1、31 函数与方程31.1 方程的根与函数的零点学习目标 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系知识链接考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程 x22 x30 与函数 y x22 x3；(2)方程 x22 x10 与函数 y x22 x1；(3)方程 x22 x30 与函数 y x22 x3.你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与 x 轴交点的坐标吗？答案方程 x22 x30 x22 x10 x22 x30函数 y x22 x3 y x22 x1 y x22 x3函数的图象方程的实数根 x11， x23 x1 x21
2、无实数根函数的图象与x 轴的交点(1,0)、(3,0) (1,0) 无交点预习导引1函数的零点对于函数 y f(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 y f(x)的零点2方程、函数、图象之间的关系；方程 f(x)0 有实数根函数 y f(x)的图象与 x 轴有交点 函数 y f(x)有零点3函数零点存在的判定方法如果函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0.那么，函数 y f(x)在区间( a， b)内有零点，即存在 c( a， b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根温馨提示 判定函数零点的两个条件缺一不可，
3、否则不一定存在零点；反过来，若函数y f(x)在区间( a， b)内有零点，则 f(a)f(b)0 不一定成立要点一 求函数的零点例 1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x) x27 x6；(2)f(x)1log 2(x3)；(3)f(x)2 x1 3；(4)f(x) .x2 4x 12x 2解 (1)解方程 f(x) x27 x60，得 x1 或 x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程 f(x)1log 2(x3)0，得 x1，所以函数的零点是1.(3)解方程 f(x)2 x1 30，得 xlog 26，所以函数的零点是 log26.(4)解方程 f(x) 0，得 x
4、6，x2 4x 12x 2所以函数的零点为6.规律方法 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程 f(x)0 的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点跟踪演练 1 判断下列说法是否正确：(1)函数 f(x) x22 x 的零点为(0,0)，(2,0)；(2)函数 f(x) x1(2 x5)的零点为 x1.解 (1)函数的零点是使函数值为 0 的自变量的值，所以函数 f(x) x22 x 的零点为 0 和2，故(1)错(2)虽然 f(1)0，但 12,5，即 1 不在函数 f(x) x1 的定义域内，所以函数在定义域
5、2,5内无零点，故(2)错要点二 判断函数零点所在区间例 2 在下列区间中，函数 f(x)e x4 x3 的零点所在的区间为( )A. B.(14， 0) (0， 14)C. D.(14， 12) (12， 34)答案 C解析 f 20，(14) 4ef( ) 10， f f 0，12 e (14) (12)零点在 上(14， 12)规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象2要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若 f(x)图象在 a， b上连续，且 f(a)f(b)0，则 f(x)在( a， b)上必有零点，若 f(a)f(
6、b)0，则 f(x)在( a， b)上不一定没有零点跟踪演练 2 函数 f(x)e x x2 所在的一个区间是( )A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2)答案 C解析 f(0)e 00210，f(1)e 112e10， f(0)f(1)0， f(x)在(0,1)内有零点要点三 判断函数零点的个数例 3 判断函数 f(x)ln x x23 的零点的个数解 方法一 函数对应的方程为 ln x x230，所以原函数零点的个数即为函数 yln x 与 y3 x2的图象交点个数在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)由图象知，函数 y3 x2与 yln x 的图象只有一个交点从而 ln
7、x x230 有一个根，即函数 yln x x23 有一个零点方法二 由于 f(1)ln 11 2320，f(2)ln 22 23ln 210， f(1)f(2)0，又 f(x)ln x x23 的图象在(1,2)上是不间断的，所以 f(x)在(1,2)上必有零点，又 f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个规律方法 判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由 f(x) g(x) h(x)0，得 g(x) h(x)，在同一坐标系下作出 y1 g(x)和 y2 h(x)的图象，利用图象判定方程根的
8、个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数跟踪演练 3 函数 f(x)2 x|log0.5x|1 的零点个数为( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 令 f(x)2 x|log0.5x|10，可得|log 0.5x| x.(12)设 g(x)|log 0.5x|， h(x) x，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)， h(x)的图象，可以(12)发现两个函数图象一定有 2 个交点，因此函数 f(x)有 2 个零点1函数 y4 x2 的零点是( )A2 B(2,0)C. D.(12， 0) 12答案 D解析 令 y4 x20，得 x .12函数 y4 x2 的零点为 .122对于函
9、数 f(x)，若 f(1) f(3)0，则( )A方程 f(x)0 一定有实数解B方程 f(x)0 一定无实数解C方程 f(x)0 一定有两实根D方程 f(x)0 可能无实数解答案 D解析 函数 f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管 f(1) f(3)0，但未必函数y f(x)在(1,3)上有实数解3函数 ylg x 的零点所在的大致区间是( )9xA(6,7) B(7,8)C(8,9) D(9,10)答案 D解析 因为 f(9)lg 910，f(10)lg 10 1 0，所以 f(9)f(10)0，所以 ylg x 在区间(9,10)上有910 910 9x零点，故选 D.4方程 2
