1、1.1.1集合的含义与表示其他版本的例题与习题1.(人教实验 B版)用描述法表示下列集合:(1)-1,1;(2)大于 3的全体偶数构成的集合；（3) 在平面 内，线段 AB的垂直平分线.解：（1)这个集合的一个特征性质可以描述为绝对值等于 1的实数，即 x=1.于是这个集合可 以表示为 x|x|=1.（2)这个集合的一个特征性质可以描述为x3,且 x=2n,nN.于是这个集合可以表示为 x|x3，且 x=2n,nN.(3)设点 P为线段 AB的垂直平分线上任一点，点 P和线段 AB都在平面 内，则这个集合的特征性质可 以描述为 PA=PB.于是这个集合可以表示为点 P平面 PA=PB.2.(北
2、师大版)用列举法表示下列集合：（1)由大于 3小于 10的整数组成的集合；（2)方程 -9=0的解的集合.2解：（1)由大于 3小于 10的整数组成的集合用列举法可表示为4,5,6,7,8,9;(2)方程 -9=0的解的集合用列举法可表示为-3,3.23.(北师大版)用描述法表示下列集合：（1)小于 10的所有有理数组成的集合；（2)所有偶数组成的集合.解：（1)小于 10的所有有理数组成的集合用描述法可表示为 xQ x10;(2)偶数是能被 2整除的数，可以写成 x=2n(nZ)的形式，因此，偶数的集合用描述法可表示为 x|x=2n,nZ.4.（北师大版)用适当的方法表示下列集合：（1)小于
3、 20的素数组成的集合；（2)方程 -4=0的解的集合；2（3)由大于 3小于 9的实数组成的集合；（4)所有奇数组成的集合.解：（1)2,3,5,7,11,13,17,19；（2)2,2；（3) x|30 的所有解组成的集合；2（2)到定点 O的距离等于定长 r的点 P的集合；（3)方程组 的解集； 3+2=2，2+3=27（4)抛物线 2 x3 上的点的集合；=2（5)1,4,7,10,13；（6)-2,-4,-6,-8,-10,-12.思路分析：集合的元素可以是实数也可以是几何图形,特别是直角坐标系内的点是与有序实数对( x,y)一一对应的,在用描述法表示集合时,要“先定元,再定性”.解
4、：(1) x| x20；2(2)P|PO|=r(O是定点, r是定长)；(3) ； (,)|3+2=2,2+3=27(4)(x,y)| 2 x3；=2(5)x|x=3n2, ,n5；*(6)x|x=2 n, ,n6.*2.已知集合 A=x| +2x+1=0,aR:2（1)若 A中只有一个元素，求 a的值；（2)若 A中至多有一个元 素，求 a的取值范围；（3)若 A中至少有一 个元素，求 a的取值范围.解：（1)当 a=0时，原方程变为 2x+1=0，此时 x= ，符合题意；12当 a0 时，方程 +2x+1=0为一元二次方程，2 =44 a=0即 a=1时，原方程的解为 x=1，符合题意.所
5、以 a=0或 a=1时，集合 A中只有一个元素.（2)若 A中至多有 一个元素，即 A中有一个元素或 A中没有元素.当 A中没有元素时， 解得 a1； 0,=4 40，当 A中只有一个元素时， a=0或 解得 a=0或 a=1. 0，=4 4=0，故当 a1 时， A中至少有一个元素.3.集合 A=x|x=2k,kZ, B=x|x=2k+1,kZ, C=x|x=4k+1,kZ.又 a A,b B,求 a+b与集合 A,B,C之间的关系.解：由 a A,b B,设 a=2k,kZ； +1， Z.=21 1则 )+1,且 Z,+=2(+1 +1 a+b A,a+b B,a+b C. ax+b(a,
6、bR), A=x|y x=0,xR, B=x|y ax=0,xR,若3 A， 1 A，试4.=2用列举法表示集合 B.解：集合 A=x|y x=0,xR，即为方程 y x=0的解集；集合 B是方程 y ax=0的解集.因为3 A,1 A，所 以3,1 是方程 ax x+b=0的两个根，2故 a+1=3+1=2, b=(3)1=3，y +4x3=0，=2 2+=2解得它的两个根是-2- ,-2+ . 7 7故 B=-2- ,-2+ . 7 75.由实数构成的集合 A满足条件：若 a A， a1，则 A.11 （1)若 2 A，求集合 A；（2)证明：非空集合 A中至少有三个不同元素.（1)解：
7、a A， a1，则 A， 当 2 A时，有 =1 A；由11，有11 11 2= A；由 1，有 =2 A.如此循环可知集合 A中共有三个元素11 ( 1)12 12 11 121， ，2， A= 1, ,2 .12 12 （2)证明： 集合 A非空，故存在 a A， a1，有 A且 1，即 a0 时，有11 11 = A，于是 A且 1，即 a1 a时，有 =a A，即如此循11 11 1 1 111 1环出现三个数 a， ， A.若 a= ，则方程 a+1=0无实根；若 = ，11 1 11 2 11 1则方程 a+1=0无实根；若 a= ，则方程 a+1=0 无实根.2 1 2 a， ，
8、 A且互不相等，故集合 A中至少有三个不同元素.11 1课外拓展康托与集合论(北师大版)翻开高中数学课本，首先映入眼帘的数学概念是集合.研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论.它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，而且其基本概念已渗透到数学的所有领域.如果 把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石.其创始人康托也以其集合论的成就被誉为对 20世纪数学发展影 响最深的学者之一.康托（Cantor,G.F.P.，18451918 )，德国数学家，生于俄罗斯圣彼得堡，自幼对数学有浓厚兴趣.1867 年，22 岁的康托获博士学位，以后一直在哈雷大学任教，从事数学教学与研究.人们把康托最早提出集合论思想的那一天 1873年 12月 7日定为集合论诞生日.他把集合理解为：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体.其中各事物称为该集合的元素.不到 30岁的康托向神秘的“无穷”宣战，他靠着智慧和汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应.这样看起来，1 cm长的线段 内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”.事实证明，康托的集合论不仅为数学分析奠定了最终基础，而且对整个现代数学结构产生了重大而深远的影响.
