1、33 幂函数1了解幂函数的概念，会画出幂函数 y x， y x2， y x3， y ， 的图象1x 122能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质3会用几个常见的幂函数性质比较大小1幂函数一般地，我们把形如 y x ( R)的函数叫做幂函数，其中 x 为自变量， 为常数幂函数的定义域是使 x 有意义的所有 x 的集合，因 的不同，定义域也不同，如函数 y x2的定义域为 R，而函数 y 的定义域为 x|xR，且 x01x判断函数是否为幂函数时要根据定义，即 x 的系数为 1，指数位置的 为一个常数，或者经过变形后满足条件的均可【做一做 1】下列函数是幂函数的有_ y x2 y1x y x3 x y
2、2 x y x3答案：2幂函数的图象与性质函数 y x， y x2， y x3， y x1 ， ，在同一平面直角坐标系中的图象如图所12示从图中可以观察得到它们的特征如下：【做一做 21】 ， ， 的大小关系是_14a163b185c答案： a b c【做一做 22】函数 的奇偶性是_，单调性是_35yx答案：奇函数 在 R 上单调递增【做一做 23】函数 y x2 的值域为_答案：(0，)当 n 取不同的有理数时，幂函数 y xn的图象及性质剖析：我们只研究 n 是有理数的情况，规定 n 是既约分数：pq(1)如下表所示：y xn 奇函数( p 奇 q 奇) 偶函数( p 偶 q 奇) 非奇
3、非偶函数( q 偶)n10 n1n0(2)当 nN *时，定义域为 R；当 n0 时，定义域为 x|x0；当 n 为负整数时，定义域为 x|x0；当 n (p， qN *， q1，且 p， q 互质)时，若 q 为偶数，则定义域为0，)，pq若 q 为奇数，则定义域为 R，当 n (p， qN *， q1，且 p， q 互质)时，若 q 为偶数，则定义域为(0，)，pq若 q 为奇数，则定义域为 x|x0(3)在(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1)当 n0 时，图象都通过原点，并且在(0，)上的图象是上升的，向上无限伸展，是增函数；当 n0 时，图象是除去点(0,1)的直线 y1；当
4、n0 时，图象都不过原点，并且在(0，)上的图象是下降的，向右与 x 轴无限靠近，是减函数在直线 x1 的右侧，指数 n 越大图象位置越高题型一 幂函数的性质【例 1】当 x(0，)时，幂函数 y( m2 m1) x5 m3 为减函数，求实数 m 的值分析：幂函数的一般形式为 y x ，说明其系数为 1，由此确定 m 值解：由条件得Error!解得 m2.反思：对于幂函数 y x 来说，其系数为 1，当题目中还有其他性质时，必须根据此性质写出约束条件本题函数在(0，)上为减函数，说明指数小于 0.【例 2】将四个数 1.20.5,1.20.6,0.51.2,0.61.2按从小到大的顺序排列分析
5、：本题要用到两类函数，既要运用指数函数的性质，又要运用幂函数的性质，不能混淆两种函数解：因为函数 y1.2 x在 R 上单调递增，所以 1.20.61.2 0.51.2 01.因为函数 y x1.2在(0，)上单调递增，所以 0.51.20.6 1.21 1.21.综上所述，0.5 1.20.6 1.21.2 0.51.2 0.6.反思：在函数值的大小比较中，0 和 1 是两个特殊值，它们起着桥梁作用题型二 幂函数的图象及其应用【例 3】画函数 y1 的草图，并求出其单调区间3 x分析：此函数的作图有两种途径，一是根据描点的方法作图，二是利用图象变换来作图一般说来，作草图时，利用图象变换较为方
6、便解： y1 1.3 x x 3此函数的图象可由下列变换而得到：先作函数 y 的图象，作其关于 y 轴的对称图象，即 y 的图象，将所得图象向x x右平移 3 个单位，向上平移 1 个单位，即为 y1 的图象(如下图所示)3 x从图象知 y1 的单调递减区间为(，33 x反思：本题容易发生的错误：一是函数概念不清(该函数是以 x 为自变量的函数)；二是将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了【例 4】已知点( ，2)在幂函数 f(x)的图象上，点 在幂函数 g(x)的图象上，2 ( 2，14)问当 x 为何值时，有(1) f(x) g(x)；(2) f(x) g(x
7、)；(3) f(x) g(x)?解：设 f(x) xa，因为点( ，2)在幂函数 f(x)的图象上，将点( ，2)代入 f(x)2 2 xa中，得 2( )a，解得 a2，即 f(x) x2；2设 g(x) xb，因为点 在幂函数 g(x)的图象上，将点 代入 g(x) xb中，( 2，14) ( 2， 14)得 (2) b，解得 b2，即 g(x) x2 .14在同一平面直角坐标系中作出 f(x) x2与 g(x) x2 的图象如图所示由图象可知：(1)当 x1，或 x1 时， f(x) g(x)；(2)当 x1，或 x1 时， f(x) g(x)；(3)当1 x1 且 x0 时， f(x)
8、 g(x)反思：幂函数的一般形式是 y x ( 为常数)，要求幂函数的解析式只要解出 即可1 函数 图象的大致形状是_23y答案：2 已知函数 f(x)( a1) xa2 a1，当 a_时， f(x)为正比例函数；当 a_时， f(x)为反比例函数；当 a_时， f(x)为二次函数；当 a_时， f(x)为幂函数解析：当 f(x)为正比例函数时，Error!即 a2；当 f(x)为反比例函数时，Error!即 a0 或 a1；当 f(x)为二次函数时，Error!即 a ； 1132当 f(x)为幂函数时， a11，即 a2.答案：2 0 或1 2 11323 设 ，则使函数 y x 的定义域
9、为 R 且为奇函数的所有 的值为 1， 1，12， 3_答案：1,34 比较下列各组中两个值的大小：(1) 和 ；3516(2)0.180.3 和 0.150.3 .解：(1)因为函数 在 R 上单调递增，35yx又 1.51.6，所以 .1.6(2)因为函数 y x0.3 在(0，)上单调递减，又 0.180.15，所以 0.180.3 0.15 0.3 .5 求出函数 f(x) 的单调区间，并比较 f()与 f 的大小x2 4x 5x2 4x 4 ( 22)解： f(x) 1 1( x2) 2 ，x2 4x 4 1x2 4x 4 1x2 4x 4它是由 g(x) x2 向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度而得到的 g(x)的单调增区间是(，0)，单调减区间是(0，)， f(x) 的单x2 4x 5x2 4x 4调增区间是(，2)，单调减区间是(2，)， f(x)的图象关于直线 x2 对称(，2)， (2，)，且2() (2)， f22 22 f() (22)
