1、（同步复习精讲辅导）北京市 2014-2015 学年高中数学 点线面综合问题课后练习二（含解析）新人教 A 版必修 2题 1在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC1， AA12，点 M 是 BC 的中点，点 N 是 AA1的中点(1)求证： MN平面 A1CD；(2)过 N， C， D 三点的平面把长方体 ABCD A1B1C1D1截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值题 2已知 a、 b 为不垂直的异面直线， 是一个平面，则 a、 b 在 上的射影可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点则在上面的结论中，正确结论的编号是_(写出所有
2、正确结论的编号)题 3设 a， b 为两条直线， ， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )A若 a， b 与 所成的角相等，则 a bB若 a ， b ， ，则 a bC若 a ， b ， a b，则 D若 a b， a ， b ，则 b 题 4正三棱锥 A-BCD，底面边长为 a，侧棱为 2a，过点 B 作与侧棱 AC、 AD 相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值；(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比题 5若四面体各棱长是 1 或 2，且该四 面体不是正四面体，则其体积的值是 (只须写出一个可能的值)题 6一
3、个多面体的直观图、正视图、侧视图如图(1)和(2)所示，其中正视图、侧视图均为边长为 a 的正方形(1)请在图(2)指定的位置画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线 AC、 BD 交于点 O， E 为线段 AA1的中点，求证： OE平面 A1C1C；(3)求该多面体的表面积（1） （2）题 7如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面是梯形，AB CD， AD DC， CD2， DD1 AB1， P、 Q 分别是 CC1、 C1D1 的中点求证： AC平面BPQ题 8如图，在四棱锥 EABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形， BE BC， AE BE， M 为 CE 上一点
4、，且 BM平面 ACE(1)求证： AE BC；(2)如果点 N 为线段 AB 的中点，求证： MN平面 ADE题 9如图，若 是长方体 ABCD A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体，其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点， F 为线段 BB1 上异于 B1 的点，且 EH A1D1，则下列结论中不正确的是( )A EH FG B四边形 EFGH 是矩形C 是棱柱 D 是棱台课后练习详解题 1答案：见详解详解: (1)设点 P 为 AD 的中点，连结 MP、 NP，点 M 是 BC 的中点， MP CD CD平面 A1CD， MP平面 A1
5、CD， MP平面 A1CD点 N 是 AA1的中点， NP A1D A1D平面 A1CD， NP平面 A1CD， NP平面 A1CD MP NP P， MP平面 MNP， NP平面 MNP，平面 MNP平面 A1CD MN平面 MNP， MN平面 A1CD(2)取 BB1的中点 Q，连结 NQ、 CQ、 ND，点 N 是 AA1的中点， NQ AB AB CD， NQ CD，过 N、 C、 D 三点的平面 NQCD 把长方体 ABCD A1B1C1D1截成两部分几何体，其中一部分几何体为直棱柱 QBC NAD，另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1 A1NDD1， S QBC QBBC 11 ，
6、直三棱柱 QBC NAD 的体积 V1 S QBCAB 12 12 12 12长方体 ABCD A1B1C1D1的体积 V1122，直四棱柱 B1QCC1 A1NDD1的体积 V2 V V1 ，32 ，所截成的两部分几何体的体积的比值为 V1V21232 13 13题 2答案：详解:、对应的情况如下：用反证法证明不可能题 3答案：D详解:对于选项 A，要注意直线 a， b 的方向相同时才平行；对于选项 B，可用长方体验证如图，设 A1B1为 a，平面 AC 为 ， BC 为 b，平面 A1C1为 ，显然有 a ， b ， ，但得不到 a b；对于选项 C，可设 A1B1为 a，平面 AB1为
