1、3.5.2 简单线性规划 教案教学目标（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力教学重点、难点二元线性规划问题的解法 的掌握教学过程一问题情境1问题：在约束条件41032xy下，如何求目标函数 2Pxy的最大值？二建构数学首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图（1）所示来源:其次，将目标函数 2Pxy变形为 2xP的形式，它表示一条直线，斜率为，且在 y轴上的截距为 平移直线 2yxP，当它经过两
2、直线 410xy与 4320xy的交点 5(,)4A时，直线在 轴上的截距最大，如图（2）所示因此，当 5,4时，目标函数取得最大值 527.，即当甲、乙两种产品分别生产 t和 时，可获得最大利润 7.5万元这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题其中 5(,)4使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决说明：平移直线 2yxP时，要始终保持直线 经过可行域（即直线与可行域有公共点）来源:三数学运用例 1设 2zxy，式中变量 ,xy满足条件43521xy，求 z的最大值和最小值解：由题意，变量 ,所满足
3、的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域由图知，原点 (0,)不在公共区域内，当 0,xy时，20zxy，即点 (,)在直线 l： 20xy上，作一组平行于 l的直线 l： xyt， R，可知：当 在 0的右上方时，直线 l上的点 (,)满足 ，即 t，而且，直线 l往右平移时， 随之增大由图象可知，当直线 经过点 (5,2)A时，对应的 t最大，当直线 l经过点 1B时，对应的 最小，所以， maxz， min213z例 2设 610zxy，式中 ,x满足条件43521xy，求 z的最大值和最小值解：由引例可知：直线 0l与 AC所在直线平行，则由引例的解题过程知
4、，当 l与 AC所在直线 352xy重合时 z最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当 经过点 (1,)B时，对应 z最小， max6z， min6106例 3已知 ,y满足不等式组325xy，求使 xy取最大值的整数 ,xy解：不等式 组的解集为三直线 1l： 0， 2l： 360， 3l：510x所围成的三角形内部（不含边界） ，设 1与 ， 1l与 ， 2与 交点分别为,ABC，则 ,坐标分别为 3(,)84A， (,)B， 75(,)9C，作一组平行线 l： xyt平行于 0l： xy，当 l往 0右上方移动时， 随之增大，当 过 点时 最大为 6319，但不是整数解，来源:OxACB
5、430y152ABCxyO1l3l2l又由 75019x知 可取 ,23，当 时，代入原不等式组得 y， 1xy；当 2时，得 0y或 ， 或 ；当 3x时， ， x，故 的最大整数解为 2或 31y例 4投资生产 A 产品时，每生 产 100 吨需要资金 200 万元，需场地 200 平方米，可获利润300 万元；投资生产 B 产品时，每生产 100 米需要资金 300 万元，需场地 100 平方米，可获利润 200 万元现某单位可使用资金 1400 万元，场地 900 平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大 ？分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：
6、资 金（百万元）场 地（平方米）利 润（百万元）A 产品 2 2 3来源:B 产品 3 1 2限 制 14 9然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数 ，最后用图解法求解来源:解：设生产 A 产品 x百吨，生产 B 产品 y米，利润为 S百万元，则约束条件为231490y，目标函数为 32xy作出可行域（如图） ，将目标函数变形为 32Syx，它表示斜率为 2，在 y轴上截距为 2S的直线，平移直线 32Syx，当它经过直线与 9y和 314x的交点 35(,)时， 最大，也即 最大此时， 1534.7因此，生产 A 产品 .5百吨，生产 B 产品 2米，利润最大为 1475 万元说明：（1）解线性规划应用题的一般步骤：设出未知数；列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一） ；建立目标函数；求最优解（2）对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点四回顾小结：1简单的二 元线性规划问题的解法2巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法；3用画网格的方法求解整数线性规划问题。4解线性规划应用题的一般步骤：设出未知数；列出约束条件；建立目标函数；求最优解。五课外作业：课本第 94 页 练习 A 第 1，2 题；第 96 页 习题 3-5 第 A/B
