 的本质：因变量增量与自变量增量之比 是因变量 为端点的区间上的平均变化xyx0和在 以率，而导数 则是因变量在点 处和变化率，它反映了因变量随自变量的变化而的)(0xf 0快慢程度。根据函数在点 处的导数 的定义,导数0)(0xfxfyxfx)(limli)( 000是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等，因此， 在点)(0xf下可导的充分必要条件是左、右极限0x及xffx)(lim00 xffx)(lim00都存在且相等。这两个极限分别称
9、为函数 在点 处的左导数、右导数，记作)(f0及 ，即)(0xf)(0fxffxf )(lim000 fffx )(li)( 000现在可以说，函数 在点 处可导充分必要条件是 和 都存)(f0x)(0xf)(0f在且相等。左导数、右导数统称为单侧导数。导函数的定义：如果函数 在开区间 内的每一点处都可导，就称函数 在开)(xfyI )(xf区间 内可导。这时，对于任一 ，都对应着 的一个确定的导数值。这样就构成I )(xf了一个新的函数，这个函数叫做原来函数 的导函数，记作 ，yy。即导函数的定义式dxfyxf)(),(或或ffxlim0。hxffxyf )(limli)(00 注意：在以上
10、两式中，虽然 可以取区间 内的任何数值，但在极限过程中 是常量，I x是变量。函数 在点 处的导数 就是导函数 在点 处的函hx或 )(f0x)(0xf )(f0数值，即 0|)(0 xff导函数 简称导数，而 是 在 处的导数或导数 在 处的值。 )(0xf(f0x)(xf02、求导数举例例 1 求函数 的导数。)()为 常 数Cxf解： 0limlim( 00 hChxfh即 )这就是说，常数的导数等于零。例 2 求函数 处的导数。axNnxf 在)()解： 1121 )(limlimli nnnax axaxff把以上结果中的 ，即(f得换 成.1)(nn更一般地，对于幂函数 )(为 常
11、 数xy有 。1)(x这是幂函数的导数公式。例 3 求函数 的导数。fsin)(解： xhxhxhfffh cos2in)cos(lim2sin)co(21limsi)si(l)(li)( 00 00 即 s)(si这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。用类似的方法，可求得 xsin)(co就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。例 4 求函数 的导数。)1,0(log)(af解： hxhxfxf ahh log)(logimlim00 ax xhxxahahahln1l 1li1llilogi 000 三、导数的几何意义导数的几何意义：函数 在点 处的导数 是曲线 的点)(fy0x)(0xf)(
12、xfy处的切线的斜率。从而曲线 上点 处切线方程为)(,0xfMy,0M);(0 xy法线方程为 。)(1000xffy四、函数的可导性与连续性的关系定理 如果函数 在点 处连续。 ，则函数 在点 处连续。)(xfy0 )(xfy0证：因 在点 处可导，所以f0，由于 所以xylim)( xy,时.0)(limlilimli 0000 xfxyxyx于是函数 在点 处连续。)(f注意：该定理的逆命题不成立，即函数 在点 处连续，但函数)(xfy0在点 处不一定可导。即函数 在点 处连续是它在该点处可导的必要)(xfy0 条件，但不是充分条件。例 5、证明：函数 处连续但不可导。0|xy在证：
13、当自变量 处有增量 时，相应地，函数 有增量在 |xy，|0| xy且 ,|limli0xx所以 处连续。但|y在 xx|lili00于是 ,1li|li00 xym|lim0 xx故极限 不存在,所以,函数 处不可导.y|y在作业:P70 T1,T2,T4,T5.第二节 导数的基本公式要求：学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则，反函数的的求导法则。重点：函数的和、差、积、商的求导法则及其运用。难点：反函 数的求导法则。一、导数的四则运算法则定理 1 设函数 在点 处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）)(,xvu也在 处可导，且x（1） ;)(v（2） ;)(uv（3） ).0(2v
