1、42 导数在实际问题中的应用目标认知学习目标：1. 会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次. 2. 了解函数在某点 取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号 )和充分条件（ ） ；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次.3会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次.重点： 利用导数判断函数单调性；函数极值与最值的区别与联系.会求一些函数的(极 )最大值与 (极)最小值难点： 利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.知识要点梳理知识点一：函数的单调性(一) 导数的符号与函数的单调
2、性：一般地，设函数 在某个区间内有导数，则在这个区间上，若，则 在这个区间上为增函数；若 ，则 在这个区间上为减函数；若恒有 ，则 在这一区间上为常函数.反之，若 在某区间上单调递增，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于 0） ；若 在某区间上单调递减，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于 0） 注意：1. 若在某区间上有有限个点使 ，在其余点恒有 ，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）.即在区间(a,b)内， （或）是 在(a ，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而 f(x)在 R 上递增.2. 学生易误认为只要有点使 ，则 f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函
3、数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数 在这个区间上才为常数函数.3. 要关注导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1. 确定函数 的定义域； 2. 求导数 ；3. 在定义域内解不等式 ，解出相应的 x 的范围；当 时， 在相应区间上为增函数； 当 时 在相应区间上为减函数.4. 写出 的单调区间.知识点二：函数的极值（一）函数的极值的定义 一般地，设函数 在点 及其附近有定义，（1）若对于 附近的所有点，都有 ，则 是函数 的一个极大值，记作 ；（2）若对 附近的所有点，都有 ，则 是函数 的一个极小值，记作 .极大值与极小值统称极值. 在定义中，
4、取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.注意：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数 y=f(x)在 x=x0 及其附近有定义，否则无从比较.（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而
5、使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（5）可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立.即是可导函数 在点 取得极值的必要非充分条件.在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平 的，从而有 .但反过来不一定.如函数 y=x3，在 x=0 处，曲线的切线是水平的，但这点不是函数的极值点.（二）求函数极值的的基本步骤：确定函数的定义域； 求导数 ； 求方程 的根；检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右 正，则 f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)知识点三：函数的最大值与最小值（一） 函数
6、的最大值与最小值定理若函数 在闭区间 上连续，则 在 上必有最大值和最小值；在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值.如 .（二）求函数最值的的基本步骤：若函数 在闭区间 有定义，在开区间 内有导数，则求函数在 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数 在 内的导数 （2）求 在 内的极值；（3）求 在闭区间端点处的函数值 ， ；（4）将 的各极值与 ， 比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值.（三）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（1）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（2）探
7、求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；（3）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点 满足 ，并且 在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值.规律方法指导（1）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域 D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域 D.若由不等式 确定的 x 的取值集合为 A，由 确定的 x 的取值范围为 B，则应有 .如：.（2）最值与极值的区别与联系：函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性） ，是整个定义域上的整体性概念，最大值
8、是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性） ，是局部的概念；极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.若 在开区间 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.典型例题 例 1设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，并求其单调区间。 解析：f(x)=3a
9、x 2+1，若 a0, f(x)0，对 xR 恒成立，此时 f(x)只有一个单调区间，矛盾。 若 a0， f(x)= ,此时 f(x)恰有三个单调区间。 a0 且单调减区间为 ，单调增区间为。 例 2求函数 y=2ex+e-x 的极值。 解析：y=2e x-e-x，令 y=0, 即 2e2x=1, 列表： x y - 0 + y 极小值 y 极小 。例 3求函数 f(x)=3x-x3 在闭区间 的最大值和最小值。 解析：f(x)=3-3x 2, 令 f(x)=0，则 x1=-1，x 2=1。 则 f(-1)=-2, f(1)=2，又, f(x) max=2, f(x)min=-18。例 4如右
10、图所示，在二次函数 f(x)=4x-x2 的图象与 x 轴所围成图形中有个内接矩形 ABCD，求这个矩形面积的最大值。 解析：设点 B 的坐标为(x,0)且 0x2, f(x)=4x-x 2 图象的对称轴为 x=2, 点 C 的坐标为(4-x,0), |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2。 矩形面积为 y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3 y=16-24x+6x 2=2(3x2-12x+8) 令 y=0，解得 ， 0x2, 取 。 极值点只有一个，当 时，矩形面积的最大值 。 例 5一艘渔艇停泊在距岸 9km 处，今需派人送信给距渔艇 km 处的海岸渔站，如果送信人步行每小时 5km，船速每小时 4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？ 解析：如图示设 A 点为渔艇处，BC 为海岸线，C 为渔站，且 AB=9km, 设 D 为海岸线上一点，CD=x，只需将时间 T 表示为 x 的函数， ， 由 A 到 C 的时间 T，则（0x15 ）（0x15 ） 令 T=0，解得 x=3，在 x=3 附近，T由负到正， 因此在 x=3 处取得最小值，又 ，比较可知 T(3)最小。
