1、第 5 讲 数形结合思想在解题中的应用一、知识整合1数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形” ，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。2实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明
2、显的几何意义。如 等 式 ()()xy14223纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数” 。4数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。二、例题分析例 1. 的 取 值 范 围 。之 间 ， 求和的 两 根 都 在的 方 程若 关 于 kkxx
3、 31032分析： 0)()( xfxf 程轴 交 点 的 横 坐 标 就 是 方， 其 图 象 与令，(1y f的 解 ， 由 的 图 象 可 知 ， 要 使 二 根 都 在 ， 之 间 ， 只 需 ， 3()(02bffka10(0)k同 时 成 立 ， 解 得 ， 故 ，例 2. 解 不 等 式 x2解：法一、常规解法：原 不 等 式 等 价 于 或()()IxIx0202解 ， 得 ； 解 ， 得()I0综 上 可 知 ， 原 不 等 式 的 解 集 为 或| |xxx2022法二、数形结合解法：令 ， ， 则 不 等 式 的 解 ， 就 是 使 的 图 象yxyx y12 1在 的
4、上 方 的 那 段 对 应 的 横 坐 标 ，2 如 下 图 ， 不 等 式 的 解 集 为 |xAB而 可 由 ， 解 得 ， ， ，xBBA2故 不 等 式 的 解 集 为 。x2例 3. 已 知 ， 则 方 程 的 实 根 个 数 为01aaxa|log|()A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 1 个或 2 个或 3 个分析： 判 断 方 程 的 根 的 个 数 就 是 判 断 图 象 与 的 交 点 个 数 ， 画yxxa|log|出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有 2 个实根，选（B） 。例 4. 如 果 实 数 、 满 足 ， 则 的 最 大 值 为xyy
5、yx() ()23ABCD123分析： 等 式 有 明 显 的 几 何 意 义 ， 它 表 坐 标 平 面 上 的 一 个 圆 ，()xy2圆 心 为 ， ， 半 径 ， 如 图 ， 而 则 表 示 圆 上 的 点 ， 与 坐() ()00ryxxy标 原 点 ， 的 连 线 的 斜 率 。 如 此 以 来 ， 该 问 题 可 转 化 为 如 下 几 何 问 题 ： 动 点() A在 以 ， 为 圆 心 ， 以 为 半 径 的 圆 上 移 动 ， 求 直 线 的 斜 率 的 最 大 值 ， 由 图23OA可 见 ， 当 在 第 一 象 限 ， 且 与 圆 相 切 时 ， 的 斜 率 最 大 ，
6、 经 简 单 计 算 ， 得 最A大 值 为 tg60例 5. 已 知 ， 满 足 ， 求 的 最 大 值 与 最 小 值xyyx21653分析： 对 于 二 元 函 数 在 限 定 条 件 下 求 最 值 问 题 ， 常 采 用xy31625构造直线的截距的方法来求之。令 ， 则 ，yxbyb3原 问 题 转 化 为 ： 在 椭 圆 上 求 一 点 ， 使 过 该 点 的 直 线 斜 率 为 ，xy2165 3且 在 轴 上 的 截 距 最 大 或 最 小 ，由 图 形 知 ， 当 直 线 与 椭 圆 相 切 时 ， 有 最 大 截 距 与 最 小yxbxy321截距。yxbx3162516
7、9164022由 ， 得 ， 故 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 。 03313y例 6. 若 集 合 ， ， 集 合 ，Mx Nxyb()cosin()()|0且 ， 则 的 取 值 范 围 为 。Nb分析： xyyM()| ()， ， ， 显 然 ， 表 示 以 ， 为 圆 心 ，2910以 3 为半径的圆在 x 轴上方的部分， （如图） ，而 N 则表示一条直线，其斜率 k=1，纵截距 为 ， 由 图 形 易 知 ， 欲 使 ， 即 是 使 直 线 与 半 圆 有 公 共 点 ，b xb显 然 的 最 小 逼 近 值 为 ， 最 大 值 为 ， 即33232例 7. 点 是 椭