14、推论 （C 为常数） 。)(u说明：定理 1 中的（1） 、 （2）可推广到有限个可导函数的情形。如设 均可导，则有)(),(,xwvxu.)(; uvw例 1 已知 求,3lnxyy解 )3(ln)( x.12x例 2 设 .2)(,2sinco4)( 3 fxff 及求例 3、设 .,lnyxy求解： .1lnl)(l)( xx例 4、设（1） 来源:.sec2,tayy求解：（1） xx2 cos)(i)(ioin)(t .ecs1csio22x（2） .sectancosio)()(e 22 xxxxy 类似地可得 .t)(cs,cot2二、反函数的求导法则定理 2 设区 间在 单调、
15、可导函数 ，且 ，则它的反函数yI)(yfx0)(yf在 单调、可导，且)(1xfyI .1.)(1)(1dyxyfxf 或，0)(xfxfyyx)(f例 5、求指数函数 （ ）的导数xay1,解 因为函数 是函数 的反函数，所以)0(logya.lnl)(log1) yayxax即 .nx例 6、求反正弦函数 的导数。xyarcsi解 是 （ ）的反函数，xyarcsi2y0oin21cossin1)(arci xyxy类似地 21)(arcsx例 7、求反函数 的导数。yrtan解 221sect)(arctnxyx类似地 .2ox三、导数的基本公式与求导法则1、导数的基本公式（1） 、
16、（2） 、;0)(C ;)(1x（3） 、 （4） 、lnax xe（5） 、 （6） 、;ln1)(logaxa;1)(lnx（7） 、 （8） 、cssi sico（9） 、 （10） 、;e)(ta2 ;c)(t2（11） 、 （12）sctnsc xx stcs xx（13） 、 （14） 、;1)(ari2 ;1)(aro2（15） 、 （16） 、;ctn2x .ct2x2、导数的四则运算法则设 可导，则)(,vxu（1） 、 ;(（2） 、 ) vv（3） 、 .2u3、反函数的求导法则设 在区间 内单调可导，且 则它的反函数 在相应的敬意)(yfxI,0)(yf )(1xfy内
17、可导，且.1)()(1dyxyff 或作业：P75 T1，T（2） 、 （3） （4） 、 （7） 、 （8） 、 （9） ，T3。第三节 初等函数的导数 高阶导数要求：学生能够掌握复合函数的导数的求导法则，了解高阶导数和高阶导数的求法。重点：复合函数求导法则的运用。难点：复合函数求导法则的运用，高阶导数的求法。一、复合函数的求导法则定理（复合函数的求导法则）如果函数 在点 处可导，函数 在点 处可)(xu)(ufy导，则复合函数函数 在点 处可导，且)(xfy. xuxdux或即：复合函数和导数等于函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数之积。例 1、 求下列函数的导数（1） ； （2）
18、 ； （3） 。2)(xyxy2sinxycosln例 2、求下列函数的导数（1） ； （2） 。)1(tan23 xearctn例 3、求函数 的导数。xyrcsi解 2121 arcsinarsinarsinx。xxx 1arcsin|21arcsin22例 4、设 ，证明幂函数的求导公式0。1)(解：因为 ，所以xxelnln)(。1ll )()( xex结论：一切初等函数的导数仍为初等函数。二、高阶导数如果函数 的导数 仍然可导，则称 的导数为二阶)(xfy)(xfy)(xfy导数，记作 ，即2“d或；dxyy2“)(或类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导数称为四阶数，一般
19、地，阶导数的导数称为 阶导数，分别记作1nn., 32)()4(“ ndxydxyy 或二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，相应地 的导数 称为一阶导数。)(xfy例 5、设 .|,ln12xxyey求例 6、求 的 n 阶导数；),0(ax例 7、求 （n 为正整数）的 n 阶导数，n+1 阶导数，并求 ， ；y 0)(|xny1)(|xn例 8、求 的 n 阶导数；xsi类似地，得 的 n 阶导数为 。ycos )2cos()(s() nxynn三、隐函数的求导法则显函数：函数的因变量 可用自变量 的一个表达式 直接表示的函数。x)(xf隐函数：因变量 与自变量 的对应关系是用个方程 来表示