7、， CD 为 b，平面 AC 为 ，满足选项 C 的条件却得不到 ，故 C 不正确；对于选项 D，可验证是正确的题 4答案：（1） a；（2） a2；（3） 1645169详解: (1)沿侧棱 AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图如图，当周长最小时， EF 在直线 BB上， ABE B AF， AE AF， AC AD， B B CD，123， BE BC a，同理B F B D a FDB ADB ， ， , DF a,AFDFAa212 a又 AEF ACD ， BB a+ a+a a,截面三角形的周长的最小值为23431a41(2)如图， BEF 等腰，取 EF 中点 G，连 BG，则
8、BG EF BG 2EGB a SBEF EFBG a a a22283(a521214385643(3) VA-BCD VB-ACD，而三棱锥 BAEF，三棱锥 BACD 的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即 CADEFCEFS 219题 5答案： 或 6124详解：该题的显著特点是结论发散而不惟一本题表面上是考查锥体求体积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的排除1，1，2 ，可得1，1，1 ， 1，2，2 ， 2，2，2 ，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面 体，再求其体积由平时所见的题目，至少可构造出
9、二类满足条件的四面体，五条边为 2，另一边为 1，对棱相等的四面体对于五条边为 2，另一边 为 1 的四面体，参看下图所示，设 AD=1，取 AD 的中点为 M，平面 BCM 把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知 AD面BCM，且 VABCM=VDBCM，所以 VABCD= SBCM AD31CM= = = 设 N 是 BC 的中点，则 MN BC， MN=2C2)(5= = ，从而 SBCM = 2 = ，2NM1452121故 VABCD= 1= 316对于对棱相等的四面体，可参见图 2其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行亦可套公式 V= 1
10、2，22222()()()abcacb不妨令 a=b=2， c=1，则 V= = = 1)4(4(11274题 6答案：(3)5 a2详解: (1)(2)如图，连结 AC、 BD，交于 O 点 E 为 AA1的中点， O 为 AC 的中点在 AA1C 中， OE 为 AA1C 的中位线， OE A1C OE平面 A1C1C， A1C平面 A1C1C， OE平面 A1C1C(3)多面体表面共包括 10 个面， SABCD a2， S ，1BDa22 ， 1ABS1CA1DA1Aa22 1A1AB1CS1DCA ，所以该多面体的表面积 S a2 4 4 5 a212 2a2 32a4 3a28 a
11、22 a22 3a28题 7答案：见详解详解：连接 CD1、 AD1， P、 Q 分别是 CC1、 C1D1 的中点， PQ CD1，又 CD1平面 BPQ， PQ平面 BPQ， CD1平面 BPQ又 D1Q AB1， D1Q DC AB，四边形 ABQD1 是平行四边形， AD1 BQ，又 AD1平面 BPQ， BQ平面 BPQ， AD1平面 BPQ又 AD1 CD1 D1，平面 ACD1平面 BPQ AC平面 ACD1， AC平面 BPQ题 8证明：(1)因为 BM平面 ACE， AE平面 ACE，所以 BM AE因为 AE BE，且 BE BM B，BE、 BM平面 EBC，所以 AE平
12、面 EBC因为 BC平面 EBC，所以 AE BC(2)法 1：取 DE 中点 H，连接 MH、 AH因为 BM平面 ACE， EC平面 ACE，所以 BM EC因为 BE BC，所以 M 为 CE 的中点所以 MH 为 EDC 的中位线，所以 MH 平行且等于 DC12因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 DC 平行且等于 AB故 MH 平行且等于 AB因为 N 为 AB 的中点，所以 MH 平行且等于 AN所以四边形 ANMH 为平行四边形，所以 MN AH因为 MN平面 ADE， AH平面 ADE，所以 MN平面 ADE法 2：取 EB 的中点 F，连接 MF、 NF因为 BM平面
13、ACE， EC平面 ACE，所以 BM EC因为 BE BC，所以 M 为 CE 的中点，所以 MF BC因为 N 为 AB 的中 点，所以 NF AE，因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 AD BC所以 MF AD因为 NF、 MF平面 ADE， AD、 AE平面 ADE，所以 NF平面 ADE， MF平面 ADE因为 MF NF F， MF、 NF平面 MNF，所以平面 MNF平面 ADE因为 MN平面 MNF，所以 MN平面 ADE题 9答案：D详解: EH A1D1， EH BC， EH平面 BCC1B1又过 EH 的平面 EFGH 与平面 BCC1B1 交于 FG， EH FG故 A 成立B 中，易得四边形 EFGH 为平行四边形， BC平面 ABB1A1， BC EF，即 FG EF，四边形 EFGH 为矩形故 B 正确C 中可将 看做以 A1EFBA 和 D1DCGH 为上下底面，以 AD 为高的棱柱故 C 正确
