1、【成才之路】2015-2016 学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入综合检测 新人教 A 版选修 2-2时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2014浙江理，2)已知 i 是虚数单位， a、 bR，则“ a b1”是“( a bi)22i”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 本题考查充分条件、必要条件及复数的运算，当 a b1 时，( a bi)2(1i) 22i，反之，( a bi)2 a2 b22 abi2
2、i，则 a2 b20,2 ab1，解a1， b1 或 a1， b1，故 a1， b1 是( a bi)22i 的充分不必要条件，选 A.2(2015衡阳二模)设复数 z1i(i 为虚数单位)， z 的共轭复数是 ，则z 等于( )2 z zA12i B2iC12i D12i答案 C解析 由题意可得 12i，故选2 z z 2 1 i 1 i 3 i 1 i 1 i 1 iC.3复数 z (mR，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )m 2i1 2iA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 A解析 z (m4)2( m1)i，其实部为 (m4)，m 2i1 2i m 2i 1
3、 2i 1 2i 1 2i 15 15虚部为 (m1)，25由Error! 得Error!此时无解故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限4(2014东北三省三校联考)已知复数 z i，则 | z|( )12 32 zA i B i12 32 12 32C. i D i12 32 12 32答案 D解析 因为 z i，所以 | z| i i.12 32 z 12 32 12 2 32 2 12 325若 ，则复数(cos sin )(sin cos )i 在复平面内所对应(34， 54)的点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 B解析 时，(34， 54)sin cos
4、0，故对应点(cos sin ，sin cos )在第二象限点评 由于 时，据选项知，此复数对应点只能在某一象限，取(34， 54) 检验知，对应点在第二象限6(2015石家庄市二模)已知复数 z 满足(1i) zi 2015(其中 i 为虚数单位)，则的虚部为( )z A. B12 12C. i D i12 12答案 B解析 201545033，i 2015i 3i. z i. i1 i 12 12 z 的虚部为 .故选 B.127设 z 的共轭复数为 ，若 z 4， z 8，则 等于( )z z z z zAi BiC1 Di答案 D解析 设 z a bi(a， bR)，则 a bi，由条
5、件可得Error!解得Error!z 因此Error! 或Error!所以 i，z z 2 2i2 2i 1 i1 i 1 i 2 1 i 1 i 2i2或 i，z z 2 2i2 2i 1 i1 i 1 i 2 1 i 1 i 2i2所以 i.z z8若关于 x 的方程 x2(12i) x3 mi0 有实根，则实数 m 等于( )A. B i112 112C D i112 112答案 A解析 设方程的实数根为 x a(a 为实数)，则 a2(12i) a3 mi0，Error! Error!故选 A.9已知复数 z( x2) yi(x、 yR)在复平面内对应的向量的模为 ，则 的最大值3yx
6、是( )A. B32 33C. D12 3答案 D解析 因为|( x2) yi| ，所以( x2) 2 y23，所以点3(x， y)在以 C(2,0)为圆心，以 为半径的圆上，如图，由平面几何知识3知 .3yx 310(2014河北衡水中学模拟)设 aR，i 是虚数单位，则“ a1”是“ 为纯虚a ia i数”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案 A解析 当 a1 时， i 为纯虚数1 i1 i 1 i 22当 为纯虚数时，a ia i a i 2a2 1 a2 1 2aia2 1a21 即 a1，故选 A.11已知复数 a32i， b4 xi(其中
7、 i 为虚数单位， xR)，若复数 R，则实数abx 的值为( )A6 B6C. D83 83答案 C解析 iR， 0， x .ab 3 2i4 xi 3 2i 4 xi16 x2 12 2x16 x2 (8 3x16 x2) 8 3x16 x2 8312设 z(2 t25 t3)( t22 t2)i， tR，则以下结论正确的是( )A z 对应的点在第一象限B z 一定不为纯虚数C. 对应的点在实轴的下方zD z 一定为实数答案 C解析 t22 t2( t1) 210， z 对应的点在实轴的上方又 z 与 对应的点关于实轴对称zC 项正确二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共
