1、第 2 课时 分段函数及映射学习目标 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系知识链接1函数的定义：设 A， B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y f(x)， x A. 2作函数的图象通常分三步，即列表、描点、连线预习导引1分段函数在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数2映射的概念映射的定义：设 A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定
2、的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射要点一 分段函数求值例 1 已知函数 f(x)Error!(1)求 f(5)， f( )， ff( )的值；352(2)若 f(a)3，求实数 a 的值解 (1)由5(，2， (2,2)，3 (，2，知 f(5)514，52f( )( )22( ) 32 .3 3 3 3 f 1 ，而2100 时 y1000.5( x100)0.4100.4 x.1.对映射的定义，应注意以下几点：(1)集合 A 和 B 必须是非空集合，它们可以是
3、数集、点集，也可以是其他集合(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达2理解分段函数应注意的问题：(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集写定义域时，区间的端点需不重不漏(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象一、基础达标1以下几个论断从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射；函数 y x1， xZ 且 x(3,3的图象是一条线段；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是
4、各段值域的并集；若 D1， D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则 D1 D2.其中正确的论断有( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个答案 C解析 函数是特殊的映射，所以正确；中的定义域为2，1,0,1,2,3，它的图象是直线 y x1 上的六个孤立的点；因此不正确；由分段函数的概念可知正确，不正确2已知 f(x)Error!则 ff(7)的值为( )A100 B10C10 D100答案 A解析 f(x)Error! f(7)10.ff(7) f(10)1010100.3函数 f(x) x 的图象是( )|x|x答案 C解析 f(x)Error!画出 f(x)的图象可知选 C.4
5、已知集合 A 中元素( x， y)在映射 f 下对应 B 中元素( x y， x y)，则 B 中元素(4，2)在 A中对应的元素为( )A(1,3) B(1,6)C(2,4) D(2,6)答案 A解析 由题意得Error! 解得Error!5设 f： x ax1 为从集合 A 到 B 的映射，若 f(2)3，则 f(3)_.答案 5解析 由 f(2)3，可知 2a13， a2， f(3)3 a13215.6函数 f(x)Error!的值域是_答案 1，)解析 当 x0 时， f(x)1，当2 x0 时，2 f(x)4， f(x)1 或 2 f(x)4，即 f(x)的值域为1，)7已知函数 f
6、(x)Error!(1)求 f(2)， ff(2)的值；(2)若 f(x0)8，求 x0的值解 (1)0 x2 时， f(x) x24， f(2)2 240，ff(2) f(0)0 244.(2)当 0 x02 时，由 x 48，20得 x02 (舍去)；3当 x02 时，由 2x08，得 x04. x04.二、能力提升8已知 f(x)Error!则 f(3)为( )A2 B3 C4 D5答案 A解析 f(3) f(32) f(5)，f(5) f(52) f(7)， f(7)752.故 f(3)2.9已知函数 f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则 ff 等于( )(13)A B.
7、13 13C D.23 23答案 B解析 由图可知，函数 f(x)的解析式为f(x)Error! f 1 ，(13) 13 23 ff f 1 .(13) ( 23) 23 1310设函数 f(x)Error! 则 f 的值是_(1f 2 )答案 1516解析 f(2)2 2224， ，1f 2 14 f f 1 2 .(1f 2 ) (14) (14) 151611已知函数 y| x1| x2|.(1)作出函数的图象；(2)写出函数的定义域和值域解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点 x1，第二个绝对值的分段点 x2，这样数轴被分为三部分：(，2，(2,1，(1，)
8、，所以已知函数可写为分段函数形式：y| x1| x2|Error!在相应的 x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象，如图(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为 R，值域为3，)三、探究与创新12“水”这个曾经被人认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度因为缺水，每年给我国工业造成的损失达 2 000 亿元，给我国农业造成的损失达 1 500 亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过 5 吨时，每吨水费 1.2 元，若超过 5 吨而不超过6 吨时，超过的部分的水费按原价的
9、 200%收费，若超过 6 吨而不超过 7 吨时，超过部分的水费按原价的 400%收费，如果某人本季度实际用水量为 x(x7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)解 由题意知，当 0 x5 时， y1.2 x，当 5 x6 时，y1.25( x5)1.222.4 x6.当 6 x7 时，y1.25(65)1.22( x6)1.244.8 x20.4.所以 yError!13如图所示，在边长为 4 的正方形 ABCD 边上有一点 P，由点 B(起点)沿着折线 BCDA，向点A(终点)运动设点 P 运动的路程为 x， APB 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式解 当 0 x4 时， S APB 4x2 x；12当 4 x8 时， S APB 448；12当 8 x12 时，S APB 4(12 x)242 x.12 yError!
