1、2.4 向量的应用（数学人教 B版必修 4）建议用时 实际用时 满分 实际得分90分钟 100分一、选择题（每小题 5分，共 20分）1.已知 O为ABC 所在平面内的一点，| |2+ |OA|2=| |2+| |2=| |2+| |2，则 O为BCACBABC的（ ）A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心2. O是平面 ABC内的一定点，P 是平面 ABC内的一动点，若( - )( + )=( - )(OPA+ )=0，则 O为ABC 的（ ）ACA.内心 B.外心 C.重心 D.垂心3.已知在ABC 中， = = ，则 O为BCAABC的（ ）A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心4.已知
2、 O为ABC 内一点，且满足( + )(B- ),( + )( - ),则 O为 ABCABC的（ ）A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心二、填空题（每小题 5分，共 10分）5. 有下列四个关系式：|a b|=|a|b|;| ab| a|b|;|ab| a|b|;|ab| |a|b|.其中正确的关系式是 .6. 设 =(3，1)， =(-1，2) ， ,OABOCB ,又 + = ，则 的坐标是 .BCDD三、解答题(共 70 分)7.（15 分）如图，M、N 分别是平行四边形 ABCD的对边 AD、BC 的中点 ，且 AD=2AB.求证：四边形PMQN为矩形.来源:来源:8.（20 分）
3、已知力 F与水平方向的夹角为 30(斜向上)，大小为 50 N，一个质量为 8 kg 的木块在力F的作用下在动摩擦系数 =0.02 的水平平面 上运动了 20 m,问力 F和摩擦力 f 做的功分别是多少？9. （15 分）已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域 ABC内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形三个顶点间的距离的平方和最小？Q P B N CA M D10. （20 分）以原点 O和 A(4，2)为两个顶点作等腰 Rt OAB， OBA=90,求点 B的坐标和向量 .AB2.4 向量的应用（数学人教 B版必修 4）答题纸得分： 一、选择题题号 1 2 3 4
4、答案二、填空题5 6 三、解答题7.8.来源:9.10.2.4 向 量的应用（数学人教 B版必修 4）答案一、选择题1. D 解析：由 | |2+| |2=| |2+| |2，得 2- 2= 2- 2，OABCAOBCA即( - )( + )=( - )( + )，所以 ( + - + )=0， 2 =0，B即 O在 AB的垂线上.同理，O 在 AC的垂线上.所以 O为ABC 的垂心.故应选 D.2.B 解析：由( - )( + )=0 知 2 =0(其中 D为 CB的中点)，所以PCOBCOO在 BC的中垂线上.同理，O 在 AC的中垂线上，故 O为ABC 的外心.3 . C 解析：由 =
5、，知 - =0.AAB则 ( - )= =0.B故 ,即 OBCA.同理 OCAB,OABC.故 O为ABC 的垂心.4. A 解析：由( + )( - )得( + )( - )=0.AOBOAB故 2- 2=0，即| |=| |.同理，由( + )( - ),可得| |=| |.CC故 A、B、C 三点分别与点 O的距离相等，故 O为ABC 外接圆的圆心，即 O为ABC 的外心.故选 A.二、填空题5. 解析：|ab|=|a|b|cos | a|b|,其中 为 a与 b 的夹角.来源:2 6. (11，6) 解析：设 =(x,y),由 ,得-x+2y=0.CB由 = - =(x+1,y-2)
6、, ,BCOOA得(x+1)-3( y-2)=0.由联立，解得 x=14,y=7.故 = - =(14，7)-(3，1)=(11，6).DA三、解答题7.证明：设 =a， =b,BN由 M、N 分别是平行四边形 ABCD的对边 AD、BC 的中点，且 AD=2AB，|a|=|b|, 得 =a-b, NA=a-b,C故 = ，即 NACM.A又 =a+b, =a+b,BND所以 = ，即 BMND.M从而四边形 PMQN是平行四边形.又由 =(a+b)(a-b)=a2-b2= 0,A故 ，即 BMNA.B所以四边形 PMQN为矩形.8.解：设木块位移为 s,则Fs=|F|s|cos 30=502
7、0 =500 .32将力 F分解，它在铅垂线方向上的分力的大小为来源:学科网|F1|=|F|sin 30=25,所以|f|= |G-F1|=0.02(810-25)=1.1,fs=|f|s|cos 180=-22.故 F和 f做的功分别为 5 00 J 和-22 J.39.解：由题意知，原题可转化为在ABC 内求一点 P，使得 AP2+BP2+CP2最小.设 =a, AB=b, =t,ACP则 = - =t-a, = - =t-b,BCAP2+ 2+ 2=t2+(t-a)2+(t-b)2=3(t- )2+ (a2+b2)- ab,33所以当 =t= ,即 P为ABC 的重心时，AP 2+BP2+CP2最小.A10.解：设 B点坐标为(x,y),则=(x,y), =(x-4,y-2).O OBA=90 , ,即 =0.AOB x(x-4) +y(y-2)=0，即 x2+y2-4x-2y=0.设 OA的中点为 C，则点 C(2， 1)， =(2，1)， =(x-2,y-1).OCB在等腰 RtAOB 中， ,B 2(x-2) +y-1=0,即 2x+y-5=0.解，得 或1,3xy,.故 B点的坐标为(1，3)或(3 ，-1).当 B点坐标为(1，3)时， =(-3，1) ；AB当 B点坐标为(3，-1)时， =(-1，-3).