8、16 分，把正确答案填在题中横线上)13(2015重庆理，11)设复数 a bi(a， bR)的模为 ，则( a bi)(a bi)3_.答案 3解析 由题易得 ，故 a2 b23；( a bi)(a bi) a2 b23.a2 b2 314已知 x 1，则 x2014 的值为_1x 1x2014答案 1解析 x 1， x2 x10.1x x i， x31.12 32201436711， x2014 x， x2014 x 1.1x2014 1x15已知复数 z1cos isin ， z2cos isin ，则复数 z1z2的实部是_答案 cos( )解析 z1z2(cos isin )(cos
9、 isin )cos cos sin sin (cos sin sin cos )icos( )sin( )i故 z1z2的实部为 cos( )16设 0,2，当 _时， z1sin i(cos sin )是实数答案 或 4 54解析 本题主要考查复数的概念 z 为实数，则 cos sin ，即 tan 1.因为 0,2，所以 或 . 4 54三、解答题(本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)(2015长春外国语学校高二期中)设复数 zlg( m22 m2)( m23 m2)i( mR)，试求 m 取何值时(1)z 是实数(2)z
10、 是纯虚数(3)z 对应的点位于复平面的第一象限解析 (1)由 m23 m20 且 m22 m20，解得 m1，或 m2，复数表示实数(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数由 lg(m22 m2)0，且 m23 m20，求得 m3，故当 m3 时，复数 z 为纯虚数(3)由 lg(m22 m2)0，且 m23 m20，解得 m3，故当 m3时，复数 z 对应的点位于复平面的第一象限18(本题满分 12 分)(2014洛阳市高二期中)(1)已知复数 z 在复平面内对应的点在第四象限，| z|1，且 z 1，求 z；z (2)已知复数 z (15i) m3(2i)为纯虚数，求实数 m
11、的值5m21 2i解析 (1)设 z a bi(a、 bR)，由题意得Error!解得 a ， b .12 32复数 z 在复平面内对应的点在第四象限， b .32 z i.12 32(2)z (15i) m3(2i)( m2 m6)(2 m25 m3)i，依题意，5m21 2im2 m60，解得 m3 或2.2 m25 m30. m3. m2.19(本题满分 12 分)虚数 z 满足| z|1， z22 z 0，求 z.1z解析 设 z x yi (x、 yR， y0)， x2 y21.则 z22 z ( x yi)22( x yi)1z 1x yi( x2 y23 x) y(2x1)i.
12、y0， z22 z 0，且 3 m0.故 m1 .2 2 221(本题满分 12 分)满足 z 是实数，且 z3 的实部与虚部是相反数的虚数 z 是否5z存在？若存在，求出虚数 z，若不存在，请说明理由解析 存在设虚数 z x yi(x、 yR，且 y0)z x yi x i.5z 5x yi 5xx2 y2 (y 5yx2 y2)由已知得Error! y0，Error!解得Error!或Error!存在虚数 z12i 或 z2i 满足以上条件22(本题满分 14 分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点数
13、为 b.(1)设复数 z a bi(i 为虚数单位)，求事件“ z3i 为实数”的概率；(2)求点 P(a， b)落在不等式组Error!表示的平面区域内(含边界)的概率解析 (1) z a bi(i 为虚数单位)， z3i 为实数，则 a bi3i a( b3)i 为实数，则 b3.依题意得 b 的可能取值为 1、2、3、4、5、6，故 b3 的概率为 .16即事件“ z3i 为实数”的概率为 .16(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：1 2 3 4 5 61 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5
14、) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)由上表知，连续抛掷两次骰子共有 36 种不同的结果不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)由图知，点 P(a， b)落在四边形 ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共 18 种所以点 P(a， b)落在四边形 ABCD 内(含边界)的概率为 P .1836 12
