1、第 03 章 导数及其应用一、选择题：1. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】若函数 在处的瞬时变化率为 ，且 ，则=（ ） A、2 B、4 C、 D、【答案】B【解析】试题分析：由导函数的定义知： ，所以答案为B考点：导函数的定义2. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】 曲线在点 处的切线方程为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】试题分析：对 求导得 ；由导数的几何意义得，代入直线的点斜式方程 ，化简得，所以答案为A考点：1、导数的运算；2、导数的几何意义3. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期
2、中考试】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数 的图象如右图所示，则该函数的图象是（ ） A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】试题分析：由导函数图象知，函数 在 上为增函数；当 时由小变大，则 图象的增长趋势由缓到快，当 时 由大到小，则 的图象增长趋势由快到慢，故选B考点：1、导数的几何意义；2、函数的图象【思路点晴】本题考查的是导数的应用，属于中档题；利用导函数的图象来判断原函数的图象时，记住口诀：“导函数看正负，原函数看增减” ，导函数值越大，原函数增长或减小的趋势越快；由导函数图象知函数值在 大于零，原函数为增函数；导函数在递增，即原函数切线的斜率递增，排除选项A、D；同理知
3、原函数在 上切线的斜率递减，排除C4. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】已知函数，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】试题分析：当 时， 有两个零点，不符合题意；当 时，令 ，得函数的单调增区间为，单调减区间为 ；而 ，所以函数存在小于零的零点，不符合题意；当 时， ，得函数的单调减区间为 ，单调增区间为 ；因为 存在唯一的零点 ，且 ，所以极小值 ，即 ，而 ，因此满足题意考点：1、单调性；2、极值；3、分类讨论的思想【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，属于难题；本题中含参数，所以
4、要分类讨论：当 时，容易判断出不符合题意；当 时，由于， 时， ；可知：存在 使得，要使满足条件存在唯一的零点 且 ，则必须使极小值，解出该不等式即可5. 【河北省保定市第一中学 2014-2015学年高二下学期第一次段考】给出下列三个命题： 是增函数，无极值； 在23)(xf 23)(xf上没有最大值；函数 存在与直线 平行的切线，, axfln)( 0y则实数 的取值范围是 其中正确命题的个数为（ ）a2,(A.1 B.2 C.3 D.0 【答案】A考点：导数相关的命题真假性判断。6. 【河北省保定市第一中学 2014-2015学年高二下学期第一次段考】函数， 为 f (x) 的导函数，令
5、 a ，blog 32，则下列关系()sin2()3fxxf(fx12正确的是( )Af (a)f (b) Bf (a)f (b) 。故选 A。考点：单调性比大小。【方法点睛】比大小常用的方法是利用单调性，同时本题已知条件中有导数出现，所以考虑利用导函数判断单调性，但难点在于 未知，因此求 的值是解题的核心点。)(3f )(3f求导函数并将 代入即可破题。37. 【河北省保定市第一中学 2014-2015学年高二下学期第一次段考】 若函数 对任)(xf意的 都有 恒成立，则（ ）Rx)( xffA. B. ln2)(l )3(ln2)(l3ffC. D. 与 的大小不确定)3(3ff【答案】C
6、考点：利用函数单调性比大小。【方法点睛】本题难度较大，但规律性比较强，只要练习几个题目，多思考即可突破。难点是如何依据已知条件及选项特征构造函数。对于 的容易想到）（ 或 0)(-xf，然后求导可以判断函数 g(x)的单调性并比大小；对于xefg)(的可以想到 ,然后判断其单调性最后比大小即可。）（ 或 0ff )()(xfeg这些也要求我们应掌握一些常见的构造类型。8. 【西藏日喀则地区第一高级中学 2015-2016学年高二 10月月考】函数 的单3yx调递减区间是（ ）A B C D,00,1,1【答案】C【解析】试题分析：易知定义域为 R，可得导函数为 。由 得，)( 132xxy 0
