1、3 基本不等式第 1 课时 基本不等式知能目标解读1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的几何意义.2.掌握基本不等式成立的条件；能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.3.在使用基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式.重点难点点拨重点：理解并掌握基本不等式，借助几何图形说明基本不等式的意义，并用基本不等式求最值.难点：利用基本不等式求最值时,等号成立的条件.学习方法指导一、基本不等式1.基本不等式：如果 a,b 都是非负数，那么 ,当且仅当 a=b 时，等号成2ba立，我们称上述不等式为基本不等式.其中 称为 a,
2、b 的算术平均数， 称为 a,b 的几何平均数，因此，基本不等式2ba又称为均值不等式.2.重要不等式：如果 a,bR,那么 a2+b22 ab（当且仅当 a=b 时，取“）.证明： a2+b2-2ab=(a-b) 2,当 a b 时， （ a-b） 20；当 a=b 时， （ a-b） 20.所以（ a-b） 20,即 a2+b22 ab.3.基本不等式的几何解释：基本不等式一种几何解释如下：以 a+b 长的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C，使 AC=a,CB=b.过点 C 作垂直于直径AB 的弦 DD，连结 AD、 DB，易证 Rt ACDRt DCB,则CD =CACB,即 CD
3、= .ab这个圆的半径为 ，显然，它大于或等于 CD，即 ，22ba其中，当且仅当点 C 与圆心重合，即 a=b 时，等号成立.以上我们从几何图形中进行了解释，获得了不等式 （ a0, b0）.其实质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.4.关于 a2+b22 ab 和 （ a,b0）ba（1）两个不等式： a2+b22 ab 与 成立的条件是不同的，前者要求 a,bab都是实数，后者则要求 a,b 都是正数.如：（-3） 2+（-4） 22（-3）（-4）是成立的，而 是不成立的.4343注意：(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件.(2)两个
4、不等式： a2+b22 ab， 都是带有等号的不等式.“当且仅当 a=bba时取 ”这句话的含义是“ a=b”时， a2+b22 ab， 中只有等号成立，反ba之，若 a2+b22 ab, 中的等号成立时,必有 “a=b”，这一条件至关重要，忽略它，往往会导致解题的失误.（3）两个不等式的应用两个不等式的结构都是一边为“和式” ，另一边为“积式” ，因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，可证明不等式.利用等号成立的条件，可求最大、最小值.二、利用基本不等式求最大（小）值利用基本不等式 ，在求某些简单的最大（小）值问题时，很有应用价值.一2ba般地： x
5、,y 都为正数时，（1）若 x+y=S（和为定值） ，则当 x=y 时，积 xy 取得最大值 ;42S（2）若 xy=p（积为定值） ，则当 x=y 时，和 x+y 取得最小值 2 .p证明： x,y 都为正数， yx(1)和式为定值 S 时，有 ，xy2S xy S2.上式当“ x=y”时取“”号，因式当 x=y 时，积 xy 有最大值 S2；41 41(2)积式 xy 为定值 p 时，有 ,p x+y2 .上式当“ x=y”时取“” ，因此，当 x=y 时，和 x+y 有最小值 2 .p注意：（1）在应用均值不等式 求最值时，需满足三个条件：“一正、二定、ab2三相等”.“正”是所有变量均
6、为正数， “定”是指变量的积或和为定值， “相等”是指等号成立的条件，以上三者，缺一不可.(2)在有关证明或求最值时，不等式都可连续多次使用，但需注意的是等号成立是否矛盾，只有当各次应用基本不等式时“号成立的条件一致时， “”才会取得，否则“将不成立.知能自主梳理1.基本不等式如果 a,b 都是非负数，那么 ，当且仅当 时，等号成立.此不等式称为基本不等式，其中 称为 a,b 的算术平均数， 称为 a,b 的几何平均数. 2.利用基本不等式求最值（1）两个正数的和为定值时，它们的积有 ，即若 a0,b0,且 a+b=M,M 为定值，则 ab ，等号当且仅当 a=b 时成立.42M（2）两个正数