8、圆 上 一 点 ， 它 到 其 中 一 个 焦 点 的 距 离 为 ， 为Mxy FN2 1516 2MF1 的中点， O 表示原点，则|ON|=（ ）ABCD32248分析：设椭圆另一焦点为 F2， （如图） ， 则 ， 而|MFa125又注意到 N、O 各为 MF1、F 1F2 的中点，|MF128， ON 是MF 1F2 的中位线， |M1284若联想到第二定义，可以确定点 M 的坐标，进而求 MF1 中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之显得有些复杂。例 8. 已 知 复 数 满 足 ， 求 的 模 的 最 大 值 、 最 小 值 的 范 围
9、。ziz|分析： 由 于 ， 有 明 显 的 几 何 意 义 ， 它 表 示 复 数 对 应 的|()i z22点 到 复 数 对 应 的 点 之 间 的 距 离 ， 因 此 满 足 的 复 数 对 应 点+i |()|i2Z z， 在 以 ， 为 圆 心 ， 半 径 为 的 圆 上 ， 如 下 图 ， 而 表 示 复 数 对 应 的()点 到 原 点 的 距 离 ， 显 然 ， 当 点 、 圆 心 、 点 三 点 共 线 时 ， 取 得 最 值 ，OZCO|minmaxzz232， ， 的 取 值 范 围 为 ，| z23例 9. 求 函 数 的 值 域 。yxsinco解法一（代数法）：
10、，则 得yxyxxsiccosin22sinsin()xy y21， ， 而()|s|x ， 解 不 等 式 得|14734732yy 函 数 的 值 域 为 ，解法二（几何法）： yxyxsinco221的 形 式 类 似 于 斜 率 公 式yxPxsinco()(cosin)220表 示 过 两 点 ， ， ， 的 直 线 斜 率21Py由 于 点 在 单 位 圆 上 ， 如 图 ,显 然 ， kyPAPB00设 过 的 圆 的 切 线 方 程 为 k0()则 有 ， 解 得 |21473k即 ，PAPB0 0473473 473473y 函 数 值 域 为 ，例 10. 求 函 数 的
11、最 值 。utt26分析： 由 于 等 号 右 端 根 号 内 同 为 的 一 次 式 ， 故 作 简 单 换 元 ， 无 法tm24转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。解： 设 ， ， 则xtytuxy246且 ，yx2102()所 给 函 数 化 为 以 为 参 数 的 直 线 方 程 ， 它 与 椭 圆 在u xy216第一象限的部分（包括端点）有公共点， （如图）umin2相切于第一象限时，u 取最大值yxxu2221634160解 ， 得 ， 取 umax三、总结提炼数形结合思想是解答
12、数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。四、强化训练见优化设计。【模拟试题】一、选择题：1. 方程 的实根的个数为（ ）lgsinxA. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个2. 函数 的图象恰有两个公共点，则实数 a 的取值范围是（ ）yaxa|与A. B. ()， ()1，C. D. )， ，1()， ，13. 设命题甲： ，命题乙： ，则甲是乙成立的（ ）03x|x4A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件4. 适合 且 的复数
13、z 的个数为（ ）|z1argz4A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 4 个5. 若不等式 的解集为 则 a 的值为（ x()0|xmn， 且 ，2）A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 已知复数 的最大值为（ ）zizz1 123， ， 则|A. B. C. D. 05027. 若 时，不等式 恒成立，则 a 的取值范围为（ ）x()， ()logxxaA. （0，1） B. （ 1，2） C. （1，2 D. 1，28. 定义在 R 上的函数 上为增函数，且函数 的图象的对称yf)在 ， 2yfx()2轴为 ，则（ ）A. B. ff()3ff(03C. D. 1)二、填
14、空题：9. 若复数 z 满足 ，则 的最大值为_。|2|zi110. 若 对任意实数 t，都有 ，则 、fxbc() ftft()()2f()13、 由小到大依次为_。f()411. 若关于 x 的方程 有四个不相等的实根，则实数 m 的取值范围为xm245|_。12. 函数 的最小值为_。y2261313. 若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围是xyx2_。三、解答题：14. 若方程 上有唯一解，lg()lg()xmx2303在 ，求 m 的取值范围。15. 若不等式 的解集为 A，且 ，求 a 的取值范围。412ax|0216. 设 ，试求下述方程有解时 k 的取值范围
