1、2.3.3 直线与平面垂直的性质一、教材分析空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论直线与平面垂直的性质定理的应用.二、教学目标1知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面的判定定理和性质定理间的相互关系.2过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作
2、确认，获得对性质定理正确性的认识；3情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明” ，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.三、教学重点与难点直线与平面垂直的性质定理及其应用.四、课时安排1 课时五、教学设计（一）复习直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：图 1如图 1，表示方法为：a.由直线与平面垂直的定义不难得出： ba.a（二）导入新课思路 1.(情境导入)大家都读过茅盾先生的白杨礼赞 ，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵一样守
3、卫着祖国疆土.一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？思路 2.(事例导入)如图 2，长方体 ABCDABCD中，棱 AA、BB、CC、DD所在直线都垂直所在的平面 ABCD，它们之间具有什么位置关系？图 2（三）推进新课、新知探究、提出问题回忆空间两直线平行的定义.判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系.用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？讨论结果：如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.如图 3，同垂直于
4、一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.图 3如图 4，长方体 ABCDABCD中，棱 AA、BB、CC 、DD 所在直线都垂直于所在的平面 ABCD，它们之间具有什么位置关系？图 4 图 5棱 AA、 BB、CC、DD所在直线都垂直所在的平面 ABCD，它们之间互相平行.直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为： ba.a直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图 5.直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系.（四）应用示例思路
5、 1例 1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行.解:已知 a,b.求证：ab.图 6证明：（反证法）如图 6，假定 a 与 b 不平行，且 b=O,作直线 b，使 Ob,ab.直线 b与直线 b 确定平面 ，设 =c,则 Oc.a,b,ac,bc.ba,bc.又Ob,Ob,b ,b ,ab显然不可能，因此 ba.例 2 如图 7，已知 =l,EA 于点 A,EB 于点 B,a ,aAB.求证:a l.图 7证明： l平面 EAB.EBlAlEBA,又 a ,EA,aEA.又 aAB,a平面 EAB.al.思路 2例 1 如图 8,已知直线 ab， b，a .求证：a.图 8证明：在直线 a 上
6、取一点 A，过 A 作 bb，则 b必与 相交，设交点为 B，过相交直线 a、b 作平面 ，设 =a,bb，ab,ab. b，b b,b.又 a ,ba.由 a，b，a都在平面 内，且 ba，ba知 aa.a.例 2 如图 9，已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点.（1）求证：MNCD ；（2）若PDA=45，求证:MN面 PCD.图 9证明：(1)取 PD 中点 E,又 N 为 PC 中点,连接 NE,则 NECD,NE= CD.21又 AMCD,AM= CD,21AM NE.四边形 AMNE 为平行四边形.MNAE. CDAE.ADPECADPABCDP平
7、 面平 面平 面平 面(2)当PDA=45时,Rt PAD 为等腰直角三角形,则 AEPD.又 MNAE,MNPD,PDCD=D.MN平面 PCD.变式训练已知 a、b、c 是平面 内相交于一点 O 的三条直线，而直线 l 和平面 相交，并且和a、b、c 三条直线成等角.求证：l .证明：分别在 a、b、c 上取点 A、B、C 并使 AO=BO=CO.设 l 经过 O，在 l 上取一点P，在POA、POB、POC 中，PO=PO=PO，AO=BO=CO，POA= POB=POC，POAPOBPOC.PA=PB=PC.取 AB 的中点 D,连接 OD、PD，则 ODAB，PDAB.PDOD=D,
8、AB平面 POD.PO 平面 POD,POAB.同理,可证 POBC.AB ，BC ，ABBC=B,PO ，即 l.若 l 不经过点 O 时，可经过点 O 作 ll.用上述方法证明 l，l.（五）知能训练如图 10，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a,（1）求证：BD 1平面 B1AC;（2）求 B 到平面 B1AC 的距离 .图 10（1）证明：ABB 1C，BC 1B1C,B1C面 ABC1D1.又 BD1 面 ABC1D1,B1CBD1.B1BAC，BD AC,AC面 BB1D1D.又 BD1 面 BB1D1D,ACBD1.BD1平面 B1AC.（2）解: OBD, 连接
9、 OB1 交 BD1 于 E.又 OAC，OB 1 面 B1AC.BEOE，且 BE 即为所求距离. ,BE= OB= .1DBE1 aa323（六）拓展提升已知在梯形 ABCD 中，ABCD，CD 在平面 内，ABCD=46，AB 到 的距离为 10 cm，求梯形对角线的交点 O 到 的距离.图 11解：如图所示，过 B 作 BE 交 于点 E，连接 DE,过 O 作 OFDE 交 DE 于点 F,ABCD，AB ，CD ， AB.又 BE,BE 即为 AB 到 的距离，BE=10 cm 且BED=90.OFDE,OFBE,得 .BDOEFABCD,AOBCOD. ，得 .46ABCOD53106又 ，BE=10 cm,EFOF= 10=6（cm ）.53OFBE，BE.OF，即 OF 即为所求距离为 6 cm.（七）课堂小结知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.（八）作业课本习题 2.3 B 组 1、2.