20、的，这种形式表示y 0,yF的函数称为隐函数。注：有些隐函数可以化为显函数，但有些隐函数如 却很难、甚至根本不可能化,xey为显函数。例 9 求由方程 所确定的隐函数 的导数 。0exyy解：将方程两边分别对 求导，得， 。)(xye 0 xey解得 . y其中 是由方程 确定的函数。y0ex隐函数的求导方法为：（1） 将方程 两边分别对 求导，并在求导过程中视 为 的函数， 的函),(yFxyxy数为 的复合函数；x（2） 解出 ，即为所求。y例 10、求曲线 在点 处的切线方程。842x)1,(解：首先求方程所确定的函数 的导数，将方程两边分别对 求导，得yx解得 ，,02yxx4所以曲线
21、在点 处的切线的斜率为)1,(，21|4|12 yxyxk故所求切线方程为即 )(2)x.04yx作业：P79 T1（1） 、 （3） 、 （5） 、 （7） 、 （9） ；P80 T2 （1） 、 （2） 。第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定函数的导数要求：能正确地理解显函数、隐函数的概念，能掌 握隐函数的求导方法与参数方程所确定的函数的导数的求法。重点、难点：隐函数的导数，参数方程所确定的函数的导数的求法。一、隐函数的求导法则显函数：函数的因变量 可用自变量 的一个表达式 直接表示的函数。yx)(xf隐函数：因变量 与自变量 的对应关系是用个方程 来表示的，这种形式表示0,yF的函数称
22、为隐函数。注：有些隐函数可以化为显函数，但有些隐函数如 却很难、甚至根本不可能化,xey为显函数。例 1、求由方程 所确定的隐函数 的导数 。0exyy解：将方程两边分别对 求导，得， 。)(xye 0 xey解得 . yex其中 是由方程 确定的函数。y0隐函数的求导方法为：（3） 将方程 两边分别对 求导，并在求导过程中视 为 的函数， 的函),(yxFxyxy数为 的复合函数；（4） 解出 ，即为所求。x例 2、求曲线 在点 处的切线方程。842y)1,(解：首先求方程所确定的函数 的导数，将方程两边分别对 求导，得x解得 ，,0yxyx4所以曲线在点 处的切线的斜率为)1,2(，21|
23、4|12 yxyxk故所求切线方程为即 )(2)x.04yx二、对数求导法由几个初等函数能过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数、幂指函数 的)(xfy求导，在 的两边先取对数，然后利用隐函数求导法求导，可简化求导运算。)(xfy例 3、 已知 。sin),0y求解：将 两 边同时取对数，得xysi将上式两边分别对 求导，注意到 是 的函数，得lnilxyx,1silco1 xy于是 。 xxsinlcoinlsin解法二：因为 ，根据复合函数的求导法则，得xxeylnsisin xxxex xsinlcosilcosiinlnsi lilsii例 4、 求 的导数。)1(2y解：将将方程
24、两边同时取对数，得，)ln()2l(n21l xxy将上式两边分别对 求导，得,1 xy所以 .121)(212 xxx三、由参数方程所确定函数的导数若参数方程为（*）)(tyx确定了 是 的函数，则称此函数为由参数方程所确定的函数。若函数 ， 都可导，而且 ，则参数方程（*）所确定的函数的导)(tx)(t 0)(t数存在，且或 。 (*)(tdxydtxy如果 ， 还是二阶可导的,那么从(*)式又可得到函数的二阶导数公式 :)(txtdxttdxy)(2,)(1)(2 tt即 .)(3“2ttdxy例 5、已知椭圆的参数方程为求椭圆在 处的切线方程。,sin3co4ty3t解：当 时，椭圆上
25、相应的点 的坐标为t 0M又),23(,23sin,23cos4000yx 即,cot4si)(in ttdy故椭圆在点 处的切线斜率为0M.43|cot43| tdxyk于是所求的切线方程为即 2432xy .038yx例 6、以初速度 、发射角 发射炮弹（如图） ，不计空气阻力，其运动方程为0v,21sin,0gttycox求炮弹在时刻 速度的大小和方向。解：在时刻 水平方向的速度t,cos0vdtx在时刻 竖直方向的速度 ,sin0gtty因此，在时刻 炮弹速度的大小为 202 20sin)sin()co(tgtvgtvyx此时速度的方向为该点处的切线方向，设切线的倾角为 ，则.cosi
