1、第一章测试(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(51050 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1数列3,7，11,15的通项公式可能是( )A an4 n7 B an(1) n(4n1)C an(1) n(4n1)D an(1) n1 (4n1)解析 逐个检验答案 C2已知 an为等差数列， a2 a812，则 a5等于( )A4 B5 C6 D7解析 a2 a82 a5.答案 C3已知 an是等差数列， a1010，其中前 10 项和 S1070，则其公差 d 等于( )A B23 13C. D.13 23解析 S101010 d70，得 d .1092 2
2、3答案 D4已知在等比数列 an中， a1 a310， a4 a6 ，则等比数列 an的公比 q 的值为( )54A. B.14 12C2 D8解析 由 q3 ，得 q .a4 a6a1 a3 5410 18 12答案 B5已知等差数列共有 11 项，其中奇数项之和为 30，偶数项之和为 15，则 a6为( )A5 B30C15 D21解析 S 奇 S 偶 a615.答案 C6设数列 an的前 n 项和 Sn n2，则 a8的值为( )A15 B16C49 D64解析 a8 S8 S7644915.答案 A7设 Sn为等比数列 an的前 n 项和，8 a2 a50，则 ( )S5S2A11 B
3、5C8 D11解析 由 8a2 a50，设公比为 q，将该式转化为 8a2 a2q30，解得 q2，带入所求式可知答案为 D.答案 D8已知等比数列 an的公比 q0，若 a21， an2 an1 2 an，则数列 an的前 2010项的和等于( )A2010 B1C1 D0解析 由 an2 an1 2 an，得 q2 q20，得 q2 或 q1.又 q0， q1.又 a21， a11， S20100.答案 D9两等差数列 an和 bn的前 n 项和分别是 Sn、 Tn，已知 ，则 ( )SnTn 7nn 3 a5b5A7 B.23C. D.278 214解析 .a5b5 S9T9 6312
4、214答案 D10将数列3 n1 按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，则第 100 组中的第 1 个数是( )A3 4950 B3 5000C3 5010 D3 5050解析 前 99 组中共有 4950 个数，故第 100 组中的第一个数为 34950. 1 99 992答案 A二、填空题(5525 分)11设等比数列 an的公比 q ，前 n 项和 Sn，则 _.12 S4a4解析 S48 a44 a42 a4 a4， 15.S4a4答案 1512已知数列 xn满足：lg xn1 1lg xn(nN )，且 x1 x2 x1001，则lg
5、(x101 x102 x200)_.解析 由 lgxn1 1lg xn，得 10，xn 1xn数列 xn为等比数列，公比为 10.故 x101 x102 x20010 100(x1 x2 x100)10 100.lg( x101 x102 x200)lg10 100100.答案 10013已知等差数列 an的公差 d0，它的第 1,5,17 项顺次成等比数列，则所成等比数列的公比为_解析 由 a a1a17，得25(a14 d)2 a1(a116 d)，即 a12 d. a5 a14 d6 d， q 3.a5a1答案 314在数列 an中， an4 n ， a1 a2 an an2 bn， n
6、N ，其中， a、 b 为常52数，则 ab_.解析 Sn 2 n2 ，(32 4n 52)n2 4n 1 n2 n2 a2， b ， ab1.12答案 115已知数列 an的前 n 项和 Sn n29 n，则其通项 an_，若它的第 k 项满足 5ak8，则 k_.解析 由 Sn n29 n，当 n1 时， a18，当 n2 时， an Sn Sn1 2 n10，又n1 时 2n108，故 an2 n10.由 5ak8，得 k9，又 kZ， k8.152答案 2 n10 8三、解答题(共 75 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(12 分)在等差数列 an中， a410，
7、 a3， a6， a10成等比数列，求数列 an前 20 项的和 S20.解 设等差数列 an的公差为 d，则 a3 a4 d10 d， a6 a42 d102 d， a10 a46 d106 d. a3， a6， a10成等比数列， a a3a10.26即(102 d)2(10 d)(106 d)，得 d0 或 d1.当 d0 时， a1 a43 d10， S20200；当 d1 时， a1 a43 d7， S2020 a1 d330.2019217(12 分)等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S1， S3， S2成等差数列(1)求 an的公比 q；(2)若 a1 a33，求 Sn
8、.解 (1)由题意得， a1 a1 a1q2( a1 a1q a1q2)，又 a10，故 2q2 q0，又q0， q .12(2)由已知可得， a1 a1 23，故 a14.(12) Sn .41 ( 12)n1 ( 12) 831 ( 12)n18(12 分)设等差数列 an满足 a35， a109.(1)求 an的通项公式；(2)求 an的前 n 项和 Sn及使得 Sn最大的序号 n 的值解 (1)由已知 a35， a109 得，Error! 得Error! an a1( n1) d112 n.(2)由(1)知， Sn na1 d10 n n2( n5) 225.n n 12当 n5 时，
9、 Sn取得最大值19(13 分)已知数列 an为等差数列， bn3 an.(1)求证数列 bn为等比数列；(2)若 a8 a13 m，求 b1b2b3b20；(3)若 b3b53 9， a4 a63，求 b1b2b3bn的最大值解 (1)证明略(2) b1b2b3b203 a13a23a203 a1 a2 a20，又 a8 a13 m， b1b2b3b203 10m.(3)设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d由Error! 得Error!即Error! 得Error! Sn a1 an n215 n.32当 n5 时， Sn有最大值 ，752b1b2bn3 a1 a2 an3 Sn.当
10、n5 时， b1b2bn有最大值 3 .75220(13 分)已知数列 xn的首项 x13，通项公式 xn2 np nq(nN ， p、 q 为常数)且 x1， x4， x5成等差数列(1)求 p、 q 的值；(2)求数列 xn的前 n 项和 Sn的公式解 (1) x1， x4， x5成等差数列，2 x4 x1 x5，即 2(24p4 q)32 5p5 q，25p8 q2 5p5 q3，得 q1.又 x12 p q3，得 p1， p1， q1.(2)由(1)知， xn2 n n， Sn(2 12 22 n)(123 n) 2 n1 2 .2 1 2n1 2 1 n n2 n n 1221(13 分)设数列 an满足 a12， an1 an32 2n1 ，(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn nan，求数列 bn的前 n 项和 Sn.解 (1)由已知得，当 n1 时，an1 ( an1 an)( an an1 )( a2 a1) a13(2 2n1 2 2n3 2)22 2(n1)1 .又 a12，数列 an的通项公式 an2 2n1 .(2)由 bn nan n22n1 知Sn1222 332 5 n22n14Sn12 322 532 7 n22n1即 Sn (3n1)2 2n1 219
