1、2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定【课时目标】 1掌握直线与平面垂直的定义2掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直3知道斜线在平面上的射影的概念，斜线与平面所成角的概念1直线与平面垂直(1)定义：如果直线 l 与平面 内的_直线都_，就说直线 l与平面 互相垂直，记作_直线 l 叫做平面 的_，平面 叫做直线 l的_(2)判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的_都垂直，则该直线与此平面垂直符号表述：Error! l 2直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的_所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角如图所示，_就是斜
2、线 AP 与平面 所成的角(2)当直线 AP 与平面垂直时，它们所成的角的度数是 90；当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角的度数是_；线面角 的范围：_一、选择题1下列命题中正确的个数是( )如果直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，则 l ；如果直线 l 与平面 内的一条直线垂直，则 l ；如果直线 l 不垂直于 ，则 内没有与 l 垂直的直线；如果直线 l 不垂直于 ，则 内也可以有无数条直线与 l 垂直A0 B1 C2 D32直线 a直线 b， b平面 ，则 a 与 的关系是( )A a B a C a D a 或 a 3空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两对角线 AC、
3、BD 的关系是( )A垂直且相交 B相交但不一定垂直C垂直但不相交 D不垂直也不相交4如图所示，定点 A 和 B 都在平面 内，定点 P ， PB ， C 是平面 内异于A 和 B 的动点，且 PC AC，则 ABC 为( )A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定5如图所示， PA平面 ABC， ABC 中 BC AC，则图中直角三角形的个数为( )A4 B3 C2 D16从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为 A， B， C，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题： ABC 是正三角形；垂足是 ABC 的内心；垂足是 ABC 的外心；垂足是 ABC 的垂心其中正确命题的个数
4、是( )A1 B2 C3 D4二、填空题7在正方体 ABCD A1B1C1D1中，(1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角是_；(2)直线 A1B 与平面 ABC1D1所成的角是_；(3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角是_8在直三棱柱 ABCA1B1C1中， BC CC1，当底面 A1B1C1满足条件_时，有AB1 BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)9如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M、 N 分别是棱 AA1和 AB 上的点，若 B1MN 是直角，则 C1MN_三、解答题10如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，
5、 E、 F 分别是棱 B1C1、 B1B 的中点求证： CF平面 EAB11如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 垂直于底面， E、 F分别是 AB， PC 的中点， PA AD求证：(1) CD PD；(2)EF平面 PCD能力提升12如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， P 为 DD1的中点， O 为 ABCD 的中心，求证B1O平面 PAC13如图所示， ABC 中， ABC90， SA平面 ABC，过点 A 向 SC 和 SB 引垂线，垂足分别是 P、 Q，求证：(1) AQ平面 SBC；(2)PQ SC1运用化归思想，将直线与平面垂直的
6、判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直即“线线垂直线面垂直 ”2直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义(2)利用线面垂直的判定定理(3)利用下面两个结论：若 a b， a ，则 b ；若 ， a ，则 a 3线线垂直的判定方法(1)异面直线所成的角是 90(2)线面垂直，则线线垂直23 直线、平面垂直的判定及其性质231 直线与平面垂直的判定答案知识梳理1(1)任意一条 垂直 l 垂线 垂面(2)两条相交直线 a b abA2(1)射影 锐角 PAO(2)0 0，90作业设计1B 只有正确2D3C 取 BD 中点 O，连接 AO，CO，则 BDAO，
7、BDCO，BD面 AOC，BDAC，又 BD、AC 异面，选 C4B 易证 AC面 PBC，所以 ACBC5A Error!Error!BC平面 PACBCPC，直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC6 A PO面 ABC则由已知可得，PAO、PBO、PCO 全等，OAOBOC，O 为ABC 外心只有正确7(1)45 (2)30 (3)90解析 (1)由线面角定义知A 1BA 为 A1B 与平面 ABCD 所成的角，A 1BA45(2)连接 A1D、AD 1，交点为 O，则易证 A1D面 ABC1D1，所以 A1B 在面 ABC1D1内的射影为 OB，A 1B 与面 ABC1D1所成的角为
8、A 1BO，A 1O A1B，12A 1BO30(3)A 1BAB 1，A 1BB 1C1，A 1B面 AB1C1D，即 A1B 与面 AB1C1D 所成的角为 908A 1C1B190解析 如图所示，连接 B1C，由 BCCC 1，可得 BC1B 1C，因此，要证 AB1BC 1，则只要证明 BC1平面 AB1C，即只要证 ACBC 1即可，由直三棱柱可知，只要证 ACBC 即可因为 A1C1AC，B 1C1BC，故只要证 A1C1B 1C1即可(或者能推出 A1C1B 1C1的条件，如A 1C1B190等)990解析 B 1C1面 ABB1A1，B 1C1MN又MNB 1M，MN面 C1B
9、1M，MNC 1MC 1MN9010证明 在平面 B1BCC1中，E、F 分别是 B1C1、B 1B 的中点，BB 1ECBF，B 1BEBCF，BCFEBC90，CFBE，又 AB平面 B1BCC1，CF平面 B1BCC1，ABCF，ABBEB，CF平面 EAB11证明 (1)PA底面 ABCD，CDPA又矩形 ABCD 中，CDAD，且 ADPAA，CD平面 PAD，CDPD(2)取 PD 的中点 G，连接 AG，FG又G、F 分别是 PD，PC 的中点，GF 綊 CD，GF 綊 AE，12四边形 AEFG 是平行四边形，AGEFPAAD，G 是 PD 的中点，AGPD，EFPD，CD平面
10、 PAD，AG平面 PADCDAGEFCDPDCDD，EF平面 PCD12证明 连接 AB1，CB 1，设 AB1AB 1CB 1 ，2AOCO，B 1OAC连接 PB1OB OB 2BB ，21 2132PB PD B 1D ，21 21 2194OP2PD 2DO 2 ，34OB OP 2PB B 1OPO，21 21又POACO，B 1O平面 PAC13证明 (1)SA平面 ABC，BC平面 ABC，SABC又BCAB，SAABA，BC平面 SAB又AQ平面 SAB，BCAQ又AQSB，BCSBB，AQ平面 SBC(2)AQ平面 SBC，SC平面 SBC，AQSC又APSC，AQAPA，SC平面 APQPQ平面 APQ，PQSC