7、的积为定值时，它们的和有 ，即若 a0,b0,且 ab=P,P 为定值，则 a+b ,等号当且仅当 a=b 时成立. 答案 1. a=b 2ba2ba2.(1)最大值 (2)最小值 24Mp思路方法技巧命题方向 利用基本不等式比较代数式的大小例 1 已知 0 a1,00,b0, a+b2 ,ba2+b22 ab,四个数中最大数应为 a+b 或 a2+b2.又0 a1,02),n=22-b2 (b0),则 m、 n 的大小关系是（ ）2A.mn B. m2, a-20,又 m=a+ =(a-2)+ +2 +2=4, 当且仅当 a-2= ,即212121a21（ a-2） 2=1,又 a-20，
8、a-2=1,即 a=3 时取等号. m4. b0, b20,2- b2n.命题方向 利用基本不等式求最值例 2 （1）若 x0，求函数 f(x)= +3x 的最小值；12（2）若 x0,可得 0,3x0.12又因为3x=36 为定值，且 =3x(x0)时， x=2,即等号成立，从而可利用基本不等式求最值.212对（2） ，由 x0,-3x0,所以对 (- )+(-3x)可利用基本不等1212式求最值.解析 （1）因为 x0，所以 0,3x0,所以 f(x)= +3x2 =2 =12.2316当且仅当 =3x,即 x=2 时，等号成立.12所以当 x=2 时， f(x)取得最小值 12.（2）因
9、为 x0,所以- f(x)= (- )+(-3x)2 =12,所以 f(x)-12 .12x312当且仅当- =-3x,即 x=-2 时，等号成立.所以当 x=-2 时， f(x)取得最大值-12. 说明 利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正、二定、三相等” ，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解.变式应用 2 设 x0，求 y=2-x- 的最大值.4解析 x0, x+ 2 =4, y=2- (x+ )2-4=-2.当且仅当 x= ，即x444x=2 时等号成立， y 取最大值-2.例 3 （1）已知 x0,5所以 y=4x-2+ =- (5
10、-4x+ )+3.411因为 5-4x+ 2 =2,545所以 y-2+3=1,当且仅当 5-4x= ,即 x=1 时等号成立，所以当 x=1 时，函数 y1取得最大值 1.（2）因为 00,31所以 y=x (1-3x)= 3x(1-3x) 2= .31x1当且仅当 3x=1-3x,即 x= 时等号成立，6所以当 x= 时，函数 y 取得最大值 .6112 说明 解决本题的关键是拼凑.（1）中将 4x-2 拼凑成 4x-5.(2)中将 x 拼凑成 3x,从而可产生定值.（1）中是积为定值.（2）中是和为定值.变式应用 3 求函数 y= +x(x3)的最小值.1解析 y= +x= +(x-3)
11、+3,3 x3, x-30, +(x-3)2 =2,311当且仅当 =x-3,即 x-3=1,x=4 时，等号成立.当 x=4 时，函数 y= +x(x3)取最小值 2+3=5.31命题方向 利用基本不等式解决有关实际应用问题例 4 某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格每件 x 元（500） ，则 S= =251t15t= 2500.05t5当且仅当 t= ，即 t=10 时取等号，此时 x=60.1答：当销售价格定为 60 元时，每天获得的利润最多. 说明 1.解实际应用问题要遵循以下几点：（1）在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数；（2
12、）建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题（纯数学问题） ；（3）在定义域内（使实际问题有意义的自变量取值范围）求出函数的最大值、最小值； （4）回到实际问题中，写出正确答案.2.本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解.若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也可以先使用换元法，再拼凑上基本不等式的形式，去求最值.变式应用 4 某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量 Q（万件）与广告费 x（万元）之间的函数关系为 Q (x0).已知
