1、6.3.1 生日相同的概率(一)教学目标(一)教学知识点能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率.(二)能力训练要求经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.(三)情感与价值观要求 通过对贴近学生生活的有趣的生日问题的实验、统计，提高学习数学的兴趣.并且有助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观.教学重点：用实验的方法估计一些复杂的随机事件的概率.教学难点：经历用实验频率估计理论概率的过程，并初步感受到 50 个同学中有 2 个同学生日相同的概率较大.教学方法：探究实验合作交流法.本课时选择了贴近学生生活的生日问题，旨在通过具体收集数据.进行实
2、验，统计结果，合作交流的过程，丰富学生的活动经验，并初步感受到频率与概率的关系.教具准备：每个同学课外凋查 10 个人的生日、生肖； 多媒体课件；教学过程.创设问题情境，引入新课师红楼梦62 回中有这样一段话：探春笑道：“倒有些意思.一年十二个月，月月有几个生日.人多了，就这样巧，也有三个一日的，两个一日的过了灯节，就是大太太和宝姐姐，他们娘儿两个遇的巧， ”宝玉又在旁边补充，一面笑指袭人：“二月十二日是林姑娘的生日，他和林妹妹是一月，他所以记得.”关于生日问题，还有几个很有趣的故事：(1)有一次，美国数学家伯格米尼去观看世界杯足球赛，在看台上随意挑选了 22 名观众，叫他们报出自己的生日，结
3、果竟然有两个人的生日是相同的，使在场的球迷们感到吃惊.(2)还有一个人也作了一次实验.一天他与一群高级军官用餐，席问，大家天南地北地闲聊.慢慢地，话题转到生日上来，他说：“我们来打个赌.我说，我们之间至少有两个人的生日相同.”“赌输了.罚酒三杯！”在场的军官们都很感兴趣.“行!”在场的各人把生日一一报出.结果没有生日恰巧相同的.“快!你可得罚酒啊!”突然，一个女佣人在门口说：“先生.我的生日正巧与那边的将军一样”.大家傻了似的望望女佣.他趁机赖掉了三杯罚酒.那么，在几个人中，有 2 个人生日相同的可能性到底有多大，即几个人中，有 2 个人生日相同的概率是多少呢?故事中情境是一种必然还是一种偶然
4、呢?下面，我们就带着这个问题，学习研究一个历史上很有名的趣味性问题生日相同的概率.经历实验、统计等活动过程，估计复杂随机事件(生日相同)的概率师400 个同学中，一定有 2 个同学的生日相同(可以不同年)吗?生一定!师依据是什么呢?生抽屉原理把 m 个东西任意放进 n 个空抽屉里(mn).那么一定有一个抽屉中放进了至少 2 个东西.在上面的问题小，由于一年最多有 366 天，因此，在 400 个同学中一定会出现至少 2 个人出生在同月同日.就相当于把 400 个东西放到 366 个抽屉里，一定至少有 2 个东西放在同一抽屉里.师这位同学解释得很精彩!同学们可接着思考：300 个同学中，一定有两
5、个同学的生日相同吗?生这就不敢保征了.师但我认为我们班 50 个同学中很可能就有 2 个同学的生日相同.生不可能吧？！(惊讶)师不相信吗?我们现在就来调查一下全班同学的生日，看看有无 2 个同学的生日是相同的.为了节约时间，写生日时，可以进行一定的简化，如可将“2 月 16 日”记为“0216”.然后，我们请两位同学把结果板演在黑板上.同时，请同学们想一想：在结果未出来之前，你能猜想到什么？生没有 2 个同学的生日相同.生有 2 个同学的生日相同.生也许会有 3 个同学的生闩相同，师有 3 个同学的生日当然也必然有 2 个同学的生日相同了.这节课我们研究的只要有2 个同学的生日相同即可.但是，