7、y，所以函数的单调递减区间为 。故选 C。1x1,考点：利用导数求函数的单调区间。9. 【西藏日喀则地区第一高级中学 2015-2016学年高二 10月月考】设函数，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线2fxgxygx1, 21yx在点 处切线的斜率为（ ）y1,fA B C D442【答案】A【解析】试题分析：依题意知， .又因 ,则 ,所以21)(gxgxf2)( 421)(gf曲线 在点 处切线的斜率为 4。故选 A。yfx,f考点：导数法求切线斜率。10. 【西藏日喀则地区第一高级中学 2015-2016学年高二 10月月考】 是 的导fxf函数， 的图象如右图所示，则 的图象只可能是
8、（ ）fx fxA B C D【答案】D考点：导函数 与函数 的图像的关系。fxfx11. 【西藏日喀则地区第一高级中学 2015-2016学年高二 10月月考】若函数 对任意fx的 都有 恒成立，则（ ）RxffA B3ln2l3f 3ln2l3ffC D 与 的大小不确定f 【答案】C【解析】试题分析：设 ，因为 ，所以 ,即函xefg)()( xffxeffg)()(0数 在 R上单调递增。又因 ,所以 即)(xf 23ln 2323lnlnll。故选 C。)3(ln2l3f考点：利用函数单调性比大小。【方法点睛】本题难度较大，但规律性比较强，只要练习几个题目，多思考即可突破。难点是如何
9、依据已知条件及选项特征构造函数。对于 的容易想到）（ 或 0)(-xf，然后求导可以判断函数 g(x)的单调性并比大小；对于xefg)(的可以想到 ,然后判断其单调性最后比大小即可。）（ 或 0ff )()(xfeg这些也要求我们应掌握一些常见的构造类型。12. 【西藏日喀则地区第一高级中学 2015-2016学年高二 10月月考】设点 是曲线（ 为实常数）上任意一点， 点处切线的倾斜角为 ，则 的取值范3yxb围是（ ）A B C D2,35,2650,260,【答案】D考点：利用导数求切线斜率范围，进而求切线的倾斜角范围。【思路点睛】求角的范围应先求出该角的某一三角函数的范围，作为切线的倾
10、斜角，应先求出角的正切值，而其正切值是切线的斜率，同时某点的切线的斜率又是该点处的导数，因此本题应先求出导函数，然后求出导函数的值域即切线斜率（ ）的范围，从而求tan出角的范围。13. 【湖北省孝感高中 20152016学年度高二上学期期中考试】已知函数与 的图象上存在关于 轴对称的点，212xef0axxgln2 y则实数 的取值范围是aA B C De, e,e,e1,【答案】C【解析】试题分析：由题意可得，存在 ，满足 ，0,0xaxex02020ln10即 有负根，ln2100 axex如图所示，当 时， 的图象可由 的图象向左0aaxylnaxl xyln平移 个单位得到，可知此时
11、 有负根一定成立；0210 e当 时， 的图象可由 的图象向右平移 个单xylxl xyl a位得到，观察图象可发现此时 有负根的临界条件是函数ln00ae经过点 ，此时有)ln(axy21,，解得 ，因此要保证 有负根，则满足 ，故l21e0ln21axex ea答案为 C.考点：函数的性质及应用.【思路点睛】本题主要考察函数图象的性质、导数和解对数不等式，结合数形结合思想，函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，属于难题，本题表面上是函数的图象问题，实际上是利用导数求解函数的最值问题，巧妙厉害函数图象的交点与方程的解的关系，求解参数的取值范围，把几何问题转化为代数问题，数形结合一般都是认
12、为把代数问题转化为几何问题来解决，其实也包含把几何问题转化为代数问题解决.二、填空题：1. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】曲线 在点 处的切线的倾斜角是_.【答案】【解析】试题分析：由题知 ，所以倾斜角为 .考点：1、导数的运算；2、导数的几何意义2. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】函数的单调增区间是_.【答案】【解析】试题分析：由题意得 ，令导函数，解得 ，所以函数 的单调增区间是 .考点：1、导数的运算；2、函数的单调性3. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】已知曲线，点 是曲线 上的点
13、 ，曲线 在点 处的切线是 ， 与 轴相交于点 .若原点 到切线 的距离与线段 的长度之比取得最大值，则点 的坐标为_.【答案】【解析】试题分析：因为 ，所以切线 的方程为，即 ，令 ，得，所以点 坐标为 ；原点 到切线 的距离， ，所以，当且仅当 ，即时，等号成立，此时 ，所以点 的坐标为.考点：1、导数的运算；2、导数的几何意义；3、最值问题【思路点晴】本题以数列知识为载体，综合考查了导数的运算、导数的几何意义，以及点到直线的距离公式、最值问题等，充分体现了命题人的智慧，属于难题；先根据导数的几何意义：在该点处的切线的斜率，求出切线方程 ，由点到直线的距离公式求得原点 到切线 的距离，代入