13、生产此23产品的年固定投入为 3 万元，每年生产 1 万件此产品仍需要投入 32 万元，若年销售额为“年生产成本的 150”与“年广告费的 50”之和，而当年产销量相等.(1)试将年利润 P（万元）表示为年广告费 x(万元)的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ 解析 （1） P=(32Q+3)150 x50%-(32Q+3)-x=- - +49.5(x0)；23（2） P- ( )+49.5-24+49.5=41.5,当且仅当 x= 时，即 x=8 时， P2x31有最大值 41.5 万元.答：当年广告费投入 8 万元时，企业年利润最大，最大值为 41.5 万元.名师辨误做
14、答例 5 已知 a0,b0,且 + =1,求 a+b 的最小值.19 误解 a0,b0 + 2 =6 ,a1b9ab16 1， ，ab136 ab36. a+b2 12. a+b 的最小值为 12.辨析 上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为 + ,即 b=9a,第二次等号成立的条件为 a=b，故 a+b 取不到19最小值 12.正解 a0,b0， + 1， a+b=( + )(a+b)19=1+9+ 10+2 =10+2316.baba当且仅当 ，即 b2=9a2时等号成立.9解得 a=4,b=12.故当 a=4,b=12 时， a+b 取
15、最小值 16.课堂巩固训练一、选择题1.已知 ab0，则 的取值范围是（ ）A.（2，+） B.2，+)C.(4，+) D.4，+)答案 B解析 ab0, 0, 0,ab 2 =2.当且仅当 ，即 a=b 时，等号成立.b2.不等式 a2+44 a 中等号成立的条件是（ ）A.a=2 B. a=2C.a=-2 D. a=4答案 B解析 因为 a2-4a+4=(a-2) 20,当且仅当 a=2 时取“” ，所以 a=2.3.如果 a,b 满足 02a, a2 , ab1- = ,即 a2+b2 .11解法二：特值检验法：取 a= ,b= ,则 2ab= ,a2+b2= ,3945 , a2+b2
16、最大.9543二、填空题4.若 x0,则 x+ 的最小值为 .答案 2 2解析 x0, x+ 2 =2 ,x2当且仅当 x= ,即 x= 时，等号成立.25.x,yR, x+y=5,则 3x+3y的最小值是 .答案 18解析 3 x0,3y0.3 x+3y2 =2 =2（ ） 518 ,当且仅当 x=y=3yx3时等号成立.25课后强化作业一、选择题1.下列函数中，最小值为 2 的是（ ）A.y=x+ B. y=sinx+ ,x (0, )x1 sin12C.y= D. y= +23答案 D解析 A 中，不满足正数这一条件；B 中， x (0, ),2sin x(0,1),等号不成立；C 中，
17、 y= = = + ,3212x21x当 = 时， x2+2=1,x2x2=-1(不成立)；D 中 0,y= + 2,当且仅当 = ,x1x1即 x=1 时，取最小值 2.2.a,bR +，则 , ， 三个数的大小顺序是（ ）2babaA. B. abC. 22baD. 答案 C解析 解法一：取 a=2,b=8,则 =5， =4， =3.2,选 C.2ab2解法二：已知 ，2又 - =abba= 02 .ab2也可作商比较 1.ab3.(2011上海理，15)若 a,bR，且 ab0,则下列不等式中，恒成立的是（ ）A.a2+b22ab B. a+b2 abC. D. 21 答案 D解析 本题
18、考查不等式的性质、基本不等式，可用排除法逐项判断.用排除法：A:a=b 时不满足；B:a0, 0, + 2 =2.aba4.设 x+3y=2,则函数 z=3x+27y的最小值是（ ）A. B.232 2C.3 D.6答案 D解析 x+3y=2, x=2-3y. z=3x+27y=32-3y+27y +27y2 6，当且仅当 =27y,279y279279即 27y=3,3 3y=3,3 y=1, y= .1即 x=1,y= 时， z=3x+27y取最小值 6.35.某工厂第一年产量为 A,第二年的增长率为 a, 第三年的增长率为 b,这两年的平均增长率为 x,则（ ）A.x= B.x2ba 2