10、x x20 的解的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 在同一坐标系画出函数 y2 x，及 y x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x x20 的解的个数为 3.5函数 f(x) x22 x a 有两个不同零点，则实数 a 的范围是_答案 (，1)解析 由题意可知，方程 x22 x a0 有两个不同解，故 44 a0，即 a1.1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点2方程 f(x) g(x)的根是函数 f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标，也是函数 y f(x) g(x)的图象与 x 轴交点的横坐标3函数与方程有着密切
11、的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础一、基础达标1下列图象表示的函数中没有零点的是( )答案 A解析 B，C，D 的图象均与 x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与 x 轴没有交点，故函数没有零点2函数 f(x)( x1)( x23 x10)的零点个数是( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 f(x)( x1)( x23 x10)( x1)( x5)( x2)，由 f(x)0 得 x5 或 x1 或 x2.3根据表格中的数据，可以断定函数 f(x)e x x2 的一个零点所在的区间是( )x 1 0 1 2 3ex 0.3
12、7 1 2.72 7.39 20.09x2 1 2 3 4 5A.(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)答案 C解析 由上表可知 f(1)2.7230，f(2)7.3940， f(1)f(2)0， f(x)在区间(1,2)上存在零点4函数 f(x)ln x2 x6 的零点所在的区间为( )A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)答案 B解析 f(1)ln 12640，f(2)ln 246ln 220，f(3)ln 366ln 30，所以 f(2)f(3)0，则函数 f(x)的零点所在的区间为(2,3)5方程 log3x x3 的解所在的区间为( )A(0,2) B(1,
13、2)C(2,3) D(3,4)答案 C解析 令 f(x)log 3x x3，则 f(2)log 3223log 3 0， f(3)2log 333310，那么方程 log3x x3 的解所在的区间为(2,3)6已知函数 f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于_答案 0解析 奇函数的图象关于原点对称，若 f(x)有三个零点，则其和必为 0.7判断函数 f(x)log 2x x2 的零点的个数解 令 f(x)0，即 log2x x20，即 log2x x2.令 y1log 2x， y2 x2.画出两个函数的大致图象，如图所示，有两个不同的交点所以函数 f(x)log 2x x2
14、有两个零点二、能力提升8若 a b c，则函数 f(x)( x a)(x b)( x b)(x c)( x c)(x a)的两个零点分别位于区间( )A( a， b)和( b， c)内B(， a)和( a， b)内C( b， c)和( c，)内D(， a)和( c，)内答案 A解析 f(x)( x a)(x b)( x b)(x c)(x c)(x a)， f(a)( a b)(a c)， f(b)( b c)(b a)，f(c)( c a)(c b)， a b c， f(a)0， f(b)0， f(c)0， f(x)的两个零点分别位于区间( a， b)和( b， c)内9若函数 f(x) a
15、x2 x1 仅有一个零点，则 a_.答案 0 或14解析 a0 时， f(x)只有一个零点1，a0 时，由 14 a0，得 a .1410设 x0是方程 ln x x4 的解，且 x0( k， k1)， kZ，则 k_.答案 2解析 令 f(x)ln x x4，且 f(x)在(0，)上递增， f(2)ln 2240，f(3)ln 310. f(x)在(2,3)内有解， k2.11已知函数 f(x) x22 x3， x1,4(1)画出函数 y f(x)的图象，并写出其值域；(2)当 m 为何值时，函数 g(x) f(x) m 在1,4上有两个零点？解 (1)依题意： f(x)( x1) 24，
16、x1,4，其图象如图所示由图可知，函数 f(x)的值域为4,5(2)函数 g(x) f(x) m 在1,4上有两个零点方程 f(x) m 在 x1,4上有两相异的实数根，即函数 y f(x)与 y m 的图象有两个交点由(1)所作图象可知，4 m0，0 m4.当 0 m4 时，函数 y f(x)与 y m 的图象有两个交点，故当 0 m4 时，函数 g(x) f(x) m 在1,4上有两个零点三、探究与创新12已知二次函数 f(x)满足： f(0)3； f(x1) f(x)2 x.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)令 g(x) f(|x|) m(mR)，若函数 g(x)有 4 个零点，求实
17、数 m 的范围解 (1)设 f(x) ax2 bx c(a0)， f(0)3， c3， f(x) ax2 bx3.f(x1) a(x1) 2 b(x1)3 ax2(2 a b)x( a b3)，f(x)2 x ax2( b2) x3， f(x1) f(x)2 x，Error! 解得 a1， b1， f(x) x2 x3.(2)由(1)，得 g(x) x2| x|3 m，在平面直角坐标系中，画出函数 g(x)的图象，如图所示，由于函数 g(x)有 4 个零点，则函数 g(x)的图象与 x 轴有 4 个交点由图象得Error!解得3 m ，114即实数 m 的范围是 .( 3， 114)13已知二
18、次函数 f(x) x22 ax4 ，求下列条件下，实数 a 的取值范围(1)零点均大于 1；(2)一个零点大于 1，一个零点小于 1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内解 (1)因为方程 x22 ax40 的两根均大于 1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得Error!解得 2 a .52(2)因为方程 x22 ax40 的一个根大于 1，一个根小于 1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 f(1)52 a0，解得 a .52(3)因为方程 x22 ax40 的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得Error!解得 a .103 174
