1、13 正弦定理、余弦定理的应用1(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角，如图 1.(2)方位角：从指北方向线按顺时针转到目标方向线所成的水平角，如方位角是 45，指北偏东 45，即东北方向(3)方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角，如南偏西 60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转 60，如图 2 所示(4)李强出校门向东，前进 200 米，再向北走 200 米便回到家中，李强家在学校的哪个方向？答案：东偏北 45 度方向 200 米处22地面上三个点 A、B、C，若 B 在 A 正北方向上，C 在 A 北偏东 20方
2、向上 ，C 在 B东偏北 25方向上，则 C 在 A 东偏北 70方向上，C 在 B 北偏东 65方向上，A 在 C 西偏南 70方向上，B 在 C 西偏南 25方向上，B 在 C 南偏西 65方向上3(1)山下 B 点望山上 A 点仰角为 30，则山上 A 点望山下 B 点俯角为 30(2)方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角若水平面上点 A 处测得点 B 的方位角是 120，则点 B 在点 A 东偏南 30方向上4(1)A 点望 B、C 的视角是指BAC 的大小(2)在ABC 中，A105，B30，则 C 点望 A、B 的视角为 455(1)坡度是指斜坡所在平面与水平面的夹角
3、(2)沿坡度为 30的斜坡直线向上行走 100 米，实际升高了 50 米6东北方向是指东偏北 45的方向7(1)三角形面积：ABC 中用 a 和 BC 边上的高 h 表示，三角形面积的公式为S ah12(2)ABC 中，已知 ABAC5，BC6，则ABC 的面积为 12(2)解析：由已知易得出 BC 边上的高为 4，所以 S 6412.128(1)ABC 中用 a、b 和角 C 表示三角形面积的公式为 S absin_C12(2)ABC 中，已知 A30，b4，c3，则ABC 的面积为 3解析：(2)由三角形面积公式知 S bcsin A3.129ABC 中，A 与 BC 互补， 与 互余，所
4、以A2 B C2sin(BC) sin_A， cos(BC) cos_A，sin cos ， cos sin B C2 A2 B C2 A210设 RtABC 的两直角边长为 a，b，则它的内切圆半径 r (ab )12 a2 b211设ABC 的周长为 2p，内切圆半径为 r，则ABC 的面积pr12S absin C acsin_B bcsin_12 12 12基础巩固一、选择题1在某测量中，设点 A 在点 B 的南偏东 3427，则点 B 在点 A 的( A)A北偏西 3427 B北偏东 5533C北偏西 5533 D南偏西 55332如图，为了测量某湖泊两侧 A，B 的距离，绘出下列数
5、据，其中不能唯一确定 A，B两点间的距离的是( D)A角 A，B 和边 bB角 A，B 和边 aC边 a，b 和角 CD边 a，b 和角 A解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的结果不一定唯一，故选 D.3已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 6 km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A)A6 km B3 km3 3C6 km D2 km3解析：如下图，由余弦定理，得 AB2AC 2BC 22ACBC cos 120363636108，AB6 km.34
6、如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC的距离为 50 m，ACB45，CAB105，则 AB( B)A50 m3B50 m2C25 m2D. m2522解析：ACB45，CAB105，ABC30.根据正弦定理得 ，50sin 30 ABsin 45解得 AB50 m.25某人向正东方走了 km 后，突然向右转 150，然后朝此方向前进了 3 km，此时，3他离出发点有( A)A. km B2 km3 3C3 km D3 km3解析：依题作出题图(如图所示)，由余弦定理知AC2AB 2BC 22ABBC cos 30392 3 3，AC km.33
7、2 36如图所示，D，C，B 在地平面同一直线上，DC10 m，从 D，C 两地测得 A 点的仰角分别是 30和 45，则 A 点离地面的高 AB 等于( D)A10 mB5 m3C5( 1) m3D5( 1) m3解析：AB AC 5( 1) m.22 22( DCsin 15sin 30) 3二、填空题7某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进 40 m 后，望见塔在正北，若测途测得塔的最大仰角为 30，则塔高为_ _m.解析：设塔高为 AB，某人由 C 前进到 D，依题意可得 CD40 m，ACD906030，作 AECD 于点 E，则AEB30，则 ADCD sin 3020，AEAD
8、 sin 6010 ，3ABAE tan 3010 10 m.333答案：108一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成 30角，树干底部与树尖着地处相距 5 m，则树干原来的高度为_解析：如右图，ABAC tan 605 ，BC 10，3ACsin 30ABBC(5 10) m.3答案：(105 )m3三、解答题9一船以每小时 15 km 的速 度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15，求此时船与灯塔的距离解析：如题图，由正弦定理得， ，BCsin（ 90 60） 154sin 45BC30 km.2此时船与灯塔的距
9、离为 30 km.210如下图，在塔底 D 的正西方 A 处测得塔顶的仰角为 45，在它的南偏东 60的 B处测得塔顶的仰角为 30，AB 的距离是 84 m，求塔高解析：设塔高 CDx m，则 ADx m，DB x m.3在ABD 中 ，利用余弦定理得 842 2 x2cos(90(xtan 45)2 ( xtan 30)2 360)，解得 x12 (负值舍去)，故塔高为 12 m.7 7能力升级一、选择题11已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东40，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的( B)A北偏东 10B
10、北偏西 10C南偏东 10D南偏西 10解析：如题图，结合题意得ACB180604080.ACBC，ABC50，605010.12若水平面上，点 B 在点 A 南偏东 30方向上，则点 A 处测得点 B 的方位角是( C)A60 B120 C150 D210解析：根据方位角的意义，可得点 B 的方位角是 18030150.13有一长 1 km 的斜坡，它的倾斜角为 20，现要将倾斜角改为 10，则坡底要伸长( A)A1 km B sin 10 kmC cos 10 km D cos 20 km解析：如图，ABD201010，ADAB1 km.二、填空题14(2014新课标全国卷)如图，为测量山
11、高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角 CAB45以及MAC75；从 C 点测得MCA60.已知山高 BC100 m，测山高 MN_ m.解析：利用三角函数的定义及正弦定理求解根据图示，AC100 m.2在MAC 中，CMA1807 56045.由正弦定理 得 AM100 m.ACsin 45 AMsin 60 3在AMN 中， sin 60，MNAMMN100 150( m)332答案：15015我舰在敌岛南偏西 50相距 12 海里的 B 处，发现敌舰正由岛 A 沿北偏西 10的方向以 10 海里/时的速度航行，我舰要用
12、2 小时追上敌舰，则需要的最小速度为_解析：如题图，BAC1801050120，AB12，AC21020，BC 212 220 221220 cos 120784，BC28，速度为 14(海里/时)282答案：14 海里/时三、解答题16如右图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1)?解析：连接 BC，由余弦定理得BC220 210 222010 cos 120700.于是，BC10 .7 ， sinACB ，ACB90，ACB71.sin ACB20 sin 120107 37 217乙船应朝北偏东约 71方向沿直线前往 B 处救援