19、C.x D.x答案 B解析 这两年的平均增长率为 x， A(1+x) 2=A(1+a)(1+b)，(1+ x) 2=(1+a)(1+b),由题设 a0, b0.1+ x= 121=1+ ， x .2等号在 1+a=1+b 即 a=b 时成立.6.若 x4，则函数 y=x+ （ ）41A.有最大值-6 B.有最小值 6C.有最大值-2 D.有最小值 2答案 B解析 x4, x-40, y=x-4+ +42 +46.41x41x当且仅当 x-4= ，即 x-4=1， x=5 时，取等号.417.若 ab1,P= ,Q= (lga+lgb),R=lg ( ),则（ ）balg22baA.R0,b0,
20、a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的是 （写出所有正确命题的编号）. ab1； ;b2 a2+b22; a3+b33; 2.1答案 解析 ab( )2=( )2=1,成立.ba欲证 ,即证 a+b+2 2，ab即 2 0,显然不成立.ab欲证 a2+b2=（ a+b） 2-2ab2,即证 4-2ab2,即 ab1,由知成立. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)3 a2-ab+b2 (a+b) 2-3ab 4- 3 ab ab332,由知， ab 不恒成立.6565欲证 + 2,即证 2,a1bab即证 ab1,由知成立. 11.(2010山东文)已知 x， yR
21、+，且满足 =1，则 xy 的最大值为 .43yx答案 3解析 x0,y0,且 1= 2 ,4312 xy3,当且仅当 ,即 x= ,y=2 时，等号成立.12.(2011浙江文，16)若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是 答案 32解析 题考查了均值不等式及学生灵活运用该知识的能力.由 x2+y2+xy=1 可得， （ x+y） 2=xy+1而由均值不等式得 xy（ ） 2yx（ x+y） 2（ ） 2+1 整理得，（ x+y） 2143 x+y- ， 3 x+y 的最大值为 .2三、解答题13.设实数 a 使 a2+a-20 成立， t0，比较 logat 与
22、 loga 的大小.2121t解析 a2+a-20, a-2 或 a1，又 a0 且 a1, a1， t0, ,log a log a = logat,tttt logatlog a .21214.已知 a0,b0,a,b 的等差中项是 ,且 =a+ ， =b+ ,求 + 的最小值.211解析 因为 a,b 的等差中项是 ,所以 a+b=1,+ = (a+ )+ (b+ )=(a+b)+ ( + )1a1b=1+ =1+ , ab ( )2= ,4 4, + 5ab1(当且仅当 a=b= 时取等号)，故 + 的最小值为 5.215.已知 x0,y0,lgx+lgy=1,求 + 的最小值.25解
23、析 方法一：由已知条件 lgx+lgy=1 可得：x0,y0,且 xy=10.则 + = =2，x2y5102所以 ( + )min=2,25方法二：由已知条件 lgx+lgy=1 可得：x0,y0,且 xy=10, + 2 =2 =2251016.(2012济南高二检测)要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分） ，这两栏的面积之和为 18000cm2，四周空白的宽度为 10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm） ，能使矩形广告面积最小？分析 本题是一道较为典型的求最值的实际应用题，考查了均值不等式的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力.解析 设矩形栏目的高为 acm,宽为 bcm,则 ab=9000. 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a0,b0.广告的面积 S( a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b18500+2 ba4025=18500+2 =24500.10当且仅当 25a=40b 时等号成立，此时 b= a,85代入式得 a=120,从而 b=75,即当 a=120,b=75 时， S 取得最小值 24500，故广告的高为 140cm,宽为 175cm 时，可使广告的面积最小.