26、ntan0vgtdxy作业：P85 T1（1） （2） （4） ；T3（1） （4） ；T4（1） （2） 。第五节 函数的微分一、微分的定义：定义 设函数 在点 的邻域内有定义， 在这个邻域内，如果函数在点)(xfy0 x0处的改变量 可表示为0x )(xf),(xAy其中 A 是与 无关的常数 ， 是比 高阶的无穷小，则称函数 在点 处)(x)(xfy0是可微的，并称 为函数 在点 处相应于自变量改变量 的微分，记作xfy0即,dy.xAdy可微分与可导的关系：来源:定理 函数 在点 处可微的充分必要条件是函数 在点 处可导，且当)(xfy0 )(xfy0函数 在点 处 可微时， .)(0
27、xfdy证：若可微， ， )(xAyA)(Axf)(0若可导， ， ，lim00fx 0fy可导 可微 连续 极限存在。函数 在任意点 的微分，称为函数的微分，记作 ，即)(fy )(xdf或。xfdy)(例 1、 求函数 时的微分。02.,3当解：先求函数在任意点 的微分x.)(23xdy再求函数 时的微分，来源:0.,2x当 .4| 2.0. xxy通常把自变量 的增量 称为自变量的微分，记作 ，即 于是函数)(xfy,xd的微分又可记作)(fy.)(dxfy从而有 。这就是说，函数的微分 之商等于该函数的导)(xfd dxdy与 自 变 量 的 微 分数。因此，导数也叫做“微商”。微分的
28、几何意义：对于可微函数 而言，当 是曲线 上的点的纵坐标的)(xfy)(fy增量时， 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。当 很小时，dy |x小得多。因此在点 的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段|x比 ),(0yxM（即以直代曲） 。二、微分的运算法则1、微分基本公式（1） 、 （2） 、0)(Cd ;)(1dxxd（3） 、 （4） 、;lnadxx e（5） 、 （6） 、l)(loga ;)(lnx（7） 、 （8） 、;cssixd ;sicodd（9） 、 （10） 、e)(tan2d c)(t2x（11） 、 （12）;sctscxx ;stcsx（13） 、 （14） 、;
29、1)(arcsin2xdd ;1)(arcos2xdd（15） 、 （16） 、;t2 .t22、函数的和、差、积、商的微分法则设 可导，则)(,xvu（1） 、 ;dd（2） 、 )(vu（3、 ） )(;为 常 数C（4） 、 .2vdud3、复合函数的微分法则：设 都可导，则复合函数 的微)()(xufy及 )(xfy分，dxufdxy)( 由于 所以复合函数 的微分也可以写成,)()(fy.)(fy由此可见，无论 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式 保持不变。u dufy)(这一性质称为微分形式的不变性。例 2、 求函数 的微分)1ln(xey.dy解： .1)(l dxedx
30、xx 例 3、填空：（1） ；(2) ；(3) ；(4) xd)( xd2)(2)(x)0(cos)(tdd解：（1） ；（其中 C 为任意常数）C2（2） （其中 C 为任意常数）xdxd)(（3） （其中 C 为任意常数）2)1(xd（4） （其中 C 为任意常数）.)0(cos)sintd三、微分在近似计算中的应用 ydxfdy xxff )( )()()(000，ff)(00xxxf )(0令 ， ，则有0)()(0xfxff特别地，当 ， 很小时，有0x 常用的近似计算公式（ 很小时）：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）xnn1xsi xtanxex1。x)l(例 4、证
31、明如下一次近似式：（1） ；（2） ；xex1x)1l(证：（1）令 ， ，当 x=0 时，f (0)=1,f(0)=1，xef)(f)(由 ，即 ；xf0)(xe（2）令 ， ，当 x=0 时，f(0)=0,f(0)=1，)1ln(xxf1(由 ，即 。fxf)( )x)ln(作业：P93 T1； T2（1） （5） （6） （7） 。第二章 习题课主要内容：1、 导数的定义、微分的定义；2、 两函数的和、差、积、商的求导法则与微分法则；3、 复合函数的求导法则、复合函数的微分法则。4、 反函数的求导法则、隐函数的求导法则、参数方程所确定的函数的求导法则；5、 微分在近似计算中的应用。w。w-w*k&s%5￥w。w-w*k&s%5￥u