6、如果咱们班 50 个同学中市两个同学的生日相同，那么能说明这 50 个同学中有2 个同学生日相同的概率是 1 吗?如果咱们班没有两个同学的生日相同，能说明其相应概率为 0 吗?师调查的结果出来了.同学们根据调查的结果，反思并评判一下上面的两个问题.生咱们班 50 个同学中有 2 个同学的生日相同，并不能说明 50 个同学中行 2 个同学生日相同的概率是 1；而 50 个同学中没有 2 个同学生日相同.也不能说明其相应概率为 0.生我也这样想的.例如“随意抛掷一枚硬币.落地后国徽朝上，我们就说同徽朝上的概率为 1，国徽朝下的概率是 0，很显然是错误的.概率的意义应是建立在大量的重复实验的基础上，
7、用事件发生的频率近似地表示概率.因此.我们要真正体验随机选取的 50 个同学中有2 个同学生日相同的概率，必须经过大量的重复的实验去体会、感受.活动一：每个同学课外调查 10 个人的生日，从全班的调查结果中随机选择 50 个被调查人，看看他们中有没有 2 个人的牛日相同.将全班同学的调查数据集中起来，设计一个方案.估计 50 个人中有 2 个人生日相同的概率.(1)设计目的：旨在通过具体收集数据、进行实验、统计结果等过程，进一步丰富学生的数学活动经验，同时对本节问题有比较自观的感知，经历用实验频率估计理论概率的过程，并初步感受到体问题的概率较大.(2)准备工作：每个同学课外调查 10 个人的生
8、日，为了节约时间，可仿照前面的办法，进行一定的简化，如可将“3 月 8 日”记为“0308”.(3)设计方案：(可由学小生自主设计，这里的方案，在具体实验时仅供参考)方案一：在具体实验时，可以将学生所调查的生日写在纸条上并放在箱子里随机抽取.方案二：将每个同学所调查的生日随机排列成某一适当的形式(如方阵)，然后，再按照某规则从中选取 50 个进行实验，例如排成 2025 的方阵，由学生随机说出从某行某列的一个数开始，从左往右，自上而下地数出 50 个数，进行实验.方案三：要求学生每次随机地写下自己查的一个生日，再汇总.(4)过程指导：(a)收集数据为了节约时间，可以对生日的表示方式简化，还可以
9、以小组的形式参与整理、收集数据，以保证时间的充分利用.(b)鼓励学生大胆地发言，交流、讨论从大量重复实验过程中初步感受到本问题的概率较大.(c)在活动和分析的基础上，激励学生提出更好的活动方案，例如，可发动大家随机地写出 1365 之间的某一个自然数代表生日进行实验；让同学们分工合作制作 365 个依次写有 1365 的自然数的卡片，放入纸箱，然后随机抽取 1 张，记下号码放，回去；再随机抽取 1 张，记下号码，放回去；再从中抽取，一张直至抽取第 50 张.记下号码为一次试验.重复多次实验，即可估计出 50 个人中有 2 个人生日相同的概率，实际上这就是模拟实验.(5)评价指导(a)主要评价学
10、生的参与程度、活动过程中的思维方式、与同学合作交流的情况.(b)鼓励学生思维的多样性.(c)关注学生能否用实验的方法估计一些较复杂的随机事件发生的概率.(d)关注学生对概率的理解是否全面.师通过大量重复的试验，你能估算一下 50 个人中有 2 个人生日相同的概率吗?师生共析我们可从实验的频率估计理论概率，并使我们感受到本问题的概率较大。约为 0.9704.其计算过程稍后再说明.生难怪老师刚开始那么肯定地说：“咱们班 50 个同学中很可能有 2 个同学的生日相同.”生原来红楼梦中贾宝玉和探春说的“遇的巧” ，实则是极为平凡的事.生美国数学家伯格米尼和与高级军官一起用餐的那个人，原来他们早已知道这
