1、第三章 不 等 式本章概述课程目标1.双基目标（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）会比较两个实数的大小，理解不等式的基本性质.（3）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.（4）通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.（5）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.（6）探索并了解基本不等式的证明过程.（7）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（8）从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（9）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（10）从实际情境中抽象
2、出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2.情感目标（1）注重突出不等式的现实背景和实际应用，突出数学的应用价值，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的应用意识与解决实际问题的能力.（2）本章注意体现数学文化价值的渗透，让学生了解数学是人类文化的重要组成部分. （3）借助于信息技术去探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动.重点难点重点：不等式的解法及应用，基本不等式的应用，线性规划问题.难点：解决线性规划问题和利用基本不等式解决实际问题.方法探究不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型.学习本章应注重数形结合，学会通过函数图像理解一元二次不等式
3、与一元二次方程、二次函数的联系，并能解释二元一次不等式和基本不等式的几何意义.在此基础上，体会不等式在解决实际问题中的作用，进一步提高解决实际问题的能力.学习本章应注意的问题（1）要注意与一元一次不等式，一元二次不等式、整式方程、函数、三角等知识的联系，以便对不等式的知识有一个全面、完整的了解与认识.（2）要注意体会二元一次不等式（组）与平面区域的关系，借助几何直观解决简单的线性规划问题.（3）注意对不等式 (a0,b0)和 a2+b22 ab(aR, bR)的理解、记忆，ab2正确、灵活地使用其解决问题，尤其是在正确的使用上下功夫.（4）本章重点内容是证明不等式和不等式的解法以及简单的线性规
4、划.证明不等式没有固定的模式可以套用，它的方法灵活多变、技巧性强、综合性强，不等式的解法重点是一元二次不等式（组）的解法，注意数轴穿根法.（5）线性规划知识也是重点内容，在近几年高考中也有明显的体现，应引起同学们的注意.1 等 关 系知能目标解读1.通过具体的情境，感受现实生活中存在的大量不等关系，并了解不等式（组）的实际背景.2.能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小，并掌握不等关系的传递性和不等式的基本性质.重点难点点拨重点：比较两数（或式）的大小，理解不等式的性质及其证明，并能说出每一步推理的理由.难点：对不等式性质的准确把握以及严密的逻辑推理证明能力的培养.学习方法指导一、不等关系
5、1.不等式：我们用数学符号“” 、 “”、 “” 、 “b 或 a=b，同样也是只需满足其中一条，不等式就成立.对于实数来讲，只存在 a=b 或 ab 或 a”、 “b”、 “ab；如果 a-b 是负数，那么 a0 ab;a-b=0 a=b;a-bb,ab bb,bc ac.(3)ab a+cb+c.推论 ab,cd a+cb+d.(4)ab,c0 acbc;ab,cb0,cd0 acbd;推论 2 ab,ab0 b0 anbn(nN ,且 n1).(5)ab0 (nN ,且 n1).2.关于不等式性质的式子的理解（1）说明了不等式的对称性；（2）说明了不等式的传递性；（3）表示同向不等式具有
6、可加性，它是不等式移项的基础；（4）表明不等式两边允许用非零数（式）乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号.知能自主梳理1.不等式的定义用 表示不等关系的式子叫不等式.2.比较实数大小的依据设 a,bR，则 a-b0 ; a-b=0 ; a-bb,bc ;(2) ab,c0 ;(3)ab,cb,cd ;(5)ab0,cd0 ;(6) ab0,nN +,n1 .答案 1.不等号 2. ab a=b ac (2) acbc (3) acb+d (5) acbd (6)a nbn, anb思路方法技巧命题方向 比较大小例 1 已知 x0,( x-1)（ x- ） 2 Q,求实数 a,b 应满足的条
7、件. 解析 P-Q a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1) 2+(a+2) 2 PQ,( ab-1) 2+(a+2) 20 ab1 或 a-2.故实数 a、 b 应满足的条件是 ab1 或 a-2.命题方向 应用不等式（组）表示不等关系例 2 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，此时可以售出 8 万本，据市场调查，若单价每本提高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2000 本，若把提价后的杂志的定价设为 x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？分析 利用提价后的价格 x 表示出销售总收入，再将题中所要求的不等关系用不等式表示.解析 杂志的定价为 x 元，则销售的总