14、表示出原点到切线 的距离与线段 的长度之比，结合基本不等式表示出最值即可4. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】 （本小题 12分）已知函数 ， .（1）求 的值；（2）求函数 的极大值.【答案】 （1） 的值为 4；（2）函数 的极大值为 【解析】试题分析：（1）由函数解析式求出 ，而 ，所以 的值为 4；（2）由（1）知 ，易知函数在 上单调递增，在上单调递减，所以函数 的极大值为 . 试题解析：（1）由函数 得 ，而，所以 的值为 4；（2）由（1）知 ，令得 ；所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 的极大值为 .考点：1、求导运算；2、函数的
15、单调性；3、函数的极值5. 【西藏日喀则地区第一高级中学 2015-2016学年高二 10月月考】已知函数在 处取得极大值 ，则 的值为 3227fxabxa1x10ab【答案】3考点：函数的极值问题。三、解答题 1. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】 （本小题 12分）已知函数 ， .（1）求 的值；（2）求函数 的极大值.【答案】 （1） 的值为 4；（2）函数 的极大值为 【解析】试题分析：（1）由函数解析式求出 ，而 ，所以 的值为 4；（2）由（1）知 ，易知函数在 上单调递增，在上单调递减，所以函数 的极大值为 . 试题解析：（1）由函数 得 ，而
16、，所以 的值为 4；（2）由（1）知 ，令得 ；所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 的极大值为 .考点：1、求导运算；2、函数的单调性；3、函数的极值2. 【湖南省衡阳市第八中学 2015-2016学年高二上学期期中考试】 （本小题 12分）已知函数 在 处有极值，其图像在 处的切线与直线 平行.（1）求函数的单调区间；（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）函数的单调递增区间是（，0） ， （2，） ，单调递减区间是（0，2） ；（2）实数 的取值范围 1.【解析】试题分析：（1）求出导函数，根据极值处导函数为零得 ，又切线与直线平行，得 ，两式联立即可求出
17、函数的表达式；根据解析式列出单调性表格即可； （2）由（1）得 在1，3的最小值是-4+ ， -4+ 14 1 试题解析： ，由该函数在 处有极值，故，即 又其图象在 处的切线与直线 平行，故 ，即 由，解得 . ，（1） ，由 得 ， .列表如下：0 2+ 0 - 0 + 极大值 极小值 故 的单调递增区间是（，0） ， （2，） ，单调递减区间是（0，2）.（2）由（1）可知列表如下：1 (1,2) 2 (2,3) 3- 0 +2 -4+ 在1，3的最小值是-4+ .-4+ 14 1.考点：1、导数的几何意义；2、极值；3、最值3. 【河北省保定市第一中学 2014-2015学年高二下学期
18、第一次段考】 （本小题满分 12分） 已知函数 xbaxfln2)(.(I)若 f在 1,处取得极值， 求 a、 b的值；存在 40x，使得不等式 0)(0cxf成立，求 c的最小值；(II)当 ab时，若 )(f在 ,上是单调函数，求 的取值范围.（参考数据 8.239.72e）【答案】(I) ; ;(II) 2(,0,)4a31ba267lnminc【解析】试题分析：(I) 函数 )(xf在 21,处取得极值，所以 ,从而21)(,)(ff求出 a、b 的值；在 1,24存在 0，使得不等式 0()fc成立，则只需 min()cfx利用导数求出函数的最小值 ,从而求出 c的最小值；(II)
19、当 ab时，若 )(f在267ln)(minxf),0(上是单调函数，即 在 (,)上大于等于零或小于等于零恒成立，axy从而求出参数的范围。试题解析：（） ()2lnbfx，定义域为 (0,) 21()bfxax1分 f在 ,处取得极值， 1()0,()2ff即121034aabb，所求 ,ab值均为 33分在 ,2存在 0x，使得不等式 0()fxc成立，则只需 min()cfx 4分由22 2131()1()33xf 当 ,4x时， ()0fx，函数 ()f单调递减；当 1,2时， f，函数 fx 单调递增；当 x时， ()0x，函数 ()单调递减， ()f在 处有极小值6 分而 117