11、里的“玄机”了.师这个问题出入意料之处在于其结果违反了人们的自觉.人们往往觉得两个人生日相同是一种可能性不大的事情.但计算结果告诉我们：如果人数不少于 23 人，那么这种可能性就会达到 50.下面是一张说明“几个人中至少有两人生日相同”的概率大小表，你看了一定会很吃惊吧!n P n P n P20 0.4114 34 0.7953 48 0.960621 0.4437 35 0.8144 49 0.965822 0.4757 36 0.8322 50 0.970423 0.5073 37 0.8487 51 0.974424 0.5383 38 0.8641 52 0.978025 0.568
12、7 39 0.8781 53 0.981126 0.5982 40 0.8912 54 0.983927 0.6269 41 0.9032 55 0.986328 0.6545 42 0.9140 56 0.988329 0.6810 43 0.9239 57 0.990130 0.7305 44 0.9329 58 0.991731 0.7305 45 0.9410 59 0.993032 0.7533 46 0.9483 60 0.994133 0.7750 47 0.9548.应用、深化比一比、赛一赛活动二：课外调查的 10 个人的生肖分别是什么?他们中有 2 个人的生肖相同吗?6 个人
13、中呢?利用全班的调查数据设计一个方案，估计 6 个人中有 2 个人生肖相同的概率.(1)设计目的：本问题与生日问题类似，借助于课外调查的数据再次进行有关问题的概率估算，丰富数学活动的经验，对较复杂的概率问题有较直观的感受.(2)设计方案：(可由学生模仿生日问题，自主设计，这里的方案在具体实验时仅供参考)方案一：将每个同学所调查的生肖随机排成某一适当的形式(如方阵)，然后按照某规则从中随机抽取 6 个进行实验.方案：二：分小组实验(6 人一组)，要求小组每个成员每次随机地写下自己所调查的一个生肖，由小组组长汇总收集数据，统计结果.最后根据全班收集的数据.估算出 6 个人中有2 个人生肖相同的概率
14、.方案三：可以将学生所调查的生肖写在纸条上，并放到某个箱子中随机抽取.(3)过程指导(a)鼓励学生积极、大胆地发言，阐述自己的没计方案.在讨论、交流的过程小进一步感受到大量重复试验中频率稳定于概率的基本意义.(b)在活动和分析的基础上，激励学生探索出该问题的模拟实验.评价指导：(a)主要评价学生能否用实验的方法估计一些复杂的随机事件的慨率.(b)鼓励学生思维的多样性，关注学生对概率意义的理解是否全面.(c)6 个人中有 2 个人生肖相同的概率约为 0.78.在这里不要求学生把结果精确到具体哪一位.课时小结师在这节课快要结束时，我还有一个故事要说，在美国的一次大选期间，两位朋友在一起叙谈，谈到了
15、生日问题.其中一位是懂数学的.他说，以往的 36 届总统中，该有生日相同的.另一位不信.后来他们查了资料.发现确有生日相同的，而且逝世日相同的：扑尔克和哈定都生于 11 月 2 日，扑尔克生于 1795 年.而哈定生于 1865 年.还有，亚当斯、杰弗孙、门罗三人也都死于 7 月 4 日.前两位都是 1826 年去世的，后面一位死于 1831 年.一些别有用心的人常常利用人们这种直觉上的错误，把这些看似巧合，实则平凡而且极为平凡的现象大加渲染，从中谋取暴利.我们要想破除这种迷信思想.必须从科学的角度，通过实验估计随机事件发生的概率，用“知识”去武装我们的头脑.课后作业1.课本习题 6.42.从
16、网上收集自觉引出的错误概论悖论并在全班交流.活动与探究用“树图”原理，求如果你们班上有 48 人，那么至少有两人生日相同的概率.过程我们设想有 365 只盒子，盒子上分别标有“1 月 1 日” “1 月 2 日”“12 月31 日” ；另有 48 颗小球，上面分别写有你班上海个同学的姓名.然后，我们把球随意地抛进盒子中去，如果标着“张三”的球抛进写着“2 月 5 日”的盒子里，那么意味着“张三的生日是 2 月 5 日” ；如果标着“李四”的球抛入写着”11 月 11 日”的盒子里，那么意味着“李四生于 11 月 11 日” ；如果标着“赵五”和”王六”的球同时落在写着“8 月 7 日”的盒子里