8、收入为（8- 0.2） x 万元，2.05x那么不等关系“销售的总收入不低于 20 万元”可以用不等式表示为（8-0.2） x20.说明 决此类问题的关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件找到不等关系，然后用不等式表示即可.变式应用 2 咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为 9g,4g,3g,乙种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为 4g，5g，10g，已知每天可用原料为奶粉 3600g，咖啡 2000g，糖 3000g.写出每天配制的两种饮料的杯数所满足的不等式组.解析 每天应配制甲种饮料 x 杯，乙种饮料 y 杯，则 x、 y 应满足如下条件：（1）奶粉的总使用量不大于 36
9、00g；（2）咖啡的总使用量不大于 2000g；（3）糖的总使用量不大于 3000g；（4） x,y 为自然数. x,y 满足不等式组：9x+4y3600,4x+5y2000,3x+10y3000,xN,yN.命题方向 不等式性质的简单应用例 3 对于实数 a、 b、 c，有下列命题若 a b,则 ac bc;若 ac2bc2,则 ab;若 aabb2;若 cab0;则 ;cb若 ab, ,则 a0,bbc2知 c0,所以 c20,所以 ab,故该命题是真命题.aab, abb2.所以 a2abb2故该命题为真命题.ab -aa,所以 c-a0.所以 0 0.c1abc1又因为 ab0,所以
10、.故该命题为真命题. ab a-b0, .因为 a-b0,所以 b-ab,所以 a0,b0 ab（ ）ba（2） ab 且 cd acbd（ ）（3） ab0 且 cd0 （ ）cba（4） ab（ ）2cba答案 解析 （1） 当 a0 时，此式成立，推不出 ab，(1)错；（2）当 a=3,b=1,c=-2,d=-3 时，命题显然不成立，（2）错；ab0（3） cd0 0 成立.(3)对；dacbcb（4）显然 c20,两边同乘以 c2,得 ab.(4)对.探索延拓创新命题方向 应用不等式的性质讨论范围例 4 已知：- 2x(xR); a3+b3 a2b+ab2(a,bR); a2+b22
11、（ a-b-1）中正确的个数为（ ）A. 0 B. 1C. 2 D. 3答案 C解析 对于， x2+3-2x=(x-1) 2+20 恒成立，对于， a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b) 2(a+b), a、 bR,( a-b) 20，而 a+b0,或 a+b=0,或 a+baxa2C. x2a2ax答案 Bx a0 x2 ax解析 x0 x2 ax a2.a0 ax a23.若 xy 与 同时成立，则（ ）x1yA. x0,y0 B. x0,y0 D. x ，需满足 xy0.又 x y， x0, y0.1二、填空题4.已知 x1， f
12、(x)=3x3,g(x)=3x2-x+1,则 f(x)与 g(x)的大小关系是 f(x) g(x).答案 解析 f(x)-g(x)=3x3-(3x2-x+1) =(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1), x1 得 x-10，而 3x2+10,(3 x2+1)(x-1)0，3 x33 x2-x+1. f(x) g(x).5.已知 60b).若保持原面积不变，则规划后的正方形布局的面积为 ab;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为 2(a+b)，所以其边长为 ,其面积为（ ） 2.因为 ab-（ ） 22bababa=ab- (ab),所以
13、abQ B. P0,-a2(a2+1)0，43 0，12 P Q.3.(2011陕西文，3)设 00,即 a,故选 B.bab本题也可通过特殊值法解决，如取 a=1,b=4,易知选 B.4.若 a、 b 是任意实数，且 ab,则（ ）A.a2b2 B. 0 D.( )ab 并不保证 a、 b 均为正数，从而不能保证 A、B 成立.又 ab a-b0,但不能保证 a-b1,从而不能保证 C 成立，显然只有 D 成立.事实上，指数函数 y=( )x在 xR 上21是减函数，所以 ab ( )a0C.ab| b|,排除 D，故选 A.6.已知 a2+aa-a2-a B.-aa2-a2aC.-aa2a
14、-a2 D.a2-aa-a2答案 B解析 特殊值法： a2+a0; ; bcad.以其中两个作条件，余下一个为结论，写bc出两个能成立的不等式命题 .若成立，则成立 ；若成立则成立， .若成立即 bc ad,若成立，则 ， .abdcc10.如果 ab，那么下列不等式： a3b3; ;13 a3b;lg algb.其中恒成立的是 .答案 解析 a3-b3=(a-b)(a2+b2+ab)=(a-b)( a+ )2+ b20;4 y=3x是增函数， ab，3 a3b当 a0,b60),由 2(x-60)+80120,得 x80,某用户每月上网时间在 80 小时以内，选择乙方案比较合适.14.(1)
15、已知 ab,ef,c0.求证： f-ac0.求证： .badc解析 (1) ab,c0, acbc, -ac0, ,badc +1 +1, .c15.已知 a、 b 为正实数，试比较 与 + 的大小.ab解析 解法一：（ ）（ + ） （ ）-a ba（ ）=abab= = .bb2 a、 b 为正实数， + 0, 0,( - )20.a 0，当且仅当 a=b 时，等号成立.ab2 + ，当且仅当 a=b 时取等号.解法二：（ ） 2 ,abab2( + )2=a+b+2 ,a（ ） 2-( + )2= -(a+b+2 )babab2= ba3 ab22= .ba2 a、 b 为正实数， 0，2（ ） 2( + )2.abb又 0， + 0，b + ，当且仅当 a=b 时取等号. ab16.已知 0a+b ,- a-b ,求 2a 和 3a- 的取值范围.2b解析0a+b- a-b ,23两式相加得- 2a .265设 3a- =m(a+b)+n(a-b) =a(m+n)+b(m-n),则有bm+n=3m-n=- ,1解得 m= ,n= .3453 a- = (a+b)+ (a-b).b0 (a+b) 2- (a-b) ,65395两式相加，得- 3a- .b1故 2a(- , ),3a- (- , ).69
