1、 等比数列的综合应用A组 基础巩固1已知等比数列的公比为 2，且前 5项和为 1，那么前 10项和等于( )A31 B33C35 D37解析：根据等比数列性质得 q5，S10 S5S5 2 5， S1033.S10 11答案：B2在等比数列 an中， S41， S83，则 a17 a18 a19 a20的值是( )A14 B16C18 D20解析： S41， S83. S8 S42， S4， S8 S4， S12 S8， S16 S12， S20 S16，成等比数列，且公比为 2， a17 a18 a19 a20 S20 S1612 416.答案：B3如果一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和
2、是奇数项和的 2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为 96，则此等比数列的项数为( )A12 B10C8 D6解析：设等比数列为 an，其项数为 2n，公比为 q，则 a11， an an1 96.S 偶 ， S 奇 .a2 1 q2n1 q2 a1 1 q2n1 q2由 S 偶 2 S 奇 ，得 a22 a12. q2.由 an an1 96，得 2n1 2 n96.32 n1 96，即 2n1 32， n6,2 n12.答案：A4在等比数列中，已知 a1a a15243，则 的值为( )38a39a11A3 B9C27 D81解析： a1a15 a ，28 a 2433 5， a83，58
3、 a9a7 a 9.a39a11 a9a7a11a11 28答案：B51 的值为 ( )(112) (1 12 14) (1 12 14 1210)A18 B20129 1210C22 D181211 1210解析：该数列的通项为 an1 2 ，可以看作 11项求和，则12 14 12n 1 (1 12n)前 11项的和为 S112 2 2 2112 20 ，(112) (1 122) (1 1211)12(1 1211)1 12 1210所以 B正确答案：B6已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 an SnSn1 (n2)， a1 ，则 a10等于( )29A. B.49 47C. D.4
4、63 563解析：由 an SnSn1 (n2)，得 Sn Sn1 SnSn1 (n2)， 1， n1 n，1Sn 1Sn 1 1Sn 92 112 Sn ，211 2n a10 S10 S9 .211 20 211 18 463答案：C7设等差数列 an的前 n项和为 Sn，则 S4， S8 S4， S12 S8， S16 S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列 bn的前 n项积为 Tn，则 T4，_，_，成等比数列T16T12解析：对于等比数列，通过类比，若等比数列 bn的前 n项积为 Tn，则 T4， ， ，T8T4T12T8成等比数列T16T12答案： T8T4 T12T88在等比
5、数列 an中， a13， a481，若数列 bn满足 bnlog 3an，则数列的前 n项和 Sn_.1bnbn 1解析： a13， a481，3 q381， q3， an33 n1 3 n， bnlog 33n n， ，1bnbn 1 1n n 1 Sn 1b1b2 1b2b3 1b3b4 1bn 1bn 1bnbn 1 112 123 134 1 n 1 n 1n n 1 (1 12) (12 13) (13 14) ( 1n 1 1n) 1 .(1n 1n 1) 1n 1 nn 1答案：nn 19已知等差数列 an满足 a20，. a6 a810.(1)求数列 an的通项公式；(2)求数
6、列 的前 n项和an2n 1解：(1)设等差数列 an的公差为 d，由已知条件，得Error!解得Error!故数列 an的通项公式为 an2 n.(2)设数列 的前 n项和为 Sn，an2n 1即 Sn a1 .a22 an2n 1故 S11， .Sn2 a12 a24 an2n所以，当 n1时， a1 Sn2 a2 a12 an an 12n 1 an2n1 (12 14 12n 1) 2 n2n1 .(112n 1) 2 n2n n2n所以 Sn .当 n1 时， S1符合此式n2n 1综上，数列 的前 n项和 Sn .an2n 1 n2n 110已知数列 an的前 n项和为 Sn，且
7、Sn2 n2 n， nN *，数列 bn满足an4log 2bn3， nN *.(1)求 an， bn；(2)求数列 anbn的前 n项和 Tn.解：(1)由 Sn2 n2 n，得当 n1 时， a1 S13；当 n2 时， an Sn Sn1 4 n1，当 n1 时也适合，所以 an4 n1， nN *.由 4n1 an4log 2bn3，得 bn2 n1 ， nN *.(2)由(1)知 anbn(4 n1)2 n1 ， nN *，所以 Tn372112 2(4 n1)2 n1 ，2Tn3272 2(4 n5)2 n1 (4 n1)2 n，所以 2Tn Tn(4 n1)2 n34(22 22
8、 n1 )(4 n5)2 n5.故 Tn(4 n5)2 n5， nN *.B组 能力提升11设等比数列 an的前 n项和为 Sn，若 8a2 a50，则下列式子中数值不能确定的是( )A. B.a5a3 S5S3C. D.an 1an Sn 1Sn解析：设等比数列 an的公比为 q，则 8a1q a1q40，得 q2， q24； q2； ；而 ，由于 n未知，a5a3 an 1an S5S3 1 q51 q3 113 Sn 1Sn 1 qn 11 qn故无法确定其值答案：D12等比数列 an的前 n项和为 Sn，公比不为 1.若 a11，且对任意的 nN *都有an2 an1 2 an0，则
9、S5_.解析：由 an2 an1 2 an0，得 anq2 anq2 an0，显然 an0，所以 q2 q20.又 q1，解得 q2.又 a11，所以 S5 11.11 2 51 2答案：1113设数列 an的前 n项和为 Sn2 n2，数列 bn为等比数列，且 a1 b1， b2(a2 a1) b1.(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)设 cn ，求数列 cn的前 n项和 Tn.anbn解：(1)当 n1 时， a1 S12；当 n2 时， an Sn Sn1 2 n22( n1) 24 n2，故 an的通项公式为 an4 n2，即 an是 a12，公差 d4 的等差数列设 bn的公
10、比为 q，则 b1qd b1， q .故 bn b1qn1 2 .14 14n 1即 bn的通项公式为 bn .24n 1(2) cn (2 n1)4 n1 ，anbn 4n 224n 1 Tn c1 c2 cn134 154 2(2 n1)4 n1 ，4Tn1434 254 3(2 n3)4 n1 (2 n1)4 n.两式相减，得 3Tn12(4 14 24 34 n1 )(2 n1)4 n (6n5)4 n5，13 Tn (6n5)4 n51914将各项均为正数的数列 an中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成数表，如下表记表中各行的第一个数 a1， a2， a4， a7，构成的数列为
11、 bn，各行的最后一个数a1， a3， a6， a10，构成的数列为 cn，第 n行所有数的和为 sn(n1,2,3,4，)已知数列 bn是公差为 d的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数 q，且 a1 a131， a31 .53a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10 (1)求数列 cn， sn的通项公式；(2)记 dn (nN *)，求证： d1 d2 d3 dn .2n 1sn cn 2n 1sn 1 4n3 29解析：(1)由题意得 bn dn d1.前 n行共有 123 n 个数n n 1213 3， a13 b5q2，即
12、(4 d1) q21.452又31 3， a31 b8q2，782即(7 d1) q2 ，解得 d2， q ，53 13 bn2 n1， cn bn n1 ，(13) 2n 13n 1sn (2n1) . 2n 1 (1 13n)1 13 32 3n 13n(2)证明： dn 2n 1sn cn 2n 1sn 1 2n 132 2n 1 3n 13n 23n2n 132 2n 1 3n 1 13n 1 23 3n3n 1 3n 13n 1 1 232 13n 1 1 13n 1 .232 2 3n 1 3n 1 1 3n 1 又 232n 2(132 133 13n 1) .4n3 29 23n 24n3 29