17、，那么就意味着”赵五和王六的生日相同，都是日月 7 日”.于是，看有没有同学生日相同，只要看有没有两颗以上的球落在同一盒子里.因此，求“48 人中至少有两人生日相同”的概率，只需求“48 颗球中，至少有两颗落在同一盒中”的概率.但是“48 颗球中至少有两颗落在同一盒中”的概率不容易求，而它的对立事件“48 颗球分别落在不同的盒中”的概率却比较容易求得，因此我们可以先求出它的对立事件的概率，然后再根据上节所述的公式求出它的概率.“48 颗球分别落在不同的盒中”的概率仍可利用树图求出.不过这个树图画起来太繁，不妨把树图默记在心中.抛第一颗球，有 365 种可能，抛第二颗球，又有 365 种可能因此
18、，这张树图，最终应有 个48365365个分叉点.其中.有多少种情况是“分别落在不同的盒子中”的呢?抛第一颗球，有 365 种可能.抛第二颗球时，当然仍有 365 种可能，但其中只有 364 种可能是与第一颗球不落在同一盒中的.抛第三颗球时，仍应有 365 种可能，但其中只有 363种是与前两颗球不重复的因此，这张树图中，只有 365364363318 个分叉点符合“不落入同一盒”的要求.所以， “48 颗球分别落在不同的盒中”的概率是=0.0394个483653651结果把事件“48 颗球中至少有两颗落在同一盒中”记作 A.它的对立事件“48 颗球分别落在不同的盒中”可记作 ，于是AP(A)
19、1-P( )1-0.03940.9606.即“48 个人中至少有两人生日相同”的概率是 0.9606.其余情况.可类似地进行计算.板书设计备课资料直觉并不可靠盲棋战没有学过概率论的人，常常凭直觉估计一个偶然事件发生的概率的大小.但是，直觉常常会欺骗我们.有人说.在数学的各个分支小，没有哪一个分支像概率论那样有那么多的例子能说明直觉的不可靠.这话不假.本章各篇都是这样的例子.不过，为了揭露直觉的错误，要计算出正确的结果常常需用到不少专门知识，这里就没法向少年朋友介绍了.好在有一个弥补的方法做试验，只要你肯动手做试验.并且做大量的试验，你会理解的.这篇文章讲的是怎样排比赛名单的故事. 少年宫请来了
20、一位象棋大师，他对少年象棋队的队员们做了一些辅导之后，决定与少年棋手来几盘棋赛.大师的棋艺高出少年棋手好多好多.怎么能比呢？不要紧，大师下的是盲棋不看棋盘，由别人将对手的走着告诉大师，大师再把自己的走着告诉这个人，由他代走.比赛作了这样的约定：由少年象棋队挑出两名队员，轮流与大师赛棋，共赛三盘.如果能连胜大师两盘，就算少年棋队胜.注意，是连胜两盘，不是共胜两盘.假定少年棋手甲能胜大师的概率中 0.75，乙能胜大师的概率是 0.5.那么少年棋队应该用“甲乙甲”.还是用“乙甲乙”的阵容来对付大师呢?“当然用甲乙甲阵容啦!甲是我队最好的队员嘛！”少年棋队的队员们一致这样看.其实， “甲乙甲”阵容战胜大师(连胜两盘)的概率只有 ，而“乙甲3215乙”阵容战胜大师的概率却达到 ，后者大一些.169直觉欺骗了你!为什么呢?我们在这里只作一些直观的解释 用“甲 乙 甲”阵容参战.最佳的棋手甲可以上场两次.看来好像是有利的.但是，我们现在的规则是：连胜两盘才能算少年队赢.用这个阵容，即使甲胜了两盘，也没用，因为不是“连胜”两盘.要连胜两盘，必须在第二盘比赛中取胜，因此第二盘比赛上关键.而“乙 甲 乙”阵容，就是把最佳选手甲安排在最关键的场合，所以是较好的方案.
