1、1.1.3 导数的几何意义课时演练促提升A 组1.已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则 f(xA)与 f(xB)的大小关系是( )A.f(xA)f(xB)B.f(xA)f(xB)C.f(xA)=f(xB)D.不能确定解析:由图象易知,点 A,B 处的切线斜率 kA,kB满足 kAkB0.由导数的几何意义,得 f(xA)f(xB).答案:B2.已知函数 f(x)=-3x2+2x,则函数 f(x)是( )A.增函数 B.减函数C.奇函数 D.偶函数解析: f(x)=(-6x+2-3 x)=-6x+2.f (x)是减函数 .答案:B3.若曲线 y=x2-1 的一条切线平行于直线 y=4x-3,则
2、切点坐标为( )A.(2,3) B.(3,8)C.(4,15) D.(-2,3)解析:由导数定义求得 y=2x,设切点坐标为( x0,y0),则由题意知 y=4,即 2x0=4,x 0=2,代入曲线方程得 y0=3,故选 A.答案:A4.曲线 y=在点 P(2,1)处的切线的倾斜角为( )A. B. C. D.解析: y=-1=-1,斜率为 -1,倾斜角为 .答案:D5.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0, b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( )A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1解析: 点(0, b)在直线 x-y+1=0 上, b=
3、1.又 y=2x+a, 过点(0, b)的切线的斜率 为 y|x=0=a=1.答案:A6.过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程是 . 解析: y=6x-4,y| x=1=2.即所求直线的斜率为 2, 所求直线的方程为 y-2=2(x+1),即 2x-y+4=0.答案:2 x-y+4=07.曲线 y=x2-x+1 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 . 解析: k=y|x=2=3.当 x=2 时, y=3,即切点为(2,3),切线方程为 y-3=3(x-2),令 x=0,则 y=-3. 切线与 y 轴交点的纵坐标为 -3.答案:
4、-38.已知曲线 y=2x2-a 在点 P 处的切线方程为 8x-y-15=0,求切点 P 的坐标及 a 的值 .解:设切点 P(x0,y0),由 y=(4x+2 x)=4x,得 k=y=4x0.根据题意 4x0=8,x0=2,代入 8x-y-15=0 得 y0=1.故所求切点为 P(2,1),a=2-y0=7.9.求曲线 y=在点 P(2,-1)处的切线方程 .解: 点 P(2,-1)在曲线上, =- 1.a= 1.y=.又 y=. 曲线在 P 处的切线斜率为 y|x=2=1. 切线方程为 y-(-1)=x-2,即 x-y-3=0.B 组1.已知函数 y=2x2-3x,则在 P(x0,y0)
5、处的切线倾斜角小于时, x0的取值范围是 . 解析:由导数的定义可求得切线斜率 k=y=4x0-3, 切线倾斜角小于, 04 x0-31,解得 x01.答案:2.设曲线 y=在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a= . 解析: y|x=3=-.又直线 ax+y+1=0 的斜率为 -a,由题意得 -(-a)=-1,a=- 2.答案: -23.y=f(x),y=g(x),y= (x)的图象如图所示:而下图是其对应导数的图象:则 y=f(x)对应 ;y=g(x)对应 ;y= (x)对应 . 解析:由导数的几何意义, y=f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,则 y=f
6、(x)对应 B.y=g(x)上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷大,故 y=g(x)对应 C.y= (x)图象上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故 y= (x)对应 A.答案:B C A4.已知抛物线 y=x2,直线 x-y-2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离 .解:由题意知与直线 x-y-2=0 平行,且与抛物线 y=x2相切的直线对应的 切点到直线 x-y-2=0的距离最短 .设切点坐标为( x0,),则 y=2x0=1.所以 x0=,所以切点坐标为,故切点到直线 x-y-2=0 的距离 d=,所以抛物线上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离为 .5.已
7、知直线 l1为曲线 y=x2+x-2 在点(1,0)处的切线, l2为该曲线的另一条切线,且 l1 l2.(1)求直线 l2的方程;(2)求直线 l1,l2及 x 轴围成的三角形的面积 .解:(1) y=2x+1,y| x=1=3.即直线 l1的斜率为 3, 直线 l1的方程为 y=3(x-1),即 y=3x-3.设直线 l2与曲线 y=x2+x-2 切于点 P(x0,+x0-2),则直线 l2的方程为 y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).l 1 l2, 2x0+1=-,x 0=-, 直线 l2的方程为 y=-x-.即 3x+9y+22=0.(2)解方程组 直线 l1,l2的交点坐标为 .又直线 l1,l2与 x 轴交点分别为(1,0), 所求三角形面积为 S=.