20、lnl2,()ln2236f f又321()2ln4lf e，因332 min60,l0,()(2),e fxfmin7()cfx, 7l,6c，故 min7l26c。7 分（）当 a = b 时，2()axf当 0时， ()lnfx则 f在 (0,)上单调递增；8 分当 a时， 20, (0axfx，则 ()fx在 0,)上单调递增；当 0时，设 2()gx，只需 ，从而得 24a，此时 ()f在 ,上单调递减；11 分综上可得， 2,0,)4a12分考点：存在性问题求参数范围；由单调性求参数范围。【方法点睛】存在性问题求参数范围。存在 ,使某不等式成立，求参数范围，常常Dx0将不等式化为
21、，则问题等价于存在 ，使)()ccxf 或或或 Dx0成立，从而转化为()cxf或同时注意恒成立问题求参数范围与)()() minmaxminma cfcfxf 或或或其区别及相似之处。4. 【西藏日喀则地区第一高级中学 2015-2016学年高二 10月月考】 （本题满分 12分=5 分+7分）设函数 21lnfxbx（1）若函数 在 时取得极小值，求 的值；（2）若函数 在定义域上是单调函数，求 的取值范围f b【答案】 （1） ；（2） 。4b1,【解析】试题分析：（1）因函数在定义域内存在导函数，所以由在 x=2时取得极小值可得，从而求出 。因为导数等于零的点不一定是极值点，所以最后一
22、定要验20f4b证此时函数是否取得极小值，否则容易出错；（2）函数在定义域 内单调等价于），（ 0或 在定义域内恒成立，然后转化为函数求最值问题求解即可。fxfx试题解析：（1） ，即 ，即2bx24bf4经检验可知 满足题设5 分4b（2）可得，函数的定义域为 ， ，7），（ 02xf分由题知 或 在定义域内恒成立8 分0fxfx易知 不可能恒成立，所以 恒成立，20xb即 10分2maxb所以 的取值范围是 12分1,考点：函数的极值问题；由单调性求参数范围。5. 【西藏日喀则地区第一高级中学 2015-2016学年高二 10月月考】 （本题满分 12分=5+7）已知函数 316fx（1）
23、求曲线 在点 处的切线方程；y2,（2）直线 为曲线 的切线，且经过原点，求直线 的方程及切点坐标lf l【答案】 （1）切线的方程为 （2） 的方程为 ，切点坐标13yxl13yx为 ,6【解析】试题分析：（1）点 在曲线上，所以先求出导函数并将 x=2代入求出该点处的切线2,6的斜率，然后由点斜式求出切线方程；（2）题目中没有给出切点，所以先设出切点坐标（） ，用同（1）的方法表示出切线方程，然后将原点代入得到 的一个方程，并结0yx, 0yx,合 求出 值即可。306x0y,考点：导数法求切线方程，注意题目中给出的点是否在曲线上。6. 【西藏日喀则地区第一高级中学 2015-2016学年
24、高二 10月月考】 （本题满分 12分=5+4+3）已知函数 在 是增函数， 在 为减函2lnfxax1,2gxa0,1数（1）求 ， 的表达式；fg（2）求证：当 时，方程 有唯一解；0x2fxg（3）当 时，若 在 内恒成立，求 的取值范围b12fb0,b【答案】 （1） ， ；（2）证明过程详见解析；（3）lnfxxgx。b【解析】试题分析：（1）由函数 的单调性求出参数 a的取之范围，再由 的单调性求出参)(xf )(xg数 a的范围，然后两者求交集即可求出 a的值，从而求出两函数的表达式；（2）当时，方程 有唯一解等价于函数 与0xfg2ln2hxx轴一个交点，从而研究函数 的单调性
25、及最值情况，最终证明结论；（3）将恒成立)(xh问题转化为左边函数 的最小值大于等于右边函数 的最大值，从而求解。f 21ybx试题解析：（1） ，依题意 （ ） ，2afx0fx1,22ax2分2a又 ，依题意 （ ） ， 3agx0gx,ax分， ， 4分2a2lnfx2x（2）由（1）可知，原方程为 ，2l即 ln0x设 ，2hx由 5 分1x令 ， ， ， 0h220xx1x令 ， ，解得 7 分x01由,1,hx0递减 递增即 在 处有一个最小值 ，即当 且 时， ， 只有10x10hx0hx一个解即当 时，方程 有唯一解，8 分0x2fxg（3） ， 当 时，12xf 0,1x为减
26、函数，其最小值为 9 分fx令 ，则 ， ， ， 在 恒成21yb32ybx10,x0y,1立10 分函数 在 为增函数，其最大值为 112yx0,121b分依题意 ，解得 为所求范围12 分12b1b考点：由单调性求参数范围；方程解的个数问题；恒成立问题求参数范围。【方法点睛】 （1）由函数的单调性求参数范围。当函数 在某区间 D内单调递增(或单)(xf调递减)，则 （或 ）在区间 D内恒成立，且在区间 D的任意子集内导0)(xf0)(xf函数不能恒为零。 （2）由不等式成立求参数范围，常常将不等式移到一边为零的形式即，从而将问题转化为 从而求出参数范围.有)()或xg )()(maxmin0gg或时也不移向，如 (或 )只需使 (或)xgfxfaxinf),进而求出参数范围。)()(minaxf