15、。a0且 log()log()axkx22【试题答案】一、选择题1. C提示：画出 在同一坐标系中的图象，即可。yxsinlg，2. D提示：画出 的图象yaxa|与情形 1： a01情形 2： a013. A4. C提示：|Z1|=1 表示以（ 1，0）为圆心，以 1 为半径的圆，显然点 Z 对应的复数满足条件，另外，点 O 对应的复数 O，因其辐角是多值，它也满足 ，故满足条件的 zargz4 argz4有两个。5. B提示：画出 的图象，依题意， 从而yxayman， ，。a02或6. C提示：由 可知，z 2 对应的点在以（0，0）为圆心，以 2 为半径的圆上，|2而 |()|()|z
16、zi12123表示复数 对应的点的距离，i3与结合图形，易知，此距离的最大值为：|POr()()0102227. C提示：令 ，yxyxa12log，若 a1，两函数图象如下图所示，显然当 时，()，要使 ，只需使 ，综上可知y12log()aa2122， 即当 时，不等式 对 恒成立。alxx()，若 ，两函数图象如下图所示，显然当 时，不等式 恒不0 1， ()logxxa12成立。可见应选 C8. A提示：f(x+2) 的图象是由 f(x)的图象向左平移 2 个单位而得到的，又知 f(x+2)的图象关于直线x=0（即 y 轴）对称，故可推知，f(x)的图象关于直线 x=2 对称，由 f(
17、x)在（ ）上为增函， 2数，可知，f(x)在 上为减函数，依此易比较函数值的大小。()2， 二、填空题：9. 2提示：|Z|=2 表示以原点为原心，以 2 为半径的圆，即满足 |Z|=2 的复数 Z 对应的点在圆 O 上运动， （如下图） ，而|z+1i|=|z（1+i）|表示复数 Z 与1+i 对应的两点的距离。由图形，易知，该距离的最大值为 。210. ff()()143提示：由 知，f(x)的图象关于直线 x=2 对称，又 为tt2 fxbc()2二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由 f(x)的图象，易知 的大小。f()134、 、11. m()15，提示：设 ，画出两函数图象示意图
18、，要使方程 有yxym2245| xm245|四个不相等实根，只需使 112. 最小值为 13提示：对 ，联想到两点的距离公式，xxx2 22110()()()它表示点（x，1）到（1，0）的距离， 表示点（x，1）到2 2633()点（3，3）的距离，于是 表示动点（x，1）到两个定点y2（1，0） 、 （3，3）的距离之和，结合图形，易得 。ymin13. m(21，提示：y=xm 表示倾角为 45，纵截距为m 的直线方程，而 则表示以yx12（0，0）为圆心，以 1 为半径的圆在 x 轴上方的部分（包括圆与 x 轴的交点） ，如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截
19、距 ，即 。m)12， (21，三、解答题：14. 解：原方程等价于xmxxm22 22300304令 ，在同一坐标系内，画出它们的图象，yxy1243，其中注意 ，当且仅当两函数的图象在0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当 m=1，或 时，原方程有唯一解，因此 m 的取值范围为 3，0 1。0m注：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。15. 解：令 表示以（2，0）为圆心，以yxyaxyx12 144， ， 其 中()2 为半径的圆在 x 轴的上方的部分（包括圆与 x 轴的交点） ，如下图所示， 表示过原yax1()点的直线系，不等式 的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应12()的 x 值。由于不等式解集 Ax|02因此，只需要 a1， a 的取值范围为（2，+ ） 。16. 解：将原方程化为： ，log()logaaxkx2 xak200， 且 ，令 ，它表示倾角为 45的直线系，y1 y1令 ，它表示焦点在 x 轴上，顶点为（a，0） （a，0）的等轴双曲线在 x 轴22上方的部分， 0原方程有解，两个函数的图象有交点，由下图，知akak或 0 1或k 的取值范围为 ()(， ，1
