1、第三十五课时函数模型及其应用(3)【学习导航】 知识网络 学习要求 1根据条件题意写出满足题意的函数；2 能够根据一次函数、二次函数的单 调性来求出所写函数的最大值和最小值.自学评价1一次函数求最值主要是利用它的 单调性 ；2. 二次函数求最值也是要利用它的单调性，一 般我们都先 配方 .3.无论什么函数求最值都要注意 能够取到最值 的条件 .例如 定义域 等.【精典范例】例 1：在经济学中,函数 的边际函数()fx 定义为 =()Mfx()fx.某公司每月最多生产 台()(fxf10报警系统装置,生产 台()的收入函数 (单N23Rx位:元),其成本函数为(单位:元),利润是收入 504C
2、与成本之差.（1）求利润函数 及边际利润函数)Px ;()Px（2）利润函数 与边际利润函数 是否具有相同的最大值?【解】由题意知, ,且 .10N(1) = ()xRx23(540)20540xMPP20(1)1x 48(2) )2574当 或 时, 的最大值为63()Px (元).7120因为 是减函数,所以当()480P 时, 的最大值x)MPx为 (元).2因此,利润函数 与边际利润函数x 不具有相同的最大()值.例 2：某租赁公司拥有汽车 辆当每辆车10的月租金为 元时，可30全部租出当每辆车的月租金每增加 元时，5未出租的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费 元， 未租出的车每
3、辆每月需要维护费 元50实际问题 函数建摸判断函数类型据单调性求最值解决听课随笔（1）当每辆车的月租金定为 时，能租出多少辆车？360（2）当每辆车的月租金定为多少元时？租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【解】 （1）当每辆车的月租金定为 时，未租出的车辆数为 ，125租出了 辆车8（2）设每辆车的月租金为 元，则租赁公司月收益为x(30)整理后得30(1)5xy261524037x当 时， 的最大值为 ，即当每辆车的月租金定为 元时，租赁公司xy50405的月收益最大为 元点评：月收益 每辆车的租金 租出车辆数 车辆维护费最值问题一定要考察取最值的条件，因此，求定义域是必不可少的环节例
4、 3：南京的某报刊零售点，从报社买进某报纸的价格是每份 元，卖出的价格是每份0.2元，卖不掉的报纸可以以每份 元的价格退回报社在一个月（以 天计算）里，0. 0.530有 天每天可卖出 份，其余每天只能卖出 份，但每天从报社买进的份数必须相2402同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？分析：此问题是关于利润 和份数 的关系, 根据经验我们知道:利润 每份报纸赚的yx钱 份数 卖不掉的报纸份数 每份报纸亏的钱, 的取值范围是 .2504x【解】设每天从报社买进 份报纸，每月获得总利润 元，则由题意，y， ，0.1(250).1(250)yxx.
5、6x,函数在 上是单调递增函数，,4 时， 元，xmax82y所以，该摊主每天从报社买进 份时，每月所获利润最大，最大利润为 元 40 825点评: 建立目标函数后一定要注意实际应用问题中变量的取值范围追踪训练一1.冬季来临，某商场进了一批单价为 元的电暖保，如果按 元一个销售，能卖 个；34040若销售单价每上涨 元，销售量就减少 个，要获得最大利润时，电暖保的销售单价应该为11多少？提示：设单价为 元，利润为 元，则xy256xx所以当 时， 的最大值为 .56252某商品在近 天内每件的销售价格 （元）与时间 （天）的函数关系是30Pt，,(25,)1ttNPt该商品的日销售量 （件）与
6、时间 （天）Qt的函数关系是，403,tN求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是 天中的第几天30解：第 天，日销售金额最大为 元25125【选修延伸】一、函数与图表 高考热点 1 （2001 上海，12）根据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一图 26 中（1）表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图 1 中（2）中图示为：【解】如图 2 所示.解：由图中的沙化面积可以利用 年 代总 面 积平均面积因为题中是分了五六十年代、六七十年代、九十年代三 段所以可
7、分别求出三段的平均面积 2(253.0.1)6，2(257.3.)1060.52.如图，河流航线 长 ，工厂 位AC4kmB于码头 正北 处，C30km原来工厂 所需原料需由码头 装船沿水路B 到码头 后，再改陆运到工厂 ，由于水运太长，运费颇高，工厂 与航运局协商在B段上建一码头 ，并由码头 到工厂AD修一条新公路，原料改为按由 到 再到 的路线运输，设 ADxk，每 吨的货物总运费为 元，04x10y已知每 吨货物每千米10运费水路为 元，陆路为 元.2（1）试写出 元关于 的函数关系式；yx（2）要使运费最省，码头 应建在何处？分析：.总运费 元 水路运费 陆路运费y.水路运费 元,陆路
8、长度1xDB可以勾股定理求得: ,30)4(2陆路运费(元).2x.建立此问题的函数模型: 2(40)3yx .04x对于问题(2)我们可以利用求函数值域 的方法求得运费最省时,点的位置.D以上建立实际问题的函数模型均是在弄 清题意的基础上,根据几何、物理等相关的知识建立的函数模型思维点拔：一次函数求最值主要是利用它的单调性； 函数 在yaxb上的最值：当 时，,mn0a时有最小值m， 时有最大值 ；当abxnb时， 时有0最大值 ， 时有最小值二次函数求最值也是利用它的单调性， 一般都先配方.而求最值都要考虑取最值的条件.听课随笔追踪训练二1某电脑公司在甲乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电
9、脑 台，乙分公司现有同一型6号 的电脑 台.现 地某单位向该公司购买该型号的电脑 台， 地某单位向该公司购2A10B买该型号的电脑 台.已知甲地运往 、 两地每台电脑的运费分别是 元和 元，乙地8B430运往 、 两地每台电脑的运费分别是 元和 元.B805（1）设甲地调运 台至 地，该公司运往 和 两地的总运费为 元，求 关于 的函xAyx数关系式.（2）若总运费不超过 元，问能有几种调运方案？10（3）求总运费最低的调运方案及最低运费.分析：本题的关键在于表示出 、 两地的电脑台数，再用函数单调性求最低运费.B【解】 （1）设甲地调运 台至 地，则剩下 台电脑调运到 地；乙地应调运x6xA台电脑至 地，运往 地8xBA台电脑24.则总运费06,xN，35084yxx2096x.29,6（2）若使 ，即 ，得 1y291xx又 ，06,xN0,N. ，即能有 种调运方案.3（3） 是 上的增函数，又 ， 时， 有最小值为29yxR06,xN0xy.960所以，从甲地运 台到 地，从乙地运 台到 地、运 台到 地，运费最低为6A8B4A元.点评:本例题属于经费预算问题，其数学模型表现为一次函数模型求最值的问题.3【师生互动】学生质疑教师释疑听课随笔
